Les ondes, principes de base

Une onde mécanique progressive est la propagation d’une perturbation dans un milieu matériel, sans transport de matière mais avec transport d’énergie.

Onde transversale : Onde pour laquelle la matière est momentanément déplacée dans une direction perpendiculaire à la direction de la propagation.

Onde longitudinale : Onde pour laquelle la matière est momentanément déplacée dans une direction parallèle à la direction de la propagation.

La célérité est la vitesse avec laquelle l’onde se propage.

Le point M reproduit l’état de la source S avec un retard  T = [SM] / V

Avec T en seconde, SM est la distance que la perturbation a parcourue, en mètre, et V est la célérité de l’onde en mètre par seconde.

Une onde se propage dans toutes les directions qui lui sont offertes.

L’onde se propage de proche en proche.

Certaines ondes ont besoin d'un milieu matériel pour se transmettre. C'est le cas par exemple des ondes sonores qui seraient incapables de se propager dans le vide.

Périodicité

Comment se traduit la périodicité d'une onde ?
La périodicité d'une onde se traduit par sa répétition.

On parle de périodicité dans le cas d'une onde mécanique progressive. Une période est un temps qui se mesure habituellement en secondes. Elle représente le temps qui s'écoule entre deux moments identiques de l'onde.
Une fois qu'on connait la période, on peut facilement définir la fréquence de l'onde. Celle-ci est égale à l'inverse de la période.

Fréquence

Les signaux à transmettre usuellement, comme par exemple les sons (voix des pilotes, des contrôleurs aériens), sont constitués d’ondes de basses fréquences. Leur faible distance de propagation, la superposition d’un grand nombre de ces signaux dans l’environnement et le fait que les dimensions des antennes réceptrices doivent être de l’ordre de grandeur de la longueur d’onde des signaux à capter, constituent autant d’obstacles à leur utilisation directe.

La modulation est alors une solution pour transmettre les signaux : on fait varier l’une des caractéristiques (amplitude, fréquence…) d’un signal de fréquence beaucoup plus élevée (porteuse), avec l’information à transmettre (signal modulant). On obtient un signal modulé.

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Phénomènes de propagation unidimensionnels non dispersifs

Ondes transversales sur une corde tendue

  • Modèle :
    • corde tendue horizontale, donc on néglige le poids devant la tension de la corde. Ordre de grandeur de la tension : 800 N pour une corde de piano (on dit que la corde "a une tension de 80 Kg"), 50 N ("tension de 5 Kg") pour une corde de guitare. A comparer à la masse linéique d'une corde de l'ordre de 1 à quelques dizaines de gramme par mètre.
    • déplacements transversaux de faible amplitude (de l'ordre du mm).
  • Mise en équation : équations couplées en {vitesse, tension}.
  • Découplage des équations -> Même équation d'onde scalaire 1D (équation de d'Alembert) vérifiée par
    • la composante transversale de la vitesse,
    • la composante transversale de la tension,
    • le déplacement transversal de la corde.

Ondes sonores longitudinales dans une tige

a. Position du problème

  • Un son peut se propager dans un solide : transmission d'un son à travers un mur, propagation de vibrations le long d'un rail de chemin de fer.
  • Modèle 1D : la tige "solide".

b. Modèle de la chaîne infinie d'oscillateurs harmoniques

  • Modèle linéique discret.
  • Approximation acoustique : passage d'un modèle discret à un modèle continu.
  • Mise en équation : équations couplées en {vitesse, tension}.
  • Découplage des équations -> Même équation d'onde scalaire 1D (équation de d'Alembert) vérifiée par
    • la composante longitudinale de la vitesse,
    • la composante longitudinale de la tension,
    • le déplacement longitudinal de la tige.

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c. Modèle du solide déformable

  • Le module d'Young caractérise l'élasticité longitudinale d'une tige : Le module d'Young d'une tige est la raideur par unité de longueur de tige et unité de section de la tige.
  • Relation entre contrainte et allongement relatif.
  • Mise en équation : équations couplées en {vitesse, force}.
  • Découplage des équations -> Même équation d'onde scalaire 1D (équation de d'Alembert) vérifiée par
    • la composante longitudinale de la vitesse,
    • la composante longitudinale de la force,
    • le déplacement longitudinal de la tige.

3. Familles de solutions de l'équation d'onde scalaire 1D.

a. Forme générale de l'équation de d'Alembert

  • On retient la présence d'une dérivée seconde par rapport au temps. En effet, le changement de variable t -> -t ne change pas l'équation d'onde, ce qui traduit la réversibilité du phénomène décrit par l'équation d'onde. (A l'inverse, l'équation de diffusion qui est étudiée dans un autre chapitre décrit un phénomène irréversible. Cette équation ne fait apparaître qu'une dérivée simple par rapport au temps).
  • On retient la forme canonique de l'équation qui fait intervenir une constante c homogène à une vitesse. c doit toujours être déterminée par une analyse dimensionnelle de l'équation.

b. Superposition de solutions

  • L'équation d'onde est linéaire. On peut donc appliquer le principe de superposition.
  • On pourra donc utiliser le principe de décomposition de Fourier et de recomposition.

c. Recherche de la solution générale sous la forme d'une superposition d'ondes progressives

  • La résolution de l'équation d'onde scalaire 1D peut se faire par le changement de variables :

(x,t) <-> (x-ct, x+ct)

  • La solution générale de l'équation d'onde peut donc s'écrire sous la forme d'une superposition d'une fonction de la variable (x-ct) et d'une fonction de la variable (x+ct).
  • Mathématiquement, la fonction f(x-ct) est la translatée de la fonction f(x) de +ct vers la droite. Physiquement, f(x-ct) est dont la fonction f(x, t=0) qui se translate selon les x croissants à la vitesse c.
  • La solution générale de l'équation d'onde peut donc s'écrire sous la forme d'une superposition d'une onde progressive se propageant à la vitesse c selon les x croissants, et d'une onde progressive se propageant à la vitesse c selon les x décroissants.

