I. TRAITEMENT DU SIGNAL

1. Définitions

  • SIGNAL : Grandeur physique dépendant du temps. Exemples : tension ou intensité électrique, température, pression en un point d'un fluide, vitesse de rotation d'un moteur... Remarque: tout ce qui va suivre n'est pas spécifique à l'électronique, même si la plupart des exemples sont issus de l' electronique.
  • CHAÎNE DE TRAITEMENT DU SIGNAL : Composée d'une source qui crée un signal, d'un système physique plus ou moins complexe qui le transforme en un autre signal (éventuellement de nature physique différente) et d'une utilisation.
  • SCHÉMA UNIFILAIRE : Schéma symbolique à ne pas confondre avec un schéma électrique. Remarque: En électronique, une source possède deux sorties, une utilisation deux entrées, et les systèmes sont des quadripôles ( deux entrées et deux sorties). Les signaux sont des tensions ou des intensités électriques.
  • SYSTÈME LINÉAIRE : Son opérateur de transfert (opérateur mathématique qui lie la sortie à l'entrée) est linéaire au sens mathématique.
  • Physiquement : comment prévoir qu'un système fonctionne de façon linéaire? On doit pouvoir appliquer le principe de superposition: si on multiplie la cause par deux, les effets sont multipliés par deux.

2. Décomposition d'un signal périodique en série de Fourier

  • Toute fonction périodique de période T, fréquence f=1/T, se décompose en la somme d'une constante et d'une infinité de fonctions trigonométriques de fréquences multiples de f. (admis) [doc]
  • La constante dans cette décomposition est la valeur moyenne de la fonction.
  • La fonction trigonométrique de fréquence f s'appelle le fondamental.
  • La fonction trigonométrique de fréquence 2f s'appelle la première harmonique etc...
  • Propriété de parité (admis) :
    • Si une fonction périodique est paire, les harmoniques de la décomposition sont paires.
    • Si une fonction périodique est impaire, les harmoniques de la décomposition sont impaires.
  • Calcul des coefficients de la décomposition : se souvenir que les moyennes d'un cos2 ou d'un sin2 valent 1/2, que la valeur moyenne du produit de deux fonctions trigonométriques de fréquences diférentes est nulle, que la moyenne de deux fonctions trigonométriques de même fréquence en quadrature est nulle.
  • Une fonction quelconque peut se décomposer par transformation de Fourier en une infinité de fonctions trigonométriques dont les fréquences varient continûment de zéro à l'infini. (admis)

3. Réponse d'un système linéaire à un signal sinusoïdal (Réponse harmonique)

a. Intérêt de l'étude en régime sinusofdal.

  • Cela correspond à des situations réelles: courant sinusoïdal délivré par le secteur par exemple.
  • Si le signal n'est pas sinusoïdal, il suffit de le décomposer en signaux sinusoldaux, d'étudier la réponse du système à chaque signal sinusoïdal, puis de superposer ces différentes réponses d'après la propriété de linéarité.
  • On démontre mathématiquement que la réponse d'un système linéaire à un signal sinusoïdal est un signal sinusoïdal.
  • L'utilisation de la notation complexe simplifie les calculs.

b. Aspect pratique.

  • Pour observer expérimentalement la réponse d'un système à une excitation sinusoïdale, on ne dispose pas dans la pratique d'un signal sinusoïdal infini : on observe la superposition d'un régime transitoire qui tend vers zéro si le système est stable et du régime permanent sinusoldal forcé.
  • Si la réponse d'un système à une excitation sinusoïdale ne tend pas vers un régime sinusoïdal, le système n' a donc pas un fonctionnement linéaire : c'est le critère expérimental pour vérifier la linéarité d'un système.
  • En électronique, des non-linéarités peuvent apparaître pour des signaux de trop forte amplitude : il faut donc travailler en petits signaux.

c. Fonction de transfert ou transmittance d'un système linéaire.

  • Définition: c'est le rapport du signal de sortie sur le signal d'entrée, en notation complexe.
  • On note p=jω
  • Le module de la fonction de transfert est égal au rapport des amplitudes de la sortie sur l'entrée.
  • L'argument de la fonction de transfert est égal au déphasage de la sortie par rapport à l'entrée.

d. Représentation de Bode.

