Le sujet porte sur les caractéristiques des ondes en première
partie puis traite du phénomène de résonance en électricité et d'un circuit RLC
en régimes pseudopériodiques (puis du modèle LC).
Le sujet est moyennement difficile. Les premières et dernières questions sont
classiques. Une bonne compréhension du phénomène est nécessaire pour traiter la
partie centrale.

Les ultrasons sont utilisés dans de nombreux domaines de la
vie courante : échographie, détecteurs de présence dans les alarmes, etc. Les
émetteurs et les récepteurs d'ultrasons sont fréquemment constitués de
céramiques piézoélectriques.

Les parties 1 et 2 de cet exercice sont indépendantes.

1. Émission et propagation de l'onde ultrasonore produite par une céramique piézoélectrique

Lorsqu'on applique une tension sinusoïdale d'amplitude suffisante et de
fréquence appropriée entre les deux faces métallisées et opposées d'une
céramique piézoélectrique, elle se met à vibrer. Lorsque la céramique entre en
résonance, elle émet des ultrasons.
La fréquence des ultrasons émis est égale à la fréquence de vibration de la
céramique émettrice.

1.1. Propagation des ondes ultrasonoresOn réalise le montage schématisé figure 7 ci-dessous. Le récepteur,
constitué d'une céramique réceptrice, est placé à une distance d, face à la
céramique émettrice.
Une tension de même fréquence que les ultrasons reçus apparaît aux bornes de la
céramique réceptrice. On visualise cette tension sur la voie A d'un
oscilloscope. L'oscillogramme obtenu est représenté sur la figure 8 ci-dessous.
Le coefficient de balayage est égal à 10 µs/div et la sensibilité verticale à
0,2 V/div.
On rappelle que la célérité des ultrasons dans l'air est vair = 340 m.s-1 dans les conditions de l'expérience.

1.1.1. Déterminer la période T et la fréquence f
de la tension observée à l'oscilloscope.
1.1.2. En déduire la fréquence des fu ultrasons.
Justifier.
1.1.3. Donner l'expression littérale puis la valeur de la longueur
d'onde l des ultrasons dans l'air.

1.2. Résonance de la céramique émettrice
Pour une valeur appropriée de la fréquence de la tension
sinusoïdale appliquée, son amplitude restant constante, la céramique émettrice
entre en résonance. La tension sinusoïdale joue alors le rôle d'un excitateur
et la céramique celui d'un résonateur.
1.2.1. Que peut-on dire de la valeur de la fréquence de la
tension excitatrice à la résonance ?
1.2.2.
Décrire qualitativement le phénomène de résonance en ce qui concerne
l'amplitude de vibration de la céramique.

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2. Oscillations libres dans un circuit RCL série

Pour étudier les conditions d'obtention d'oscillations électriques libres à la
fréquence propre fo =40kHz, on réalise le
circuit schématisé figure 9 ci-dessous. Un oscilloscope à mémoire permet
d'enregistrer la tension aux bornes du condensateur. L'oscillogramme est
représenté sur la figure 10 ci-dessous.
La bobine a une inductance de valeur L = 1,0 mH ; R est la
résistance totale du circuit. Le condensateur est initialement chargé sous une tension
Uc = 4,0 V.
A l'instant de date t = 0 s, on fermel'interrupteur K.

2.1. Comment appelle-t-on le type de régime
correspondant à la figure 10 ?

2.2. Interpréter en termes d'énergie l'amortissement des
oscillations, que l'on observe.

2.3. Comment peut-on éviter l'amortissement des
oscillations, sachant que la résistance du circuit ne peut être nulle ?

2.4. Dire si les affirmations ci-dessous concernant les
oscillations libres d'un dipôle RLC sont vraies ou fausse. Commentez
brièvement.
AFFIRMATION 1 : En augmentant la résistance R d'un dipôle RLC on
observera toujours des oscillations amorties.
AFFIRMATION 2 : la valeur de la période propre d'un dipôle RLC dépend de la
charge initiale du condensateur.

2.5. Détermination de la capacité d'un condensateur
Dans le cas étudié, l'amortissement est assez faible pour pouvoir confondre la pseudo
période du dipôle RLC avec la période propre To du dipôle LC(L et C ayant les mêmes valeurs respectives dans les deux
cas).
2.5.1. On
considère le circuit LC représenté à la figure 11 ci-dessous.L'interrupteur K
est ouvert et la tension aux bornes du condensateur est égale à Uo.
A l'instant de date t = 0 s, on ferme
l'interrupteur K.
Après avoir établi l'expression de l'intensité i du courant en fonction
de la tension uc montrer que l'équation différentielle
vérifiée par la tension uc(t) aux bornes du
condensateur est :


2.5.2. La solution de cette
équation différentielle peut s'écrire

En déduire, en utilisant l'équation différentielle,
l'expression littérale de la période propre T0 du circuit.
2.5.3. Calculer la valeur à donner à la capacité C du condensateur de
manière à obtenir des oscillations à la fréquence f0 = 40
kHz.

 

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Olivier

Professeur en lycée et classe prépa, je vous livre ici quelques conseils utiles à travers mes cours !