Attention, la superposition de ces deux ondes progressives n'est pas forcément progressive.

  • Retour aux exemples : la vitesse de propagation (ou célérité) est d'autant plus élevée que le milieu est rigide, d'autant plus faible que l'inertie est grande.

d. Etude du cas particulier de l'onde progressive sinusoïdale (ou harmonique)

  • Les principes de superposition et de décomposition de Fourier, ainsi que la recherche de solutions de l'équaion d'onde sous forme d'onde progressive, justifient cette étude.
  • Les ondes progressives sinusoïdales ont une double périodicité :
    • En vision spatiale, on décrit les variations spatiales, à différents instants. La variable est x, t est un paramètre. La périodicité spatiale est la longueur d'onde.
    • En vision temporelle, on décrit les variations temporelles, en différents points. La variable est t, x est un paramètre. La périodicité est T.
    • Relation entre longueur d'onde et période : λ = c.T
    • Relation entre pulsation et pulsation spatiale (module du vecteur d'onde) : ω = k.c
    • Retour à l'approximation acoustique : les ondes sonores audibles ont des fréquences comprises entre 20 Hz et 20 000 Hz, la vitese de propagation dans l'acier est de l'ordre de 5000 m.s-1, la longeur d'onde est donc comprise entre 0,25 m et 250 m. La longueur d'onde est donc bien très supérieure à la distanace interatomique.
  • Expression d'une onde progressive sinusoïdale se propageant suivant les x croissants :

s(x,t) = S.cos ( ωt - k.x + φ) pour une vision temporelle,

ou s(x,t) = S.cos ( k.x - ωt  + φ') pour une vision spatiale.

  • Expression d'une onde progressive sinusoïdale se propageant suivant les x décroissants :

s(x,t) = S.cos ( ωt + k.x + φ) pour une vision temporelle,

ou s(x,t) = S.cos ( k.x + ωt  + φ') pour une vision spatiale.

  • L'utilisation de la notation complexe permet de simplifier les calculs de dérivées partielles.

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e. Recherche de la solution générale sous la forme d'une superposition d'ondes stationnaires

  • On cherche la solution sous la forme d'ondes stationnaires, c'est à dire  s(x,t) = f(x).g(t)
  • Astuce de calcul : on isole dans un membre de l'équation d'onde les fonctions de x, et dans l'autre membre les fonctions de t. Un terme qui ne dépend pas de t étant égal à un terme qui ne dépend pas de x, les deux termes sont donc constants.
  • Les solutions ne pouvant diverger dans le temps, la solution est forcément sinusoïdale, en t donc en x.
  • On admet que la solution générale de l'équation d'onde peut s'écrire sous la forme d'une superposition d'ondes stationnaires.

Attention, la superposition d'ondes stationnaires n'est pas forcément stationnaire.

f. Etude du cas particulier de l'onde stationnaire sinusoïdale (ou harmonique)

  • La recherche de solutions de l'équation d'onde sous forme d'ondes stationnaires justifie cette étude.
  • Vision spatiale de l'onde stationnaire sinusoïdale s(x,t) = S.cos ( ωt + φ) . cos ( k.x + φ') [doc]
    • La fonction spatiale cos ( k.x + φ') a une amplitude S.cos ( ωt + φ) variable au cours du temps. L'onde possède donc des nœuds et des ventres de vibration fixes.
    • La période spatiale de l'onde est λ = 2π/k
    • La distance entre deux nœuds successifs est λ/2.
    • La distance entre deux ventres successifs est λ/2.
  • Vision temporelle de l'onde stationnaire sinusoïdale s(x,t) = S.cos ( ωt + φ) . cos ( k.x + φ')
    • La fonction temporelle cos ( ωt + φ) a une amplitude S.cos ( k.x + φ') variable dans l'espace. Pour les nœuds, la vibration est nulle au cours du temps, pour les ventres, la vibration a une amplitude maximale.
    • La période temporelle de l'onde est T = 2π/ω
    • Pour deux ventres successifs, les vibrations sont en opposition de phase.

4. Applications

a. Oscillations libres d'une corde fixée à ses extrémités

  • Les oscillations sont provoquées par des conditions particulières :
    • Corde lâchée (clavecin, guitare ou pizzicato pour un violon) : Déformation initiale de la corde et vitesse initiale nulle en tout point.
    • Corde frappée (piano) : corde non déformée initialement et vitesse imposée en un point.
  • Approche qualitative :
    • La corde étant fixée à ses extrémités, on recherche la solution sous forme de superposition d'ondes stationnaires ayant des nœuds qui correspondent aux extrémités fixes. Ces ondes stationnaires sont appelées modes propres de la corde.
    • Le mode fondamental est une onde stationnaire telle que la demi longueur d'onde est égale à la longueur de la corde.
    • La première harmonique est une onde stationnaire telle que la longueur d'onde est égale à la longueur de la corde.
    • La deuxième harmonique est une onde stationnaire telle que la longueur de la corde est égale à 3 demi-longueur d'onde.
  • Résolution mathématique :
    • On cherche la solution sous la forme d'onde stationnaire.
    • Les conditions limites aux extrémités de la corde imposent des valeurs particulières pour k donc pour la pulsation : on retrouve les modes propres.
    • Détermination des constantes d'intégration à partir des conditions initiales de position et vitesse de la corde. Astuce : On décompose en série de Fourier (de variable x) les conditions initiales.

b. Oscillations forcées d'une corde fixée à l'une de ses extrémités : La corde de Melde

  • On peut obtenir des oscillations forcées d'une corde à l'aide d'un archet par exemple (instruments à corde frottée tels que le violon)
  • Dans le cas de la corde de Melde, les oscillations forcées sont obtenues en faisant vibrer une extrémité de la corde sinusoidalement.
  • Résolution mathématique :
    • On admet que la solution générale est la superposition d'un régime transitoire qui tend vers 0 et d'un régime forcé à la pulsation ω, pulsation de l'excitation de l'extrémité de la corde.
    • On recherche la solution forcée sous la forme d'une onde stationnaire sinusoïdale à la pulsation ω.
    • Les conditions limites permettent de déterminer cette onde stationnaire.
  • Comme pour tout oscillateur non amorti, on a des pulsations de résonance pour les pulsations propres de la corde ( pulsations des modes propres de la corde).

