Exercice 1 : Les frottements dans l'atmosphère

La question 6 est indépendante des précédentes.

Intrigué par la notion de frottement fluide introduite en classe, un élève recherche des informations sur la notion de force de traînée.
Sur le site de la NASA, "National Aeronautics and Space Administration", dont l'activité se partage entre domaine
spatial et aéronautisme, l'élève trouve : "La force de traînée sur un avion ou une navette dépend de la densité de l'air, du carré de la vitesse, de la viscosité et de la compressibilité de l'air, de la taille et de la forme de l'objet ainsi que de son inclinaison par
rapport à l'écoulement d'air. En général, la dépendance à l'égard de la forme du corps, de l'inclinaison, de la viscosité et de la compressibilité de l'air est très complexe." (d'après www.nasa.gov) A l'issue de cette recherche, l'élève dégage deux modèles  pour rendre compte des frottements exercés par l'air sur les objets.

● modèle 1 : les frottements dépendent, entre autres, de la viscosité de l'air ηair et de la valeur v de la vitesse du centre de gravité G du système. On exprime alors la force sous la forme :

    \[ \overrightarrow {f} _ {1} = A \eta _ {\text {air} } \cdot v \cdot \overrightarrow {k} \]

avec A constante

 

● modèle 2 : les frottements dépendent, entre autres, de la masse volumique de l'air ρair et du carré de v. On écrit alors la force sous la forme :

    \[ \overrightarrow {f} _ {2} = B \rho _ {\text {air} } \cdot v ^ {2} \cdot \overrightarrow {k} \]

avec B constante

Les constantes A et B sont liées à la forme du corps et à son inclinaison.

Le choix entre ces deux modèles est lié à l'expérience. Son professeur lui conseille de les appliquer à la chute verticale
d'une grappe de ballons de baudruche dont il peut lui fournir le film. Il lui donne également les valeurs approchées des
constantes A et B

Un logiciel adapté permet d'obtenir la courbe d'évolution temporelle de la valeur v de la vitesse du centre d'inertie G du système de la figure 2 de l'annexe.

Le système fourni par l'ensemble des ballons de baudruche, de masse m et de volume total V, est lâché sans vitesse initiale, dans le champ de pesanteur uniforme et vertical.

Toute l'étude de cet exercice est faite dans le référentiel terrestre supposé galiléen, muni d'un repère (O ;
) dont l'axe Oz vertical est orienté vers le bas. On pose vz = v, valeur de la vitesse du centre d'inertie G du système.

Comment fabriquer une fusée ?
Les fusées envoyées hors de l'atmosphère subissent de très fortes températures et de très fortes pressions. C'est pourquoi il est nécessaire d'utiliser des matériaux solides et résistants afin d'éviter leur explosion.

Données pour l'objet étudié :
Valeurs approchées de A et B calculées à partir de la géométrie de l'objet :
A ≈ 1 × 101 m
B ≈ 2 × 10-2 m²
masse du système : m = 22 g
valeur du champ de pesanteur : g = 9,8 m.s-2
masse volumique de l'air : ρair = 1,2kg.m-3 = 1,2 g.L-1
viscosité dynamique de l'air : ηair = 2 × 10-5 kg.m-1.s-1

1. Rappeler ce que signifie le caractère uniforme du champ de pesanteur.

2. Le système est soumis à trois forces, son poids, les frottements
et la poussée d'Archimède.

Donner les caractéristiques de la poussée d'Archimède.

