Exercice 1 :La détection des exoplanètes en astrophysique

La première exoplanète, planète gravitant autour d'une autre étoile que le Soleil, a été détectée en 1995. Avec les instruments actuels, la détection "directe" des exoplanètes n'est guère possible. En effet, d'après Michel Mayor, un des grands spécialistes du sujet, observer une exoplanète reviendrait à essayer de distinguer à 1 000 km une flamme de bougie près d'un phare. Différents moyens sont employés pour "deviner" l'existence de ces planètes si éloignées de nous. En décembre 2006, le satellite Corot, équipé d'un télescope et de différents instruments de mesure, a été mis en orbite avec pour objectif la détection et l'étude de nouvelles exoplanètes. En mai 2007, un communiqué de presse annonce le succès des premières opérations de Corot : une nouvelle exoplanète a été découverte. Les résultats à venir sont très attendus par les scientifiques aussi bien que par le grand public.

D'après Science magazine et Internet

La première partie de cet exercice montre que la présence d'une exoplanète ne peut pas être détectée par un télescope classique. La deuxième partie montre que l'on peut détecter une exoplanète en observant ses passages périodiques devant son étoile.

Qu'est-ce qu'une exoplanète ?
On appelle exoplanète une planète extérieure au système solaire et qui gravite donc autour d'une autre étoile. Egalement appelées planètes extrasolaires, on en dénombrait pas moins de 3815 en 2018.

Observation au télescope

A la lecture des différents articles scientifiques, Julie et Léa, deux jeunes astronomes amateurs, décident d'observer avec leur télescope une exoplanète et son étoile hôte. Grâce à une base de données d'exoplanètes disponible sur Internet, elles choisissent le couple HD 209458 située dans la constellation de Pégase. Julie et Léa pointent leur télescope dans la direction souhaitée et après vérification des réglages, observent l'étoile mais sans sa compagne... Analysons le problème sans tenir compte de la luminosité de l'étoile par rapport à l'exoplanète. Un extrait de la fiche technique du télescope utilisé pour leurs observations est donné si dessous :

Le télescope de Newton :

Diamètre300 mm
Distance focale du miroir primairef1 = 1200 mm
Distance focale de l'oculairef2 = 30 mm

Le schéma du télescope est représenté sur la Figure 3 de l'annexe.
On note :

  • (M1), le miroir sphérique concave d'axe optique ∆, de sommet S et de foyer F1 ;
  • (M2), le miroir secondaire plan incliné de 45° par rapport à ∆ et (L), l'oculaire assimilable à une lentille mince convergente de foyers F2 et F '2 et d'axe optique ∆'.

Le couple étoile - exoplanète situé à l'infini est noté AB et son diamètre apparent α. L'image de AB donnée par le miroir primaire (M1) est notée A1B1

1.1 Indiquer, en justifiant, la position du foyer F1 sur la Figure 3 de l'annexe

1.2 On rappelle que le diamètre apparent α est l'angle sous lequel l'œil de l'observateur voit l'objet. Donner son expression en fonction de A1B1 et f1. On considère que α étant petit, tan α = α avec α exprimé en radians.

1.3 On note A2B2 l'image de A1B1 donnée par le miroir plan (M2).
1.3.1 Sur la Figure 3 de l'annexe, indiquer la position de l'image A2B2 donnée par le miroir plan de l'image intermédiaire A1B1
1.3.2 Quelle relation existe-t-il entre les longueurs A1B1 et A2B2 ?

1.4 Le réglage du télescope étant afocal, l'image A2B2 se forme dans le plan focal objet de l'oculaire. On appelle A'B' l'image de l'objet A2B2 donnée par l'oculaire.
1.4.1 Où se trouve l'image définitive A'B' du couple étoile - exoplanète ?
1.4.2 Justifier la réponse précédente après avoir fait le tracé sur la Figure 3 de l'annexe, deux rayons lumineux caractéristiques, à partir du point B2, traversant l'oculaire (L).