Ondes sonores dans les fluides

Comment se propage le son dans l'eau ?
Le son a besoin d'un milieu matériel pour se propager. Cependant, il ne se propage pas toujours de la même façon selon le milieu.

1. Mise en équation des ondes sonores dans l'approximation acoustique

  • Modèle :
    • fluide au repos, pesanteur négligée.
    • petites perturbations en vitesse, pression, masse volumique, de valeur moyenne nulle.
  • Mise en équation dans l'approximation acoustique : équations couplées en {vitesse, surpression}.
  • Découplage des équations ->
    • équation d'onde scalaire 3D vérifiée par la surpression,
    • équation d'onde vectorielle 3D vérifiée par la vitesse.
  • Mise en équation simplifiée dans le cas unidimensionnel.
  • Ordres de grandeur de la vitesse de propagation (célérité) :
    • c = 1400 m.s-1 pour l'eau
    • c = 340 m.s-1 pour l'air (vitesse du son) à T = 293 K
    • interprétation pour l'air avec un modèle du gaz parfait en évolution isentropique.

2. Recherche des solutions de l'équation d'onde scalaire 3D

a. Ondes sphériques (solutions particulières)

  • On cherche les solutions sous la forme s(M,t) = s(r,t) en coordonnées sphériques. A chaque instant, les surfaces s = cte sont des sphères : l'onde est sphérique.
  • La fonction r.s(r,t) vérifie alors l'équation d'onde 1D. s(r,t) est donc la superpostion d'une onde sphérique divergente et d'une onde sphérique convergente.

b. Ondes planes (solutions particulières)

  • On cherche les solutions sous la forme s(M,t) = s(x,t) en coordonnées cartésiennes. A chaque instant, les surfaces s = cte sont des plans : l'onde est plane.
  • La fonction s(x,t) vérifie alors l'équation d'onde 1D. s(x,t) est donc la superpostion d'une onde plane progressive se propageant suivant les x croissants,  et d'une onde plane progressive se propageant suivant les x décroissants.
  • Notation intrinsèque : on écrit x = OM.u ; u étant le vecteur unitaire de propagation. La notation OM.u-ct permet d'éviter l'usage des notations x+ct et x-ct selon le sens de propagation.

3. Ondes planes progressives harmoniques

a. Notations

  • Pour une grandeur scalaire, avec  ω = k.c :

s(x,t) = S.cos ( k.x - ωt  + φ) pour une propagation suivant les x croissants,

s(x,t) = S.cos ( k.x + ωt  + φ') pour une propagation suivant les x décroissants,

s(M,t) = S.cos ( k.OM - ωt  + φ) en notation intrinsèque, quel que soit le sens de propagation.

  • Pour une grandeur vectorielle  en notation intrinsèque :

sx(M,t) = S.cos ( k.OM - ωt  + φx)

sy(M,t) = S.cos ( k.OM - ωt  + φy)

sz(M,t) = S.cos ( k.OM - ωt  + φz)

  • Utilisation des complexes :
    • Notation : s(M,t) = S. ej( k.OM - ωt )  ou s(M,t) = S. ej( ωt - k.OM )
    • Simplification des dérivées partielles.

b. Structure spatiale de l'onde sonore

  • L'onde sonore est longitudinale.

c. Impédance acoustique

  • Les deux grandeurs qui se propagent {surpression, composante de la vitesse sur la direction de propagation} ne sont pas indépendantes. Leur rapport est p/v est l'impédance acoustique.
  • L'impédance acoustique est réelle, indépendante de la pulsation de l'onde, et caractéristique du milieu de propagation.

4. Aspect énergétique

a. Puissance échangée à travers une surface

  • On définit le vecteur densité de courant énergétique Π = pv, produit des deux grandeurs qui se propagent.
  • La puissance transmise à travers une surface est égale au flux du vecteur Π à travers cette surface.

b. Equation locale de conservation de l'énergie

  • L'équation s'obtient à partir des deux équations couplées en {vitesse, surpression}.

c. Intensité sonore

  • La perception auditive est liée à la puissance mécanique moyenne reçue par le tympan.
  • La perception auditive est logarithmique. On définit l'intensité sonore en dB.
  • Ordre de grandeur : murmure 30 dB, réfrigérateur 45 dB, aspirateur très silencieux 70 dB, seuil des lésions auditives 85dB, écouteurs mp3 90 à 100 dB, boite de nuit 120 dB, seuil de la douleur 120 dB, près d'un marteau piqueur 130 dB.

5. Réflexion / transmission d'une OPP sur une interface plane en incidence normale.

a. Position du problème

  • L'onde incidente est le couple surpression/vitesse { pi(x-ct); vi(x-ct) }. Ces deux grandeurs qui se propagent ne sont pas indépendantes, leur rapport est l'impédance du milieu 1.
  • L'onde transmise est le couple surpression/vitesse { pt(x-ct); vt(x-ct) }. Ces deux grandeurs qui se propagent ne sont pas indépendantes, leur rapport est l'impédance du milieu 2.
  • Relation de passage entre les milieux 1 et 2 :
    • Continuité de la vitesse (contact entre les deux fluides).
    • Continuité de la pression donc de la surpression (par aplication du PFD à la surface de séparation deux 2 milieux de masse nulle, ou par principe de l'action et la réaction).
  • Si les milieux 1 et 2 ont des impédances différentes, il est évident que les relations de passage ne peuvent être vérifiées uniquement par l'onde incidente et l'onde transmise. Il apparaît donc une onde réfléchie.
  • Le calcul qui suit vise à déterminer les ondes réfléchie et transmise en fonction de l'onde incidente.