  • Le diagramme d'amplitude représente 20log du module de la fonction de transfert (gain en décibels) en fonction de log f ou logω (échelle logarithmique).
  • Le diagramme de phase représente l'argument de la fonction de transfert (déphasage) en fonction de log f ou logω (échelle logarithmique).
  • Technique: pour mettre à profit les propriétés du module et du log, ainsi que les propriétés de l' argument, il faut essayer de mettre la fonction de transfert sous la forme d'un produit ou quotient de fonctions simples déjà étudiées. Les diagrammes seront alors construits en faisant la somme géométrique de courbes simples. (On fait d'abord le somme des tracés asymptotiques)
  • Vérifier le diagramme de bode de l'amplitude en étudiant physiquement le comportement basse et haute fréquence:
A haute fréquence, un condensateur (idéal de capacité C) est équivalent à un court-circuit, une bobine (idéale d'inductance propre L) est équivalente à un circuit ouvert.
A basse fréquence, un condensateur (idéal de capacité C) est équivalent à un circuit ouvert, une bobine (idéale d'inductance propre L)  est équivalente à un court-circuit.
En mécanique, le comportement haute et basse fréquence peut souvent se prévoir.

4. Réponse d'un système linéaire à un signal échelon

a. Intérêt de l'étude.

  • Cela correspond au cas pratique de l'établissement d'un régime permanent continu.

b. Méthode générale.

  • Etablissement de l'équation différentielle du système.
  • Solution de l'équation sans second membre (Réponse libre).
  • Recherche d'une solution particulière constante dans le cas présent.
  • Solution générale : Solution de l'équation sans second membre + solution particulière.
  • Détermination des constantes avec les continuités, en justifiant bien les continuités.

5. Réponse d'un système linéaire à un signal quelconque

a. Choix de la représentation: temporelle ou fréquentielle.

  • Représentation temporelle : e(t), équation différentielle du système, s(t).
  • Représentation fréquentielle : spectre du signal d'entrée, fonction de transfert du système, spectre du signal de sortie.

b. Lien entre les deux représentations.

  • Passage mathématique entre fonction de transfert et équation différentielle.
  • Lien entre diagramme de Bode et réponse à échelon:
Temps nul et fréquence infinie.
Fréquence nulle et temps infini.
Exemple d'un passe - bas du premier ordre.
Exemple d'un passe - haut du premier ordre.
  • Les deux représentations sont complémentaires pour caractériser un système.
  • Système du premier ordre : lien entre pulsation de coupure et constante de temps :
la pulsation de coupure est l'inverse de la constante de temps.Un système est donc d'autant plus rapide que sa bande passante est grande.
  • Passe-bande du second ordre : lien entre coeficient d'amortissement (ou facteur de qualité) et bande passante.
  • Passe-bas du second ordre : lien entre régime libre et décomposition de la fonction de transfert.

c. Caractérisation expérimentale d'un système inconnu.

  • On réalise des essais en différents régimes (réponse harmonique ou à un échelon) et on détermine les caractéristiques du système: ordre, fréquence de coupure...

6. Exemples

a. l'amplificateur opérationnel.

  • Présentation du composant. [doc]
  • Modèle de l'amplificateur opérationnel idéal de gain fini.
  • Modèle de l'amplificateur opérationnel idéal de gain infini.
  • Les deux modes de fonctionnement: linéaire ou saturé en fonction du montage.
  • Limitations linéaire: modèle de l'amplificateur opérationnel idéal passe-bas du premier ordre, résistance d'entrée, résistance de sortie.
  • Limitations non linéaire: saturation en tension de sortie, tension de décalage, vitesse limite de balayage.

b. Les grandes fonctions linéaires.

