L'écoulement d'un fluide

L'écoulement laminaire

Comment réparer une canalisation d'eau ?
Qui n'a jamais observé l'eau couler quand il s'ennuyait ?

Quand on parle d'écoulement laminaire en mécanique des fluides, on évoque le mode d'écoulement d'un fluide dans le cas où l'ensemble du fluide s'écoule plus ou moins dans la même direction et cela sans que les différences locales ne se contrarient. On est alors en opposition au régime turbulent au cours duquel l'écoulement produit des tourbillons qui vont mutuellement se contrarier.

Ainsi, lorsque l'on cherche à faire circuler un fluide dans un tuyau, on cherche à mettre en place un écoulement laminaire afin qu'il y ait moins de pertes de charge. Mais on cherche aussi à mettre en place un écoulement laminaire lorsque l'on cherche à faire voler un avion afin que le vol soit stable et prévisible à l'aide d'équations.

L'écoulement laminaire d'un point de vue microscopique

Il est toujours intéressant d'apporter un point de vue microscopique à une réflexion. en effet, alors que rien ne se voit d'un point de vue macroscopique, il peut se passer beaucoup de chose dans le monde du très petit.

Lorsque l'on observe un écoulement laminaire à l'échelle microscopique, on peut observer que deux particules de fluides qui sont voisines à un instant défini resteront voisines lors des prochains moments d'observation. De par cette observation, on peut décrire un champ de vitesse grâce à l'utilisation de techniques classiques d'analyse mathématique.

Dans le cas où l'écoulement devient turbulent, celui-ci devient alors sans organisation apparente. Les techniques classiques d'analyse mathématique utilisées précédemment ne suffisent alors plus pour décrire le champ de vitesse.

L'écoulement laminaire d'un point de vue macroscopique

Tout comme la notion de régime turbulent, la notion de régime laminaire est très fortement liée à la viscosité du fluide en mouvement. En effet, lorsque le liquide se situe dans une conduite ou autour d'un obstacle, alors, au voisinage d'une paroi sur laquelle la vitesse relative du fluide est nulle, on peut alors observer l'apparition de fortes variations de vitesse au sein desquelles la viscosité est impliquée.

De façon plus précise, on peut dire que l'écoulement visqueux est caractérisé grâce à un nombre sans dimension que l'on appelle le nombre de Reynolds. Ce nombre permet alors de mesurer l'importance relative des forces inertielles qui sont liées à la vitesse et des forces de frottement qui sont liées à la viscosité.

Ainsi, si ces dernières sont prépondérantes, alors on peut dire que le frottement, qui se produit entre deux couches de fluides, maintient leur cohésion : on obtient ainsi un écoulement laminaire.

Dans le cas où le nombre de Reynolds augmente au-delà d'un certain seuil, alors l'écoulement est déstabilisé. Dans ce cas, il peut y avoir un régime turbulent qui va se mettre en place après qu'une phase de transition, plus ou moins importante, ait eu lieu.

Le nombre de Reynolds, noté Re, correspond à un nombre sans dimension qui est utilisé en mécanique des fluides. Cette grandeur permet alors de caractériser un écoulement, en particulier la nature de son régime. Il est ainsi possible de savoir si un écoulement est laminaire, transitoire ou turbulent.

Le régime turbulent

Que faut-il faire en cas de turbulences dans un avion ?
Attention, attachez vos ceintures, il y a des turbulences !

Lorsque vous subissez des turbulences en plein vol, c'est tout simplement que votre avion entre dans une zone où le flux d'air provoque une zone d'écoulement turbulent.

Le terme turbulence correspond à l'état de l'écoulement d'un fluide, qu'il soit liquide ou gaz, au sein duquel la vitesse présente un caractère tourbillonnaire. On entend par là la présence de tourbillons dont la taille, la localisation mais également l'orientation vont, de façon constante, varier.

On peut caractériser un écoulement turbulents par une apparence très désordonnée mais également par un comportement qui restera difficilement prévisible et par l'existence de nombreuses échelles spatiales et temporelles.

Il est possible de voir apparaître ce type d'écoulement dans le cas où la source d'énergie cinétique, qui provoque la mise en mouvement du fluide, est relativement intense devant les forces de viscosité que le fluide va opposer pour se déplacer. On peut alors opposer cet écoulement au régime laminaire qui est régulier.

Pour étudier le comportement complexe des écoulements turbulent, il faut, dans la plupart des cas, utiliser la voie statistique. En effet, on peut, de ce fait, considérer que cette étude fait partie intégrante de la physique statistique afin de traduire que, lors d'un écoulement, les forces d'inertie l'emportent sur les forces de viscosité.