b. Coefficients de réflexion-transmission de la surpression et de la vitesse

  • La démonstration peut se faire en notation réelle ou en notation complexe.
  • La démonstration repose sur les relations de passage et le lien entre surpression et vitesse pour les ondes incidente, transmise et réfléchie.
  • Calcul des coefficients de réflexion et transmission de la vitesse : on a bien t = 1 et r = 0 dans le cas particulier où les impédances des deux milieux sont identiques.
  • Calcul des coefficients de réflexion et transmission de la surpression : on a bien t' = 1 et r' = 0 dans le cas particulier où les impédances des deux milieux sont identiques.
  • Attention : on n'a pas r + t = 1 dans le cas général.

c. Coefficients de réflexion-transmission de la puissance

  • Le vecteur densité de courant énergétique Π = pv faisant intervenir le produit de deux fonctions sinusoïdales du temps, on utilise la notation réelle.
  • Calcul du coefficient de réflexion de la puissance : on a bien R = 0 dans le cas particulier où les impédances des deux milieux sont identiques.
  • Calcul du coefficient de transmission de la puissance : on a bien T = 1 dans le cas particulier où les impédances des deux milieux sont identiques.
  • On vérifie que R + T = 1. En effet cette relation découle de la conservation de l'énergie.

Ondes électromagnétiques dans le vide

1. Equations de propagation

  • On étudie la propagation des champs électrique et magnétique dans le vide, en dehors des charges et courants.
  • Les champs vérifient l'équation d'onde vectorielle 3D.

2. Cas particulier des OEMPPH dans le vide

a. Notation

  • Notation complexe : s(M,t) = S. ej( k.OM - ωt )  ou s(M,t) = S. ej( ωt - k.OM )  avec ω = k.c

b. Structure spatiale de l'onde

  • La structure spatiale de l'onde se déduit de l'application des équations de Maxwell au cas particulier de l'OEMPPH.
  • L'onde électromagnétique est transversale (transverse électrique et transverse magnétique)
  • A chaque instant (u, E, B) forme une base directe et B = E / c
  • Cette structure s'étend aux ondes planes progressives de forme quelconque grâce à l'analyse de Fourier.

c. Etats de polarisation

  • La polarisation d'une onde est aisée à comprendre en vision temporelle, en observant l'onde qui progresse vers soi.
  • Les 2 composantes du champ électrique dans le plan d'onde étant sinusoïdales de même fréquence et déphasées, l'extrémité du champ électrique décrit un courbe de Lissajoux (ellipse, cercle ou segment de droite).
    • Si la courbe décrite est un segment de droite, l'onde est dite polarisée rectilignement,
    • Si la courbe décrite est un cercle, l'onde est dite polarisée circulairement,
    • Si la courbe est une ellipse, l'onde est dite polarisée ellitiquement,
    • Le sens de parcours du cercle ou de l'ellipse définit la polarisation droite ou gauche.
  • Il est inutile de retenir par cœur le lien entre amplitudes/phases et états de polarisation, une analyse graphique au cas par cas est largement suffisante.

3. Réflexion sous incidence normale d'une OEMPPH sur un plan conducteur parfait

a. Position du problème

  • L'onde incidente est le couple champ électrique / champ magnétique { Ei(x-ct); Bi(x-ct) }.
  • Relation de passage entre le vide et le métal parfait :
    • Continuité de la composante tangentielle du champ électrique.
    • L'onde incidente est transversale donc le champ électrique incident n'a qu'une composante tangentielle au métal.
  • Le champ électrique étant nul dans le conducteur parfait (voir cours d'électromagnétisme), la relation de passage ne peut être vérifiée. Il apparaît donc une onde réfléchie.
  • On admet que l'onde se réfléchit selon la loi de Descartes, c'est à dire perpendiculairement au métal. Le calcul qui suit vise à déterminer l'onde réfléchie en fonction de l'onde incidente.

b. Coefficients de réflexion du champ électrique

  • La démonstration se fait en notation complexe pour inclure tous les états de polarisation.
  • La démonstration repose sur la relation de passage du champ électrique, la transversalité des ondes incidente et réfléchie, et le fait que le champ électrique est nul dans un conducteur parfait.
  • Le coefficient de réflexion du champ électrique est donc r = -1
  • Lien avec l'optique ondulatoire : r < 0 donc il apparaît un déphasage de π lors de la réflexion, soit un chemin optique supplémentaire d'une demi-longueur d'onde en sinusoïdal.

c. Onde résultant de la superposition d'une onde incidente polarisée rectilignement et de l'onde réfléchie.

  • Si l'onde incidente est polarisée circulairement droite, l'onde réfléchie est polarisée circulairement gauche (évident).
  •  Si l'onde incidente est polarisée rectilignement, l'onde réfléchie est polarisée rectilignement (évident). L'onde résultante est stationnaire. C'est un exemple de superposition de deux ondes progressives qui donne une onde stationnaire.

Phénomènes linéaires de propagation unidimensionnels dispersifs

1. Exemple d'une chaîne infinie de pendules couplés

  • Modèle : pendules équidistants sur un fil de torsion, mouvements transversaux, frottement fluide.
  • Passage d'un modèle discret à un modèle continu.
  • Mise en équation : équations couplées en (angle, couple de torsion).
  • Découplage des équations -> obtention d'une équation non linéaire.
  • Linéarisation pour de faibles amplitudes.
  • Cas particulier où on néglige la pesanteur et les frottements : on retrouve l'équation d'onde 1D.