3. Si l'on choisit le modèle 1, montrer que dans le référentiel terrestre (supposé galiléen), la vitesse v vérifie l'équation différentielle :

    \[ m \cdot \frac { \text {d} v } { \text {d} t } = m \cdot g ( 1 - \frac { v \cdot \rho _{\text {air}} } {m} ) - A \eta _ {\text {air} } \cdot v \]

De la même façon, montrer que pour le modèle 2 on obtient l'équation suivante :

    \[ m \cdot \frac { \text {d} v } { \text {d} t } = m \cdot g ( 1 - \frac { v \cdot \rho _{\text {air}} } {m} ) - B \rho _ {\text {air} } \cdot v ^ {2} \]

4. Accélération  initiale

4.1. Déduire des équations différentielles l'expression littérale de a0, valeur de l'accélération à la date t = 0, en fonction de m, V, g et ρair. (On pourra prendre indifféremment l'une de l'autre des deux équations différentielles pour trouver l'expression littérale de a0).
4.2. Vérifier par une méthode graphique, sur la figure 2 de l'annexe, que la valeur de l'accélération initiale a0 est de l'ordre de a0 = 6 m.s-2.
4.3. Retrouver cette valeur par un calcul sachant que le volume V du système est de l'ordre de 7 L.

5. Vitesse limite

5.1. Déterminer graphiquement sur la figure de l'annexe, la valeur de la vitesse limite vlim. La construction graphique devra apparaître sur la figure.
5.2. À l'aide de l'équation différentielle, démontrer dans le cas du modèle 1 que l'expression de cette vitesse limite est :

    \[ v_{lim,1} = \frac {m \cdot g ( 1 - \frac { v \cdot \rho _{\text {air}} } {m} ) }{A \eta _ {\text {air} } \cdot v} \]

On admet également dans le cas du modèle 2 que :

    \[ v_{lim,2} = \frac {m \cdot g ( 1 - \frac { v \cdot \rho _{\text {air}} } {m} ) }{B \rho _ {\text {air}}} \]

5.3. Calculer la valeur approchée de vlim,1 en utilisant les données fournies en début d'énoncé. On rappelle que le volume V du système est de l'ordre de 7 L.
5.4. Sachant que vlim,2 = 2 m.s-1, comparer ces deux vitesses limites avec la valeur vlim trouvée expérimentalement. En déduire lequel des deux modèles est le plus adapté à l'étude réalisée.

6. Force de frottement et énergie : retour de la navette spatiale

Le travail de la force de frottement est dissipé sous forme de chaleur ; le bouclier thermique des navettes spatiales est destiné à
les protéger lors de leur entrée dans l'atmosphère.

Pour l'expliquer sur un forum, l'élève a rédigé le texte suivant :
«La navette pèse 70 tonnes ; elle quitte une orbite basse (250 km) autour de la Terre et se déplace à environ 28 000 km/h par rapport à la Terre lorsqu'elle amorce sa descente. Le plus problématique avant l'atterrissage n'est pas de descendre de 250 km, mais de ralentir afin que la vitesse soit d'environ 400 km/h. Pour cela il faut dissiper environ 2 térajoules en 2 000
secondes, soit 1 mégawatt moyen ! Actuellement, cette énergie est dissipée sous forme de chaleur lors du frottement de la navette avec l'air de l'atmosphère ; l'énergie cinétique diminue, la navette ralentit et se
réchauffe».

6.1. Citer les noms de formes d'énergie que possède la navette en orbite autour de la Terre. 6.2. Dans la phrase : «... il faut dissiper 2 térajoules en 2 000 secondes, soit 1 mégawatt moyen», donner le nom de deux grandeurs physiques dont les valeurs numériques sont soulignées.
6.3. En ne prenant en compte que la variation de la vitesse comme le suggère l'élève, calculer la valeur de deux grandeurs citées dans la question précédente, à partir des données fournies dans le texte.
Vos résultats sont-ils en accord avec ceux de l'élève ?

Rappels : 1
térajoule = 1 TJ = 1012 J                       1 mégawatt = 1 MW = 105 W

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Exercice 2 : Les feux d'artifice

Dans cet exercice, on s’intéresse à la mécanique d’un feu d’artifice puis à l’émission lumineuse liée à l’élément cuivre et ensuite au dosage de l’élément cuivre dans une pièce de monnaie.
Les parties 1,2 et 3 sont indépendantes.