Écoulement de Poiseuille et loi de Poiseuille

La loi de Poiseuille, que l'on appelle aussi loi de Hagen-Poiseuille, permet de décrire ce que l'on appelle écoulement laminaire, c'est à dire un écoulement sous la forme de filets de liquide parallèles, d'un liquide visqueux au sein d'une conduite cylindrique. On appelle logiquement écoulement de Poiseuille tout écoulement qui suit une loi de Poiseuille.

De façon générale, la loi de Poiseuille permet de décrire de façon théorique la relation existant entre le débit d'un écoulement et la viscosité d'un fluide, mais aussi la différence de pression aux extrémités de la canalisation ainsi que la longueur et le rayon de cette même canalisation.

Écoulement torrentiel et fluvial

Qu'est-ce qui différencie un fleuve d'une rivière ?
Il est toujours agréable de regarder le soleil se coucher

On parle d'écoulement torrentiel et d'écoulement fluvial dans le cas d'un équilibre de l'écoulement d'un liquide dans un canal ou encore un cours d'eau ou une conduite à la surface libre.
De façon plus précise, on parle d'écoulement torrentiel dans le cas où le nombre de Froude est supérieur à 1, ce qui signifie alors que la vitesse du courant est supérieure à la vitesse d'une vague de liquide étudié. Dans le cas contraire, on parle d'écoulement fluvial.

Notons qu'il est possible de passer d'un régime torrentiel à un régime fluvial lorsqu'il y a un ressaut hydraulique, ce qui signifie qu'il y a une élévation du niveau d'eau ou encore lorsqu'il y a une dissipation d'énergie. Il est d'ailleurs possible d'observer ce phénomène dans un évier de cuisine.

Écoulement polyphasique

On parle d'écoulement polyphasique lorsque l'on observe un écoulement de fluide comportant plusieurs phases. On peut, par exemple, étudier le comportement d'un fluide qui comporte en son sein des bulles de gaz ou encore étudier le comportement d'un mélange de deux fluides non miscibles.

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La viscosité d'un fluide

On appelle viscosité l'ensemble des phénomènes de résistance à l'écoulement qui peuvent se produire dans la masse d'une matière dans le cas d'un écoulement que l'on considère comme étant uniforme et sans turbulence. De façon logique, plus le viscosité sera élevée, plus la capacité que possède le fluide à s'écouler facilement va diminuer. De plus, lorsque la viscosité est élevée, l'énergie qui sera dissipée par l'écoulement sera importante.

La viscosité de cisaillement, qui peut être comprise comme une résistance à l'écoulement des différentes couches d'un fluide les unes sure les autres, englobe plusieurs grandeurs physiques qui permettent de la caractériser :

  • La viscosité dynamique qui est la grandeur la plus utilisée. En effet, on se réfère généralement à cette grandeur lorsque l'on parle de viscosité sans précision. Elle permet de faire le lien entre la contrainte de cisaillement et le gradient transversal de la vitesse d'écoulement dans la matière. C'est donc pour cela que l'on appelle cette grandeur vitesse dynamique.
  • La viscosité cinématique, cette grandeur peut être déduise de la vitesse dynamique ;
  • La seconde viscosité qui caractérise la résistance du fluide à des variations de volume ;
  • Et pour finir, la viscosité de volume qui correspond à la combinaison de la viscosité dynamique et la seconde viscosité.

De ce fait, on peut considérer la viscosité comme correspondant à une quantité tensorielle bien qu'il reste possible que, selon les cas, on puisse exprimer cette grandeur sous la forme d'une grandeur scalaire.

La viscosité (de cisaillement) peut être vue comme la résistance à l'écoulement des différentes couches d'un fluide les unes sur les autres. Plusieurs grandeurs physiques caractérisent la viscosité:

En ce qui concerne les liquides, alors que l'inverse est vrai pour les gaz, la viscosité va tendre, de façon générale, à diminuer lorsque la température va augmenter. De plus, croire que la viscosité d'un fluide donné augmente avec la densité est faux car ce n'est pas nécessairement vrai. On peut en effet prendre l'exemple de l'huile qui, pourtant moins dense que l'eau (0,92 pour l'huile de Colza à 20°C et 1 pour l'eau à 20°C) alors que l'huile est, de façon très nette, plus visqueuse que l'eau.

Pour ce qui est des huiles de mécaniques, elles seront classer selon leur viscosité puisque l'huile utilisée dans les moteurs va varier selon les besoin de lubrifications de celui-ci mais aussi selon les température auxquelles l'huile mécanique sera soumise lorsque le moteur sera en marche.