2. Recherche de solutions

a. Relation de dispersion

  • L'équation étant linéaire, on recherche des solutions sinusoïdales forcées à la pulsation ω.
  • La recherche de solutions sinusoïdales permet l'usage de la notation complexe.
  • L'équation aux dérivées partielles donne la relation entre k et ω. Cette relation s'appelle "relation de dispersion".
  • ω est toujours réel, k peut alors être complexe.
  • Dans le cas où l'équation aux dérivées partielles se réduit à l'équation d'onde, la "relation de dispersion" redonne bien la relation ω = k.c

b. Absorption / Dispersion

  • La partie imaginaire de k (notée k'') est liée à un phénomème d'amortissement (ou absorption) de l'onde progressive.
  • La partie réelle de k (notée k') est liée au phénomène de propagation. La vitesse de propagation de l'onde (appelée vitesse de phase de l'onde) est  vφ = ω / k'
  • Si la vitesse de phase dépend de ω, on dit que le milieu est dispersif. En effet, si une onde non sinusoïdale se propage dans un tel milieu, chacune des composantes sinusoïdales de sa décomposition de Fourier avance à sa propre vitesse, ce qui se traduit par une déformation de l'onde lors de sa propagation.
  • Un exemple bien connu de milieu dispersif dans le cas des ondes lumineuses est le verre : L'indice (qui est caractérisitque de la vitesse de propagation) est fonction de la longueur d'onde (donc de ω ). Cela se traduit par le phénomème de dispersion de la lumière par un prisme en verre.

3. Paquet d'ondes

  • On appelle paquet d'onde une onde progressive sinusoïdale de pulsation ωo d'extension finie et faible dans l'espace, donc dans le temps.
  • En raisonnant dans le domaine spectral (décomposition de Fourier), le paquet d'onde est en fait un "paquet" d'ondes sinusoïdales de pulsations proches voisines de ωo.
  • Dans le cas d'un milieu dispersif non absorbant, l'enveloppe du paquet d'onde avance à une vitesse différente de l'onde sinusoïdale contenue dans l'enveloppe.
    • La sinusoïde dans l'enveloppe avance à la vitesse vφ = (ω / k)(ω=ωo)
    • L'enveloppe avance à la vitesse vg = (dω / dk)(ω=ωo) appelée vitesse de groupe.
  • On vérifie que dans dans un milieu non dispersif on a bien vg = vφ. En effet, dans un milieu non dispersif vφ = ω / k = Cte = C d'où vg = dω / dk = C = vφ
  • Dans le cas d'un milieu dispersif absorbant (k complexe), il suffit de remplacer k par k' (partie réelle de k)

Ondes électromagnétiques dans un plasma

Qu'est-ce que le plasma ?
Le plasma est un état spécial de la matière : pile entre l'état liquide et l'état gazeux.

1. Propriétés d'un plasma

a. Modèle microscopique

  • Un plasma est un gaz dilué ionisé, donc constitué d'ions positifs "lourds" et quasi immobiles, et d'électrons négatifs "légers" et mobiles, de densité volumique identiques.
  • Modèle du milieu continu : Toutes les grandeurs physiques sont définies en moyenne sur des éléments de volume mésoscopiques.
  • Equations locales : elles sont constituées d'une équation mécanique (équation d'Euler en représentation eulérienne, ou PFD en représentation lagrangienne) et des 4 équations de Maxwell.
  • Calcul au premier ordre : on néglige l'accélération convective et la force magnétique qui sont du 2nd ordre.

b. Oscillations libres du plasma

  • On considère une petite perturbation d'un plasma homogène. On néglige la pesanteur, et les forces d'origine magnétique.
  • On observe des oscillations libres du plasma à une pulsation propre appelée pulsation plasma.

c. Conductivité du plasma en sinusoïdal forcé

  • Sous l'action d'un champ électrique, les électrons se déplacent et constituent un courant. Le modèle microscopique permet d'exprimer le lien entre le courant et le champ électrique.
  • En régime sinusoïdal forcé, le vecteur densité de courant est en quadrature par rapport au champ électrique, ce qui exprime l'absence de perte énergétique d'après la loi de Joule locale.
  • En sinusoïdal forcé, le vecteur densité de courant est proportionnel au champ électrique, on peut donc définir une conductivité complexe du plasma. Cette conductivité est donc un imaginaire pur.

2. Propagation d'une OEMPPH dans un plasma

a. Structure de l'onde

  • La structure spatiale de l'onde se déduit de l'application des équations de Maxwell au cas particulier de l'OEMPPH.
  • Le champ magnétique est transverse.
  • Pour une pulsation de l'onde différente de la pulsation plasma, la densité volumique de charge est nulle donc le champ électrique est transverse.
  • Pour une pulsation de l'onde égale à la pulsation plasma, la densité volumique de charge peut être non nulle donc le champ électrique peut avoir une composante longitudinale.
  • A chaque instant (u, E, B) forme une base directe.
  • Cette structure s'étend aux ondes planes progressives de forme quelconque grâce à l'analyse de Fourier.

b. Relation de dispersion

  • On introduit la permittivité relative du milieu et son indice :

k = n ω / c  et  n2 = εr , c étant la vitesse de la lumière dans le vide (ε0μ0c2=1)

  • Pour une pulsation de l'onde inférieure à la pulsation plasma
    • εr est un réel négatif,
    • n et k sont donc des imaginaires purs (k' = 0 et k''≠0),
    • l'onde est donc non progressive et absorbée (onde évanescente)
  • Ordres de grandeur : l'ionosphère (50 km d'altitude) est une couche de l'atmosphère assimilable à un plasma. La fréquence plasma est de l'ordre de 1 à 10 Mz selon l'altitude, la saison, l'heure de la journée. Les communications satellitaires se font à des fréquences de l'ordre de 100 MHz, donc les ondes sont bien transmises à travers l'ionosphère. Par contre les ondes radio (ondes courtes, moyennes et grandes en modulation d'amplitude) ont des fréquences de l'ordre de 10 à 0,1 MHz, elles peuvent donc être réfléchies par l'ionosphère.