  • Amplification.
amplificateur inverseur
amplificateur non inverseur
cas particulier du suiveur
conséquence de la bande passante de l'amplificateur opérationnel
  • Intégration.
représentation fréquentielle
représentation temporelle
  • Dérivation.
représentation fréquentielle
représentation temporelle
  • Filtrage.
  • Passe-tout déphaseur.
représentation fréquentielle
représentation temporelle
  • Amplificateur différentiel.
  • Sommateur.
  • Soustracteur.
Les meilleurs professeurs de Physique - Chimie disponibles
1er cours offert !
Anis
4,9
4,9 (76 avis)
Anis
80€
/h
1er cours offert !
Greg
5
5 (94 avis)
Greg
120€
/h
1er cours offert !
Houssem
5
5 (105 avis)
Houssem
60€
/h
1er cours offert !
Grégory
5
5 (83 avis)
Grégory
105€
/h
1er cours offert !
Ahmed
4,9
4,9 (77 avis)
Ahmed
50€
/h
1er cours offert !
Pierre-thomas
5
5 (40 avis)
Pierre-thomas
80€
/h
1er cours offert !
Sébastien
5
5 (71 avis)
Sébastien
60€
/h
1er cours offert !
Antoine
4,9
4,9 (72 avis)
Antoine
60€
/h
1er cours offert !
Anis
4,9
4,9 (76 avis)
Anis
80€
/h
1er cours offert !
Greg
5
5 (94 avis)
Greg
120€
/h
1er cours offert !
Houssem
5
5 (105 avis)
Houssem
60€
/h
1er cours offert !
Grégory
5
5 (83 avis)
Grégory
105€
/h
1er cours offert !
Ahmed
4,9
4,9 (77 avis)
Ahmed
50€
/h
1er cours offert !
Pierre-thomas
5
5 (40 avis)
Pierre-thomas
80€
/h
1er cours offert !
Sébastien
5
5 (71 avis)
Sébastien
60€
/h
1er cours offert !
Antoine
4,9
4,9 (72 avis)
Antoine
60€
/h
1er cours offert>

II. COMMANDE D'UN SYSTEME

1. Position du problème

a. Commande en chaine directe: exemple 1.

  • Radiateur de chauffage collectif:
signal d'entrée: la position du robinet
système: le radiateur
signal de sortie: la température de la pièce
  • Inconvénients:
temps de réponse élevé: à l'ouverture du robinet la température voulue est
atteinte très lentement.
influence de la charge sur le signal de sortie: la températue de la pièce va
dépendre des conditions climatiques extérieures.
influence d'un changement de caractéristique du système sur le signal de
sortie: si le radateur s'entartre ou si on change de radiateur, la tempèrature de la
pièce ne sera plus la méme pour une même ouverture de robinet.

b. Commande en chaine directe: exemple 2.

  • Moteur électrique:
signal d'entrée: la tension d'alimentation
système: le moteur
signal de sortie: la vitesse de rotation
  • Inconvénients:
régime transitoire imposé par les caractéristiques mécaniques du moteur : on
voudrait pouvoir les améliorer.influence de la charge sur le signal de sortie : la vitesse de rotation va dépendre
de la charge du moteur (couple résistant).

influence de d'un changement de caractéristique du système sur le signal de
sortie : si le moteur chauffe, s'use ou si on le change, la vitese de rotation ne sera
plus la même pour une même tension d'alimentation.

Remarque : ses inconvénients peuvent ne pas être génants suivant l'utilisation du moteur.

c. Inconvénients d'une commande en chaine directe.

  • Temps de réponse: lenteur du régime transitoire.
  • Influence de la charge sur le signal de sortie.
  • Influence de d'un changement de caractéristique du système sur le signal de sortie.
  • Dépassement de la valeur finale au cours du régime transitoire: particulièrement génant par exemple pour une machine-outil qui usine une pièce avec précision.

2. Notion de système asservi ou bouclé

a. Exemples.

  • Radiateur de chauffage collectif avec robinet thermostatique. . Moteur avec asservissement (ou régulation) de vitesse.
  • La main de l' homme !

b. Définitions.