1. Mécanique du feu d’artifice

La pyrotechnie, du grec « pyros » feu et « teckhnê » savoir-faire, est la technique des feux d’artifice. Elle fut inventée par les chinois, il y a plus de mille ans et introduite en Occident grâce à Marco Polo  au XIIIème siècle. La fusée pyrotechnique sphérique est, sans conteste, le projectile le plus employé  par les techniciens lors des feux d’artifices modernes. Elle est tirée depuis un mortier fixé au sol (voir  la figure 1) et est expulsée à grande vitesse par les gaz produits par l’explosion de la charge  propulsive.

À l’apogée, une charge d’éclatement provoque l’explosion de la fusée et disperse les garnitures pyrotechniques qu’on appelle « étoiles ».

L’étude des mouvements des centres d’inertie des différents projectiles est réalisée dans le référentiel terrestre supposé galiléen.

1.1. Étude théorique de la phase ascensionnelle de la fusée pyrotechnique

Comment faire un feu d'artifice ?
Les feux d'artifices sont des spectacles époustouflants. Il s'agit de fusées envoyées dans le ciel et qui y explosent en envoyant une multitude de fumées colorées. Cela demande cependant quelques précautions : cela peut produire des étincelles ou mettre le feu aux herbes sèches. Il faut toujours se tenir loin d'une forêt ou de champs de paille et éviter de les allumer à proximité d'un terrain très sec.

Une fusée pyrotechnique de masse  M = 400 g est tirée verticalement avec une vitesse initiale de valeur v0 = 50,0 m.s –1.

On étudie le mouvement de son centre d’inertie G dans un repère vertical (O,) orienté vers le haut.

On choisit l’instant t0 = 0 s lorsque le centre d’inertie G est confondu avec l’origine du repère O.

On néglige le mouvement de rotation de la fusée pyrotechnique sur elle-même ainsi que les actions mécaniques liées à l’air (poussée d’Archimède et force de frottements). Lors du tir, la vitesse du vent  est considérée comme étant nulle et on admet que la fusée pyrotechnique ne subit pas de perte de masse lors de son mouvement ascendant.

Figure 1 : Coupe d’un mortier servant au tir d’un feu d’artifice

Un logiciel de simulation permet d’obtenir le graphe de l’évolution temporelle de l’énergie cinétique Ec,  de l’énergie potentielle de pesanteur Ep et de l’énergie mécanique totale Em de la fusée lors de son mouvement ascendant, comme indiqué sur la figure 2 ci-après.

On prend l’origine de l’énergie potentielle de pesanteur au point O.

Figure 2 : Évolution temporelle des différentes énergies mises en jeu lors de l’ascension de la bombe pyrotechnique

1.1.1.   En justifiant la réponse, identifier chacune des courbes des énergies représentées.

1.1.2.   En s’aidant du graphique figure 2, déterminer l’instant tA auquel la fusée pyrotechnique atteint son altitude maximale yA (apogée). Justifier.

1.1.3.   Donner les expressions de l’énergie mécanique aux instants t0 et tA.

1.1.4.   En déduire que l’expression de la coordonnée yA de l’apogée atteinte par la fusée pyrotechnique s’exprime par la relation ci-dessous :

    \[ Y_ {A} = \frac {v_ {0} ^ {2} } {2 g} \]

Calculer la valeur de l’altitude de l’apogée sachant que l’accélération de la pesanteur vaut g = 9,8 m.s-2.

1.1.5. En réalité l’apogée vaut 122 m, interpréter le fait que cette valeur est différente de celle obtenue à la question 1.1.4.