La viscosité peut varier

Comme expliqué précédemment, la viscosité d'un fluide varie selon la température, mais aussi les actions mécaniques auxquelles ce fluide est soumis. Ainsi, afin de déterminer l'importance de l'effet de la température sur la viscosité d'un fluide, on va utilisé un indice appelé indice de viscosité. De façon logique, plus cet indice est grand, moins la température aura une influence sur la viscosité du fluide étudié.

La viscosité dynamique

La viscosité dynamique peut alors être définie en considérant deux couches d'un fluide que l'on nommera abcd et a'b'c'd' en sachant que la couche abcd est animée d'une vitesse relative à a'b'c'd' que l'on notera dv qui sera dirigée selon x. On considère également une force de frottement notée F comme s'exerçant sur la couche a'b'c'd' séparée de dz.

Ainsi, la viscosité dynamique, que l'on note η ou µ, est présente au sein de la relation entre la norme de la force de frottement F et le taux de cisaillement dv/dz. On à obtient alors :

    \[ F = \eta \times S \times \frac { \text { d } v } { \text { d } z } \]

avec S correspondant à la surface de chaque couche de liquide.

L'analyse dimensionnelle de la viscosité dynamique donne donc, de façon logique :

    \[ \left[ \eta \right] = \left[ M \right] \times \left[ L \right] ^ { - 1 } \times \left[ T \right] ^ { - 1 } \]

Si on souhaite utiliser les unités du système international d'unité, la viscosité dynamique possède la pascals secondes, noté Pa.s, en unité. Auparavant, on utilisé le poiseuille, noté Pl, qui présentait la même valeur que le pascals secondes.

Une ancienne unité du système CGS pour la viscosité dynamique était la poise, notée Po, donc la correspondance était :

    \[ 1 \text { Pa } \cdot \text { s } = 10 \text { Po } \]

Ainsi, la viscosité de l'eau à 20°C correspond à 1 centipoise, noté cPo, ce qui correspond à 1 mPa.s.

La fluidité

La fluidité correspond à l'inverse de la viscosité dynamique

La viscosité cinématique

Il est possible d'obtenir la viscosité cinématique, noté ν, en divisant la discosité dynamique par la masse volumique, notée ρ, du fluide. On obtient alors la relation suivante :

    \[ \nu = \frac { \eta } { \rho } \]

Son unité, le mètre carré par seconde, noté n².s-1, correspondant, dans l'ancien système CGS comme étant le stokes ou centistokes notés respectivement St et cSt.

La conversion est très rapide car :

    \[ 1 \text { St } = 1 \text { cm } ^ 2 \cdot \text { s } ^ { - 1 } = 10 ^ { - 4 } \text { m } ^ 2 \cdot \text { s } ^ {- 1 } \]

et

    \[ 1 \text{ cSt } = 1 \text { mm } ^ 2 \cdot \text { s } ^ { - 1 } = 10 ^ { - 6 } \text{ m } ^ 2 \cdot \text { s } ^ { - 1 } \]

La seconde viscosité

La seconde viscosité correspond au second paramètre scalaire qui permet de caractériser de façon complète un fluide considéré comme étant newtonien.

Elle est cependant omise dans la littérature puisque, pour la plupart des fluides usuels, il manque la caractérisation des fluides en ce qui concerne leur approximation newtonienne.

La viscosité de volume

La viscosité de volume correspond à une fonction linéaire des viscosités principale et seconde viscosité.

On a ainsi :

    \[ 3 \times K = 3 \times \lambda + 2 \times \mu \]

La viscosité élongationnelle

On considère la viscosité élongationnelle comme étant une viscosité qui apparaît lorsqu'une contrainte élongationnelle s'applique au fluide étudié.

Le modèle du fluide continu

  • Définition d'un fluide : ensemble de molécules très nombreuses, mobiles les unes par rapport aux autres.
  • Exemples :
    • les liquides : faiblement compressibles donc possèdent un volume propre.
    • les gaz : fortement compressibles, occupent tout le volume qui leur est offert.
  • Libre parcours moyen : c'est la distance moyenne parcourue par une molécule entre deux chocs. Ordre de grandeur : quelques centaines de nanomètres pour un gaz dans des conditions ordinaires, quelques nanomètres pour un liquide.
  • Modèle : on n'étudie pas individuellement chaque molécule. Les grandeurs physiques définies dans le fluide sont des moyennes sur des éléments de volume dτ mésoscopiques (typiquement 0,1 micromètre cube), c'est à dire à la fois petit devant les dimensions macroscopiques et suffisamment grand devant les dimensions microscopiques pour contenir un grand nombre de molécules de fluide, c'est à dire de dimension très supérieure au libre parcours moyen.