1.5 Etude du grossissement
1.5.1 Faire figurer sur la Figure 3 de l'annexe, le diamètre apparent α ' sous lequel est vu le couple étoile - exoplanète à travers le télescope.
1.5.2 Exprimer α ' en fonction de A2B2 et de f2. On considère que, α ' étant petit, tan α ' = α ' avec α ' exprimé en radians.
1.5.3 Le grossissement Gr d'un instrument d'optique est défini par la relation

    \[ Gr = \frac { \alpha' } { \alpha } \]

Montrer que

    \[ Gr = \frac { f _ {1} } { f _ {2} } \]

.
Calculer la valeur de ce rapport.

1.6 On considère que deux points sont aisément discernables à l'œil nu s'ils sont observés sous un diamètre apparent supérieur ou égal à 3,5×10-4 rad.

Document 1 : Caractéristique du couple étoile - exoplanète

Exoplanète HD 209458 bEtoile hôte : HD 209458
Distance moyenne à son étoile :
0.045u.a Type : "Hot Jupiter", planète
semblable à Jupiter mais très proche de son étoile
Distance à la Terre : 153 années
de lumière

1 unité astronomique : 1u.a = 150×10 6 km ; 1 année lumière : 1 a.l = 9.5×10 15 m

1.6.1 En vous aidant des caractéristiques du couple étoile - exoplanète données dans le document 1, estimer la valeur du diamètre apparent α sous lequel est vu le couple étoile-exoplanète à l'œil nu.
1.6.2 Calculer la valeur du diamètre apparent α ' sous lequel est vu le couple étoile - exoplanète à travers le télescope.
1.6.3 Montrer que même si la luminosité de l'étoile hôte n'était pas si importante, Léa et Julie n'auraient pas pu obtenir l'image où l'étoile et sa compagne seraient séparées.

Méthode des transits

Figure 4 : Passage de la planète devant son étoile hôte.

Comme on l'a vu précédemment, on ne peut pas détecter de manière directe la présence d'une exoplanète autour d'une étoile. La méthode des transits peut alors être utilisée en se servant d'un photomètre à la sortie du télescope ; cet instrument permet de mesurer la luminosité de l'astre observé. Dans le cas présent, le passage répété d'une planète (figure 4) devant son étoile provoque une diminution périodique de la luminosité de l'étoile. Par exemple la mesure de la luminosité de l'étoile HD 209458 en fonction du temps conduit au graphe de la figure 5.

Figure 5 : Evolution temporelle de la luminosité de l'étoile HD 209458.

Document 2 : Caractéristiques du couple étoile - exoplanète

Exoplanète HD 209458 bEtoile hôte : HD 209458
Masse : M b = 0.69 × M J
MJ étant la masse de Jupiter
Masse : M = 1.057 × Ms
Ms étant la masse du Soleil
Existe-t-il d'autres soleils ?
Même les exoplanètes tournent autour d'une étoile. Celles-ci peuvent prendre différentes formes mais sont assez semblables de la notre, le Soleil.

Constante de la gravitation universelle : G = 6.67 × 10 -11(S.I.)
Masse du soleil : Ms = 2.00×10 30 kg ; Masse de Jupiter : MJ = 1.90 ×10 27 kg
1 jour = 86 400 s.

2.1. D'après la figure 5, quelle est la période de révolution T de la planète HD 209458 b ? Exprimer cette période T en secondes.

2.2.En utilisant la troisième loi de Kepler et les données du document 2, calculer la valeur du demi grand axe a de l'ellipse parcourue par la planète autour de son étoile. Comparer avec la valeur de la distance moyenne de la planète à son étoile donnée dans le document 1.