1.2. Dispersion des « étoiles »

Dans le repère () de la figure 3, on étudie le mouvement d’une « étoile » produite lors de l’explosion de la fusée à l’apogée de sa trajectoire. Cette « étoile » est projetée à partir du point A à  une altitude yA = 122 m. Le vecteur-vitesse initiale  appartenant au plan xOy, incliné d’un angle a  par rapport à l’horizontale a pour valeur vA = 54,0 m.s –1. On néglige les actions mécaniques liées à  l’air (forces de frottements et poussée d’Archimède) et on prend comme nouvelle origine des temps l’instant où l’« étoile » est produite en A.

1.2.1. Dans le repère(), en appliquant la seconde loi de Newton, établir l’expression des composantes vx(t) et vy(t) du vecteur vitesse du centre d’inertie d’une « étoile » de masse m.

1.2.2. Les courbes (4) et (5) de la figure 4 ci-dessous, représentent l’évolution temporelle des composantes du vecteur vitesse . Identifier, en justifiant, chacune de ces courbes.

Figure 4 : Évolution temporelle des composantes du vecteur vitesse du centre d’inertie d’une étoile

1.2.3. Montrer que l’équation de la trajectoire de l’étoile est :

    \[ y (x) = - \frac {g} {2 v ^ {2} _{A} \cos ^{2} \alpha} x ^{2} + (tan ( \alpha )) x + y _{A} \]

De quel type de trajectoire s’agit-il ?

2.Émission lumineuse

Les «étoiles» en combustion produisent une flamme colorée dont la couleur dépend de leur  composition chimique. La couleur bleue obtenue est due à la désexcitation des molécules de chlorure  de cuivre (I) CuC.

Le spectre d’émission de la molécule CuC excitée est composé de plusieurs bandes centrées autour des longueurs d’onde suivantes dans le vide : 395 nm ; 433 nm ; 435 nm ; 484 nm ; 488 nm ; 525 nm.

Données :

constante de Planck : h = 6,6 × 10 - 34 J.s

célérité de la lumière dans le vide : c = 3,0 x 10 8 m.s –1

1 eV = 1,6 x 10 - 19 J

Comment son fabriquées les pièces de monnaie ?
Le cuivre est encore aujourd'hui très utilisé dans la fabrication de pièces de monnaie. Celui-ci est présent dans les alliages permettant de les façonner. Cependant, le cuivre, seul, est un matériau fragile et malléable.

2.1. Le spectre d’émission de la molécule CuC appartient-il au domaine du rayonnement visible, ultraviolet ou infrarouge ?

2.2. À quelle valeur de la fréquence n  correspond la longueur d’onde 435 nm dans le vide ?

Calculer l’énergie du photon correspondant en eV.

3.L’élément cuivre dans les pièces de monnaie

On se propose dans cette partie de vérifier expérimentalement, par spectrophotométrie, le  pourcentage massique en cuivre dans un échantillon servant à fabriquer une pièce de 10 centimes d’euro.

Données :

Couples d’oxydoréduction : Cu2+(aq) / Cu(s) ;   / NO(g)

Masse molaire atomique : M(Cu) = 63,5 g.mol -1

Masse molaire du sulfate de cuivre pentahydraté : M(CuSO4, 5 H2O) = 249,6 g.mol -1

Le monoxyde d’azote NO(g) s’oxyde au contact du dioxygène de l’air en dioxyde d’azote NO2(g), gaz roux et toxique, selon l’équation chimique :

2 NO(g) + O2(g) = 2 NO2(g)

3.1. Attaque du cuivre contenu dans la pièce par une solution d’acide nitrique

L’acide nitrique (H3O+ +  est un oxydant puissant capable d’oxyder des métaux tels que le cuivre Cu. Sous une hotte, dans un bécher, on place l’échantillon et on ajoute de l’acide nitrique concentré  en excès. On observe au cours de cette transformation totale l’apparition d’une teinte bleue foncée  dans la solution révélant la présence d’ion cuivre (II) Cu2+ et un dégagement gazeux qui devient roux  au contact de l’air.