Ondes électromagnétiques dans un DHLI

1. Propriétés d'un diélectrique

a. Modèle microscopique

  • Un diélectrique est un isolant. Exemple : l'air, le verre, le papier, les matières plastiques...
  • Le diélectrique est à opposer au conducteur : diélectrique signifie "perméable au champ électrique", à l'opposé on a vu qu'un champ électrique ne peut pas pénétrer dans un conducteur parfait.
  • Microscopiquement, les charges du diélectrique sont liées (électrons aux atomes, ions au réseau cristallin, molécules polarisées), à l'inverse des conducteurs qui possèdent des charges libres (de se déplacer sur tout le conducteur).
  • Sous l'action d'un champ électrique, les charges microscopiques se décalent par rapport à leur position d'équilibre et font apparaître des dipôles microscopiques. Dans le cas de milieux polaires, les dipôles existants ont tendance à s'orienter selon le champ électrique. Ces mouvements localisés de charges microscopiques font apparaître des excédents locaux de charges dites liées, et les mouvements de ces charges font apparaître des courants dit liés.

b. Description macroscopique

  • L'état de polarisation d'un diélectrique est déterminé par le champ Polarisation P(M,t), appelé vecteur polarisation. C'est la densité volumique de moment dipolaire.
  • Les courants liés, en régime variable, ont une densité volumique jlié = dP/dt (vecteur densité de courant de polarisation). On a bien  jlié = 0 dans le cas statique.
  •  Les excédents de charges ont une densité volumique ρlié = - divP
    • Interprétation microscopique.
    • Démonstration.
    • En limite du diélectrique apparaissent des excédents de charges surfaciques de densité σlié dont on ne donnera pas l'expression. Il faut néanmoins en avoir conscience lors de l'écriture des relations de passage entre deux diélectriques.
  • On admet que la description du diélectrique, autant en terme de champ créé que d'actions subies par la matière, peux se faire autant par le vecteur polarisation que par les charges liées. On utilise l'une ou l'autre des deux descriptions.
  • Equations de Maxwell en présence de diélectriques.
    • Cas général
    • Cas des diélectriques linéaires homogènes et isotropes : introduction de la susceptibilité et de la permittivité complexes.

c. Susceptibilité et permittivité des milieux dilués en sinusoïdal forcé

  • Modèle microscopique de l'électron élastiquement lié en milieu peu dense : l'électron est soumis
    • à la force électrique dans le champ électrique moyen (on néglige la contribution de l'atome polarisé lui-même au champ électrique moyen),
    • à une force dite de frottement fluide, proportionnelle à la vitesse (déjà introduite dans le modéle de Drude des conducteurs),
    • à une force de rappel élastique qui traduit le fait que la charge est liée.
  • Le comportement fréquentiel est celui d'un oscillateur faiblement amorti.
  • Le modèle de l'électron élastiquement lié rend compte du phénomène de polarisation électronique. La pulsation de résonance est de l'ordre de 1015 rad.s-1 (domaine de l'optique)

2. Propagation d'une OEMPPH dans un DLHI

a. Structure de l'onde

  • La structure spatiale de l'onde se déduit de l'application des équations de Maxwell au cas particulier de l'OEMPPH.
  • L'onde électromagnétique est transversale (transverse électrique et transverse magnétique)
  • A chaque instant (u, E, B) forme une base directe.
  • Cette structure s'étend aux ondes planes progressives de forme quelconque grâce à l'analyse de Fourier.

b. Relation de dispersion

  • On introduit l'indice complexe du milieu :

k = n ω / c  et  n2 = εr , c étant la vitesse de la lumière dans le vide (ε0μ0c2=1)

  • Pour un DLHI absorbant :
    • n et k ont des parties imaginaires (n'' ≠ 0 et k''≠0)
  • Pour un DLHI transparent :
    • εr est un réel positif,
    • n et k sont donc des réels (k' ≠ 0 et k''=0),
    • l'onde n'est donc pas absorbée
    • vφ = ω / k = c / n  est une fonction de la pulsation donc le milieu est dispersif.

3. Réflexion d'une OEMPPH sur un dioptre séparant deux DLHI transparents : lois de Descartes

  • Lois de Descartes de la réflexion
  • Lois de descartes de la réfraction

4. Réflexion sous une incidence normale d'une OEMPPH sur un dioptre séparant deux DLHI : coefficients de réflexion et transmission

a. Position du problème

  • L'onde incidente est le couple champ électrique / champ magnétique { Ei(x-ct/n1); Bi(x-ct/n1) }.
  • L'onde transmise est le couple champ électrique / champ magnétique { Et(x-ct/n2); Bt(x-ct/n2) }
  • Relation de passage entre les milieux 1 et 2 :
    • Continuité de la composante tangentielle du champ électrique.
    • Continuité de la composante tangentielle du champ magnétique.
    • L'onde incidente est transversale donc les champs électrique et magnétique incidents n'ont qu'une composante tangentielle au dioptre.
  • Si les milieux 1 et 2 ont des indices différents, il est évident que les relations de passage ne peuvent être vérifiées uniquement par l'onde incidente et l'onde transmise. Il apparaît donc une onde réfléchie.
  • Le calcul qui suit vise à déterminer les ondes réfléchie et transmise en fonction de l'onde incidente.

b. Coefficients de réflexion-transmission du champ électrique

  • La démonstration repose sur les relations de passage du champ électrique et du champ magnétique, la transversalité des ondes incidente et réfléchie, et le lien entre champ électrique et champ magnétique d'une onde progressive dans chaque milieu.
  • Calcul du coefficient de réflexion du champ électrique : on a bien r = 0 dans le cas particulier où les indices des deux milieux sont identiques.
  • Calcul du coefficient de transmission du champ électrique : on a bien t = 1 dans le cas particulier où les indices des deux milieux sont identiques.
  • Remarques :
    • Lien avec l'optique ondulatoire :  si l'onde incidente se réfléchit sur un milieu plus réfringeant, alors r < 0. Il apparaît donc un déphasage de π lors de la réflexion, soit un chemin optique supplémentaire d'une demi-longueur d'onde en sinusoïdal.
    • Attention : on n'a pas r + t = 1 dans le cas général.
    • Si les indices des milieux sont complexes, les coefficients de réflexion et transmission sont a priori complexes. Cela signifie qu'un déphasage apparaît à la réflexion ou la transmission.