Rappel : La troisième loi de Kepler donne une relation entre la période de révolution T de la planète, le demi grand axe a de l'orbite elliptique de la planète autour de son étoile et la masse M de l'étoile :

    \[ \frac { T ^{2} } { a^{3} } = \frac {4 \pi ^{2}} {GM} \]

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Exercice 2 : Les réactions de fission et leur utilisation pour la production d’énergie

L’uranium est un métal relativement répandu dans l’écorce terrestre. II est essentiellement composé de deux isotopes, l’uranium 238  et l’uranium 235 , formés en même temps que la Terre, il y a 4,5 milliards d’années. Du fait de leur très grand temps de demi-vie, ces deux isotopes subsistent encore aujourd’hui dans la croûte terrestre mais en proportions très différentes comme le montre le tableau 1 suivant :

NoyauTemps de demi-vie en 10 9 ansProportion dans la croûte terrestre (%)
Uranium 2384,50supérieure à 99
Uranium 2350,713inférieure à 1

L’objectif de cet exercice est de comprendre pourquoi malgré la différence d’abondance, le  combustible utilisé dans les centrales nucléaires est l’uranium 235 (nécessitant alors une étape d’enrichissement du minerai) et quelle serait la principale caractéristique d’une nouvelle filière de réacteur (génération IV) utilisant l’uranium 238.

Les quatre parties sont indépendantes

1.À propos de l’abondance relative des isotopes de l’uranium

1.1. Qu’appelle-t-on noyaux isotopes ?

1.2. On note N0 le nombre de noyaux radioactifs initialement présents dans un échantillon. Donner la  loi de décroissance radioactive N(t) en fonction de N0 et de la constante radioactive l.

1.3. Définir le temps de demi-vie radioactive noté t1/2.

1.4. Au bout d’une durée t = 2 t1/2, par combien est divisé N0 ?

Même question pour une durée t = n. t1l2, où n est un entier ?

1.5. Abondance relative des isotopes

1.5.1. Quelle est approximativement la valeur du rapport (noté R238) de l’âge de la Terre au  temps de demi-vie de l’uranium 238 ? Même question pour l’uranium 235 (rapport note R235).

On donnera les valeurs sous forme de nombres entiers.

1.5.2. En supposant que les noyaux d’uranium 238 et 235 ont été initialement formés en quantités égales (on notera N0 le nombre de noyaux initialement présents), déduire de ce qui précède les valeurs des nombres (notés N238 et N235) de chacun des deux noyaux actuellement présents en fonction de N0.

1.5.3. Déduire des résultats précédents la valeur du rapport des populations des noyaux d’uranium 238 et 235 actuellement présents. Justifier alors le fait qu’il existe actuellement une différence d’abondance entre ces deux noyaux présents dans la croûte terrestre.

2.Un exemple de réaction de fission utilisée dans un réacteur nucléaire

2.1. Donner la définition de la fission nucléaire

2.2. Des réactions de fission sont induites par la capture d’un neutron et s’écrivent :

k est un entier égal à 2 ou 3 suivant les noyaux fils formés.

Quel phénomène risque-t-il de se produire si k ≥ 2 ?

Comment fabriquer de l’électricité ?
Pour obtenir de l'électricité, on fait entrer en fission des matériaux nucléaires. De cette réaction naît une chaleur très puissante, qui sert à chauffer de l'eau qui crée un mouvement dans une turbine. Ainsi l'électricité est créée par le biais du système rotor-stator.

3.Modélisation du mécanisme de fission

On peut modéliser la fission d’un noyau lourd suivant le schéma donné sur la figure 7 suivante :

Figure 7

À partir d’un noyau lourd dans l’état 1, on passe par un état intermédiaire 2 où le noyau est déformé, puis on obtient l’état 3 avec deux noyaux fils séparés.

Dans l’état 2, la distance moyenne inter-nucléons est plus grande que dans l’état 1.

3.1. Quelle est la nature de la force d’interaction qui assure la cohésion du noyau ?

Cette force est-elle attractive ou répulsive ?

3.2. Quelle est la nature de l’autre force d’interaction s’exerçant entre les protons ?

Cette force est-elle attractive ou répulsive ?