Écrire les demi-équations d’oxydoréduction associées à chaque couple mis en jeu lors de cette transformation chimique.

3.2. Dosage spectrophotométrique des ions cuivre (II) présents dans la solution S

Une fois le dégagement gazeux achevé, on verse le contenu du bécher dans une fiole jaugée de 1,0 L  et on complète jusqu’au trait de jauge avec de l’eau distillée en homogénéisant le mélange afin de réaliser la solution S.

3.2.1. Afin de réaliser une échelle de teintes, on prépare un volume V0 = 100 mL d’une  solution « mère » S0 de sulfate de cuivre de concentration molaire c0 = 1,0 ´ 10 -1 mol.L -1.

Calculer la masse de sulfate de cuivre pentahydraté à peser pour préparer cette solution par dissolution.

La solution S0 permet de préparer par dilution une échelle de teintes constituée des cinq solutions  « fille » de volume V = 25,0 mL chacune. On mesure l’absorbance A à la longueur d’onde l = 810 nm.

À cette longueur d’onde seul l’ion Cu2+ (aq) est responsable du phénomène d’absorption lumineuse.

SolutionS0S1S2S3S4
Concentration c (mol.L-1)1,0 x 10 -18,0 x 10 -26,0 x 10-24,0 x 10-22,0 x 10-2
A1,261,020,760,520,24

3.2.2. Calculer le volume, noté Vmère de solution « mère » S0 à prélever pour préparer la  solution « fille » S3. Justifier.

3.2.3. À l’aide du spectre d’absorption d’une solution de sulfate de cuivre représenté SUR LA FIGURE 5 DE L’ANNEXE, justifier le choix de la longueur d’onde retenue pour cette étude expérimentale.

3.2.4. L’absorbance d’un échantillon de la solution S, mesurée dans les mêmes conditions que précédemment à la longueur d’onde l = 810 nm, vaut As = 0,70. Le graphe donnant l’évolution de l’absorbance A en fonction de la concentration c en soluté apporté des différentes  solutions « fille » est représentée SUR LA FIGURE 6 DE L’ANNEXE.

En déduire la concentration molaire volumique cs de la solution S, en justifiant graphiquement.

Comment faire des calculs ?
La plupart des calculs mathématiques compliqués, que ce soit dans les domaines de la physique, de la géométrie ou encore des statistiques sont réalisés par ordinateur. En effet, leur puissance de calcul est tellement grande qu'ils permettent d'effectuer de grosses charges de travail en un temps record.

3.3. Pourcentage massique de cuivre dans la pièce

Toutes les pièces d’euros contiennent du cuivre métallique dans des proportions particulières. Ainsi,  les pièces de 10, 20 et 50 centimes sont formées d’un alliage appelé « or nordique » dont la  composition massique est la suivante : 89 % de cuivre, 5% d’aluminium, 5% de zinc, 1 % d’étain.

3.3.1. En utilisant le résultat de la question 3.2.4, calculer la valeur de la masse m(Cu) de cuivre contenue dans l’échantillon étudié précédemment.

3.3.2. Sachant que la masse de l’échantillon est m = 4,1 g, en déduire le pourcentage massique du cuivre dans l’échantillon.

Comparer ce résultat à la valeur fournie dans l’énoncé en calculant l’écart relatif.

ANNEXE À RENDRE AGRAFÉE AVEC LA COPIE

Figure 5 : A = f(λ) pour une solution de sulfate de cuivre de concentration molaire apportée en soluté c0 = 1,0 x 10 -1 mol.L -1
Figue 6 : A = f(c) pour des solutions de sulfate de cuivre de différentes concentrations molaires apportée en soluté

 

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Clément

Freelancer et pilote, j'espère atteindre la sagesse en partageant le savoir que j'ai acquis lors de mes voyages au volant de ma berline. Curieux scientifique, ma soif de découverte n'a d'égale que la durée de demie-vie du bismuth 209.