c. Coefficients de réflexion-transmission de la puissance entre deux milieux transparents

  • Les milieux 1 et 2 sont transparents donc leurs indices sont réels.
  • On admet que le vecteur de Poynting dans un milieu diélectrique garde la même expression que dans le vide.
  • Le vecteur de Poynting faisant intervenir le
  • produit de deux fonctions sinusoïdales du temps, on utilise la notation réelle.
  • Calcul du coefficient de réflexion de la puissance : on a bien R = 0 dans le cas particulier où les indices des deux milieux sont identiques.
  • Calcul du coefficient de transmission de la puissance : on a bien T = 1 dans le cas particulier où les indices des deux milieux sont identiques.
  • On vérifie que R + T = 1. En effet cette relation découle de la conservation de l'énergie.

S'entraîner… Des exercices sur les ondes

Exercice 1 : Analyse de la propagation d'une onde

1. Étude sur une cuve à ondes

On laisse tomber une goutte d'eau sur une cuve à ondes. Le fond de la cuve à ondes présente un décrochement de telle sorte que l'onde créée par la chute de la goutte d'eau se propage d'abord à la surface de l'eau dont l'épaisseur au repos est e1 = 3 mm puis ensuite à la surface de l'eau dont l'épaisseur au repos est e2 = 1 mm. On filme la surface de l'eau à l'aide d'une webcam. Le clip vidéo est effectué avec une fréquence de 24 images par seconde. Le document 1 (annexe 1) représente les positions du front de l'onde créée par la chute de la goutte d'eau, repérées sur les images n° 1, n° 7, n° 8 et n° 14 du clip.

I.1.     Donner les définitions d'une onde transversale et d'une onde longitudinale. À quelle catégorie appartient l'onde créée par la goutte d'eau sur la cuve à ondes ?

I.2.     Calculer la célérité c de cette onde pour les deux épaisseurs d'eau mentionnées dans le document 1 (annexe 1). L'échelle de ce document est 1 (1 cm représente 1 cm).

I.3.     Comment varie, dans cet exemple, la célérité c de l'onde en fonction de l'épaisseur de l'eau ?

Il. Ondes périodiques

On installe sur la cuve à ondes un vibreur qui permet d'obtenir des ondes planes. La
fréquence du vibreur a été fixée à 24 Hz. Une source lumineuse éclaire la surface de l'eau. Cette lumière traverse l'eau et est captée ensuite par la webcam. Le document 2 d'échelle 1 (annexe 1) représente l'onde périodique obtenue à partir d'une image du clip vidéo.

Il.1.     Comment appelle-t-on la distance séparant deux franges brillantes (ou sombres) successives ? Quelle relation lie cette grandeur à la célérité c de l'onde et sa période temporelle T ?

Il.2.     À l'aide du document 2 (annexe 1), calculer la célérité c de l'onde périodique
pour les deux épaisseurs d'eau de 3 et 1 mm. Quelle est l'influence de l'épaisseur de l'eau sur la célérité de l'onde périodique ?

Il.3. On utilise maintenant une cuve à ondes sans décrochement. L'épaisseur de l'eau au
repos est constante. Après avoir fait varier la fréquence du vibreur, on a réalisé des photographies et on a mesuré la longueur d'onde λ pour chacun des enregistrements.

Les résultats ont été consignés dans le tableau ci-dessous.

f (Hz)12244896
λ (m)0,0180,00970,00590,0036

Calculer la célérité c de l'onde périodique pour chaque enregistrement. Comment évolue cette célérité en fonction de la fréquence de l'onde ?

III. Un phénomène caractéristique des ondes.

III.1.   Expérience sur les ondes lumineuses.

On place sur un faisceau laser une fente de dimension a = 0,08 mm. On place après la   fente un écran. La distance entre la fente et l'écran est D = 3,00 m, (voir figure 1 document 3 annexe 2).

La figure obtenue sur l'écran est représentée sur la figure 2 document 3 (annexe 2).

III.1.1. Comment se nomme le phénomène observé ?

III.1.2. L'écart angulaire θ entre le milieu de la tache centrale et la première extinction                     vérifie la relation :

    \[\theta = \frac {\lambda} {a}\]

Calculer la longueur d'onde de ce faisceau laser (on considérera que cet écart angulaire θ est faible et que donc q ≈ tanθ si q est exprimé en radians).

III.2.   Étude sommaire de la houle.

La houle prend naissance sous l'effet du vent loin des côtes. Un vent de 65 km.h-1 engendre une houle dont les vagues font 1 mètre de hauteur. Ces vagues sont
espacées de 230 mètres. Une vague remplace la précédente après une durée de
12 secondes.

III.2.1. Calculer la vitesse de déplacement des vagues à la surface de l'océan.

III.2.2. Cette houle arrive sur un port dont l'ouverture entre deux jetées a une largeur
a = 200 m. Un bateau est stationné au fond du port comme indiqué sur le
schéma du document 4. Ce bateau risque-t-il de ressentir les effets de la houle ?           Justifier la réponse à l'aide d'un schéma reproduit sur la copie.

Annexes

Document 1
Document 2
Document 3 - Figure 1 : Schéma du dispositif
Document 3 - Figure 2 : Figure observée sur l'écran
Document 4

Exercice 2 : Le VOR Doppler

Le VOR Doppler (VOR abréviation de VHF Omnidirectional Range) est un système d’aide à la navigation aérienne qui permet au pilote d’un avion de déterminer sa position et son déplacement par rapport à une station au sol. Répertoriés sur les cartes aéronautiques, les différents VOR constituent des repères sur lesquels le pilote peut s’appuyer pour établir "une route".