3.3. Le schéma modélisant la fission d’un noyau lourd se traduit du point de vue énergétique par le diagramme donné SUR LA FIGURE 8 DE L’ANNEXE.

3.3.1. Les positions relatives des niveaux d’énergie des états 1 et 3 sont-elles compatibles avec le fait que la réaction de fission libère de l’énergie ?

3.3.2. À faible distance inter-nucléons, la force de cohésion est prédominante.

Justifier que pour déformer le noyau, il faille apporter de l’énergie au système noyau. Ceci est-il compatible avec les positions relatives des niveaux d’énergie des états 1 et 2 ?

3.3.3. Pour réaliser la fission, il faut donc apporter une énergie minimale au noyau, appelée énergie seuil. Représenter cette énergie seuil par une flèche sur le diagramme donné SUR LA FIGURE 8 DE L’ANNEXE.

4.Noyaux fissiles

Il existe un phénomène appelé capture neutronique permettant d’apporter de l’énergie, notée Ea, au noyau  et conduisant à un nouveau noyau. Les valeurs de cette énergie apportée par la capture d’un neutron quasiment au repos sont données pour certains noyaux dans le tableau 2. Les noyaux d'uranium 238 et et de plutonium 239 n’existent pas à l’état naturel mais le plutonium peut être produit à partir d’uranium 238.

Noyau avant captureUranium 233Uranium 235Uranium 238Plutonium 239
Noyau après captureUranium 234Uranium 236Uranium 239Plutonium 240
Énergie apportée Ea (MeV)6,86,54,86,5

Dans le tableau 3 figurent les énergies seuil nécessaires à provoquer la fission de ces mêmes noyaux après capture :

Noyau YUranium 234Uranium 236Uranium 238Plutonium 240
Énergie seuil de fission Es (MeV)6,05,95,85,9

4.1. Pour réaliser une réaction de fission, il faut apporter une énergie minimale appelée énergie seuil Es. En utilisant les tableaux 2 et 3, déterminer parmi les quatre noyaux  celui qui ne peut pas  conduire à une fission après capture d’un neutron pratiquement au repos.

4.2. Production d’énergie à partir d’uranium 238

On parle de neutrons quasiment au repos quand il s’agit de neutrons très lents, c’est-a-dire de très  faible énergie cinétique Ec , typiquement Ec = 0,025 eV.

Lorsque l’énergie cinétique Ec du neutron capturé par le noyau au repos  n’est pas négligeable  celle-ci s’ajoute à l’énergie apportée par la capture du neutron au repos : l’énergie apportée lors de la capture d’un neutron est alors égale à Ec + Ea.

4.2.1. Dans le cas du noyau trouvé à la question 4.1, quelle condition doit vérifier l’énergie cinétique du neutron pour qu’après sa capture, la fission du nouveau noyau soit possible ?

4.2.2. Le forum international Génération IV auquel participe la France a pour but de développer des réacteurs à « neutrons rapides » permettant à la fois l’optimisation de la consommation des ressources en uranium et la minimisation des déchets à vie longue.

Justifier l’expression «neutrons rapides» pour désigner les neutrons utilisés dans cette nouvelle filière de réacteur.

4.2.3. En considérant la grande différence d’abondance entre les noyaux d’uranium 238 et 235, expliquer qualitativement la possibilité d’optimiser la consommation des ressources en minerai uranium grâce aux réacteurs à « neutrons rapides ».

ANNEXE À RENDRE AGRAFÉE AVEC LA COPIE

Attention, le diagramme énergétique n’est pas à l’échelle.

Figure 8 : Diagramme énergétique.

Exercice 3 : Détermination de la viscosité du glycérol

Expérience et données :

On réalise l'expérience suivante :

Un long tube OS, fermé aux deux extrémités, contient du glycérol de viscosité h et une bille en acier.

Le tube est retourné à l'instant t = 0, la bille se trouve alors en haut du tube sans vitesse initiale puis elle tombe verticalement dans le glycérol.