Champ des vitesses dans un fluide

Description de Lagrange

  • Pour décrire le fluide, on le découpe en éléments de volume mésoscopiques, qui avancent en même temps que le fluide.
  • La description lagrangienne consiste donc à définir les grandeurs physiques en des points attachés à la matière : c'est la description utilisée en mécanique du point.
  • Soit M un point du fluide de coordonnées x, y et z. On a alors x(t), y(t) et z(t).
  • On appelle particules de fluide ces éléments de volume physiquement fermés à l'échelle mésoscopique.
  • On connait la définition du vecteur vitesse d'un point : c'est la dérivée par rapport au temps du vecteur position (voir cours de mécanique du point).
  • Le vecteur - vitesse d'une particule de fluide est défini, comme toutes les grandeurs physiques dans le fluide, en valeur moyenne sur l'élément de volume. Il se confond en fait avec la vitesse de son centre d'inertie, d'après les relations barycentriques.

Description d'Euler

  • Pour décrire le fluide, on le découpe en éléments de volume mésoscopiques fixes dans le référentiel d'étude donc physiquement ouverts si le fluide bouge.
  • La description eulérienne consiste donc à définir les grandeurs physiques en des points fixes du référentiel : c'est la description utilisée en électromagnétisme.
  • Soit M un point de l'espace de coordonnées x, y et z. On a alors x, y , z et t indépendants.

Position du problème

  • La description lagrangienne est bien adaptée pour l'écriture des définitions et théorèmes de la mécanique.
  • La description eulérienne est bien adaptée pour effectuer des analogies avec l'électromagnétisme (établissement d'équations locales).
  • On utilisera dans la suite une description eulérienne mais il ne faudra pas perdre de vue la réalité de la mécanique lagrangienne.

Vitesse d'une particule de fluide

  • En description lagrangienne, le vecteur - vitesse d'un point M du fluide a déjà été identifié au vecteur - vitesse de la particule de fluide qui l'entoure.
  • En description eulérienne, le vecteur - vitesse de M à un instant t n' a pas d'intérêt puisqu'il est fixe. On définit en fait le vecteur vitesse en M à l'instant t comme le vecteur vitesse de la particule de fluide qui se trouve en M à l'instant t.
  • A chaque instant, les lignes de champ des vitesses (appelées lignes de courant) dans les deux descriptions coïncident.

Cas particulier des écoulements stationnaires

Un écoulement stationnaire est tel que tous les champs définis dans le fluide sont indépendants du temps, et en particulier le champ des vitesses. Il ne faut surtout pas en déduire que l'accélération en tout point est nulle.

Dérivée particulaire d'un champ

Définition

La dérivée particulaire d'une grandeur physique définie par le champ G(M,t) est la dérivée par rapport au temps d'une grandeur attachée aux particules de fluide (masse volumique ou vitesse par exemple ).

Expression en description eulérienne

  • Pour dériver G, il faut tenir compte du fait que le champ peut varier au cours du temps en chaque point de l'espace et du fait que la particule voit une variation du champ à cause de son déplacement pendant dt.
  • La dérivée particulaire ou dérivée totale est la somme d'une dérivée locale et d'une dérivée convective.

Application à l'accélération

  • La dérivée particulaire est la somme de la dérivée locale et de la dérivée convective.
  • Formule utilisant le vecteur tourbillon.
  • Exemple de calcul à partir des deux descriptions lagrangienne et eulérienne.

Équation locale de conservation de la masse

Comment connaître sa masse d'eau dans le corps ?
Attention, il ne faut pas confondre poids et masse.

Débit volumique

  • Par définition, c'est le volume de fluide qui traverse une surface orienté par unité de temps.
  • Par le calcul, on obtient le flux du vecteur vitesse à travers cette surface.

Remarque : le débit volumique dépend donc de la surface.

Débit massique

  • Par définition, c'est la masse de fluide qui traverse une surface orienté par unité de temps.
  • Par le calcul,on obtient le flux du vecteur densité de courant à travers cette surface.

Remarque: le débit massique dépend donc de la surface.

Bilan de conservation de la masse

  • Formulation intégrale.
  • Équation locale de conservation.
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Joy

Freelancer et étudiante en Sciences de la Vie et de la Terre, je suis un peu une grande sœur qui épaule et aide les autres pour observer et comprendre le monde qui nous entoure et ses curieux secrets !