Qu'est-ce que l'effet Doppler ?
L'effet Doppler s'illustre facilement avec le son d'un ambulance en mouvement. Le son est distordu selon que l'ambulance s'éloigne ou s'approche de vous.

On se propose, dans cet exercice, d’étudier le fonctionnement d’un dispositif VOR utilisant l’effet Doppler.

Document 1 : Principe de repérage d’un avion

L’avion est repéré par l’angle θ entre le Nord magnétique et la demi-droite OA liant la station VOR à l’avion.

La demi-droite OA, appelée radial, est nommée par l'angle θ qu'elle forme avec la direction du Nord magnétique.

Un radial est ainsi caractérisé par trois chiffres : sur le schéma ci-contre est représenté le radial 080.

On se propose, dans cet exercice, d’étudier le fonctionnement d’un dispositif VOR utilisant l’effet Doppler.
Document 1 : Principe de repérage d’un avion
L’avion est repéré par l’angle θ entre le Nord magnétique et la demi-droite OA liant la station VOR à l’avion.
La demi-droite OA, appelée radial, est nommée par l'angle θ qu'elle forme avec la direction du Nord magnétique.
Un radial est ainsi caractérisé par trois chiffres : sur le schéma ci-contre est représenté le radial 080.

Un VOR Doppler est composé de deux antennes émettrices par :

  • Une antenne centrale fixe F qui émet dans toutes les directions un signal de référence constitué d’une onde porteuse de fréquence f0= 113MHz, modulée en amplitude par un signal sinusoïdal de fréquence 30 Hz ;
  • Une antenne mobile M décrivant autour de l’antenne fixe F, un cercle de rayon 6,76 m à raison de 30 tours.s-1 et émettant une onde de fréquence fsource.

Les signaux à transmettre usuellement, comme par exemple les sons (voix des pilotes, des contrôleurs aériens), sont constitués d’ondes de basses fréquences. Leur faible distance de propagation, la superposition d’un grand nombre de ces signaux dans l’environnement et le fait que les dimensions des antennes réceptrices doivent être de l’ordre de grandeur de la longueur d’onde des signaux à capter, constituent autant d’obstacles à leur utilisation directe.

La modulation est alors une solution pour transmettre les signaux : on fait varier l’une des caractéristiques (amplitude, fréquence…) d’un signal de fréquence beaucoup plus élevée (porteuse), avec l’information à transmettre (signal modulant). On obtient un signal modulé.

1.Étude du signal émis par l’antenne fixe F

1.1. Représenter les éléments de la chaine de transmission d’information entre le VOR Doppler et l’avion. On identifiera en particulier l’émetteur, le canal de transmission et le récepteur.

1.2. S’agit-il d’une transmission guidée ou libre ? Justifier.

1.3. Le signal modulé émis par l’antenne F est représenté ci-dessous.

1.3.2. Montrer que le signal modulant a une fréquence égale à 30 Hz.

1.4. Quel devrait être l’ordre de grandeur de la taille d’une antenne destinée à capter une onde électromagnétique de fréquence 30 Hz ? De fréquence 113 MHz ? Conclure.

2.Analyse du signal émis par l’antenne mobile M et perçu par l’avion

On se place dans la situation représentée sur la figure du document-réponse en annexe à rendre avec la copie.

2.1. Sur quel radial se trouve l’avion de cette figure ?

2.2. Sur ce document-réponse, représenter, sans souci d’échelle, les vecteurs vitesse de l’antenne M lors de son passage successivement aux points N, W, S, E.

2.3. Le signe de ∆f, décalage en fréquence entre le signal perçu par l’avion et le signal émis par l’antenne M, dépend de la position de l’avion et de l’antenne. Pour les quatre points N, W, S, E, dire si ∆f est nul, positif ou négatif.

2.4. Décrire qualitativement la variation du décalage ∆f en signe et en amplitude au cours d’une rotation complète de l’antenne M. Justifier en quelques lignes que le décalage ∆f évolue de façon périodique, à une fréquence de 30 Hz indépendante de la vitesse de l’avion.

2.5. Compléter la figure du document-réponse donnant l’évolution de ∆f en fonction du temps, en plaçant les points correspondant aux positions N, S, E, W de l’antenne mobile M.

3.Application à la détermination du radial sur lequel est positionné l’avion.

Le récepteur de l’avion reçoit les signaux émis par les deux antennes F et M.

3.1. Le traitement de ces signaux reçus permet d’extraire les deux signaux suivants :

  • Signal 1 : Δf en fonction du temps ;
  • Signal 2 : signal de référence de fréquence 30 Hz de l’antenne fixe F.

La comparaison entre les signaux 1 et 2 permet de déterminer le radial sur lequel se trouve l’avion.

Ces signaux sont dits en phase si, comme sur la figure ci-dessous, Δf et l’amplitude du signal de référence passent par leurs valeurs maximale ou minimale simultanément.

Le VOR Doppler est étalonné afin qu’un avion sur le radial 360, reçoive les signaux 1 et 2 en phase. On suppose que l’antenne mobile M, initialement au point N (figure de l’annexe), se déplace jusqu’en W. À l’aide d’un raisonnement s’appuyant sur ce mouvement, montrer que pour deux avions, l’un au radial 360 l’autre au 090, l’évolution des valeurs de Δf est nécessairement différente. On pourra accompagner l’exposé d’un schéma.

3.3. Dans la réalité, l’antenne M n’est pas réellement une antenne physiquement mobile. C’est en fait un système électronique qui simule ce mouvement.

Calculer la vitesse qu’aurait l’antenne M dans le référentiel terrestre si elle était mécaniquement mobile. Commenter.

Annexe à rendre avec la copie
Évolution de ∆f en fonction du temps
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Clément

Freelancer et pilote, j'espère atteindre la sagesse en partageant le savoir que j'ai acquis lors de mes voyages au volant de ma berline. Curieux scientifique, ma soif de découverte n'a d'égale que la durée de demie-vie du bismuth 209.