Données

accélération de la pesanteur g = 9,81 m. s-2

Tube :hauteur : d =OS = 40 cm

deux traits horizontaux, utiles dans la partie 2, ont été tracés en D et F.

Bille :

masse volumique de l'acier : rs = 7850 kg.m-3

rayon de la bille : R = 6,0. 10-3 m

volume de la bille V

Glycérol :

masse volumique : rgly = 1260 kg.m-3

la viscosité h s'exprime en Pa.s (pascal x seconde).

L'étude est effectuée dans le référentiel de laboratoire supposé galiléen.

L'axe pour l'étude est l'axe y'y vertical orienté vers le bas sur le schéma ci-dessus, de vecteur unitaire .

1 .  Les forces

Donner l'expression vectorielle du poids de la bille en fonction de rs, V, g et .

Donner l'expression vectorielle de la poussée d'Archimède s'exerçant sur la bille en fonction de rgly, V, g et  .

L'intensité de la force de frottement, donnée par la loi de Stokes, a pour expression f = khRv ; v est la valeur de la vitesse de chute de la bille, et k une constante sans dimension.

Donner l'expression vectorielle de la force de frottement  .

Représenter ces forces sur un schéma sans souci d'échelle.

2.Détermination de la viscosité du glycérol, principe du viscosimètre

Qu'est-ce qu'un fluide non newtonien ?
On appelle fluide non newtonien un fluide dont la déformation à la contrainte n'est pas proportionnelle à la force qu'on y applique.

Au cours de la chute, la bille atteint très rapidement sa vitesse limite, notée vlim.

Lorsque la bille passe devant le trait D et au-delà, sa vitesse est constante.

La durée de chute Dtch de la bille, entre les deux traits D et F qui sont distants d'une hauteur L, est mesurée.

Exprimer la vitesse de chute limite vlim en fonction de Dtch, et L.

Écrire la relation vectorielle entre les forces s'exerçant sur la bille lorsqu'elle se trouve entre les deux traits D et F. Justifier la réponse.

En déduire l'expression de la viscosité du glycérol h= C(rs - rgly)(Dtch) avec :

    \[ C = \frac {g V} {kRL} \]

  • Calculer la valeur de h, sachant que C = 7,84.10-4 m2.s-2 et Dtch = 0,29 s.
  • La courbe représentant la viscosité du glycérol en fonction de la température est donnée en annexe à rendre avec la copie.

Déterminer graphiquement la température à laquelle l'expérience a été réalisée.

3.Étude du mouvement de chute de la bille

Le début de la chute a été filmé, puis le traitement de la vidéo a permis d'obtenir la représentation de la vitesse de la bille en fonction du temps. Cette représentation est donnée en annexe à rendre avec la copie.

Exploitation de l'expérience

Identifier graphiquement les deux phases d'évolution de la vitesse et les nommer.

Déterminer graphiquement :

le temps caractéristique t de l'évolution de la valeur de la vitesse de la bille ;

la valeur de la vitesse limite vlim atteinte par la bille.

Comment le graphe v = f(t) permet-il d'étudier l'évolution de l'accélération au cours du temps ? Décrire cette évolution.

Étude théorique

Par application de la seconde loi de Newton, établir l'équation différentielle vérifiée par la valeur de la vitesse v de la bille.

L'écrire sous la forme suivante :

    \[ \frac { \text {d} v } { \text {d} t } = A + B \cdot v\]

Calculer A et préciser son unité.

En déduire la valeur de l'accélération a0 de la bille à l'instant t = 0.

ANNEXE à rendre avec la copie

2.5. courbe représentant la viscosité du glycérol en fonction de la température
3. étude du mouvement de chute libre

 

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Clément

Freelancer et pilote, j'espère atteindre la sagesse en partageant le savoir que j'ai acquis lors de mes voyages au volant de ma berline. Curieux scientifique, ma soif de découverte n'a d'égale que la durée de demie-vie du bismuth 209.