  • CAPTEUR : Organe qui traduit une grandeur à mesurer en un signal exploitable, c'est à dire de même nature physique que la consigne dans le cas d'un système asservi. Exemples: potentiomètre utilisé en capteur de position, dynamo tachymétrique, débitmètre, sonde de température...
  • RÉGULATEUR : il comporte
un "COMPARATEUR" : compare le signal capté à la consigne. Cela peut être un
comparateur simple ou un comparateur à deux seuils (à hystérésis). Dans la suite
du cours, il s'agira en fait d'un soustracteur.
un CORRECTEUR : améliore les performances de l' actionneur.
  • ACTIONNEUR : c'est l'organe qui assure la fonction essentielle, c'est à dire le système qui constituerait la chaîne directe seule. Dans les exemples précédents: le radiateur, le moteur, le muscle...

c. Schéma fonctionnel.

  • Attention à ne pas appliquer une loi d'Ohm sur un schéma unifilaire !

3. Régime propre et stabilité d'un système bouclé

  • Exemple d'instabilité :
effet Larsen
comparateur à hystérésis
  • Définition de la stabilité : pour une entrée constante, la sortie doit tendre vers une constante.
  • Condition de stabilité : le régime transitoire donc le régime libre doit tendre vers zéro.
  • Dans le cas particulier d'une chaîne directe du premier ordre et d'un retour réel :
soit B le gain de la chaîne de retour
Ao le gain statique de la chaîne directe
STABILlTÉ si et seulement si 1 +BAo>O

4. Transmittance d'un système bouclé linéaire

a. Cas général.

  • On suppose que le système fonctionne de façon linéaire: cela implique donc que le système est stable.
  • On peut donc introduire
la fonction de transfert de la chaîne directe A(p)
la fonction de transfert de la chaîne de retour B(p)
la fonction de transfert du système bouclé H(p)
on a alors H = A /1+AB et l'erreur (epsilon) = e . 1/1+ABRemarque : les fonctions de transfert sont déterminées en situation dans le montage.

  • On dit qu'on a une réaction négative ou rétroaction si le gain du système bouclé est inférieur à celui de la chaîne directe (c'est la situation que l'on recherchera).

b. Cas particulier du régime statique.

  • e(t) = E, s(t) = S, alors S/E = A(o)/1+A(o)B(o)   et l'erreur = e . 1/1+A(o)B(o)
  • Moindre sensibilité aux fluctuations : dans le cas d'une rétroaction, les fluctuations relatives du gain du système bouclé sont inférieures aux fluctuations relatives de la chaîne directe.
  • Immunité aux perturbations: une rétroaction atténue la présence éventuelle d'un décalage en sortie de la chaîne directe (tension de décalage en électronique, fuite thermique pour un radiateur...).

c. Cas particulier du régime statique avec une chaÎne directe de grand gain statique.

  • A(o)B(o) est grand devant 1, on a alors S/ E = 1/ B(o)
  • Le gain du système bouclé est donc indépendant de la chaîne directe: on fait donc en sorte que la chaîne de retour ne subisse aucune fluctuation, l'ensemble du système bouclé sera donc également insensible à toute fluctuation même si l' actionneur subit de fortes variations de ses paramètres (dérives thermiques, usure,frottement, remplacement de composants...)
  • L'erreur tend vers zéro.
  • La perturbation éventuelle tend vers zéro.

d. Cas particulier d'une chaÎne directe du premier ordre et d'un retour réel.

  • Le système bouclé est aussi du premier ordre.. Dans le cas d'une rétroaction, la bande passante du système bouclé est plus grande que la bande passante de la chaîne directe: le système a donc gagné en rapidité (régime transitoire plus court).
  • Dans le cas d'une rétroaction, les fluctuations relatives du gain du système bouclé sont inférieures aux fluctuations relatives de la chaîne directe.

e. Conclusion: avantages de la rétroaction.

  • Augmentation des performances dynamiques (augmentation de la bande passante donc de la rapidité).
  • Moindre sensibilité aux variabilités de la chaîne directe (dérives thermiques, changement de composants).
  • Moindre sensibilité aux décalages.

5. Exemple de système bouclé en électronique: l'amplificateur non inverseur

  • Identification avec le schéma fonctionnel d'un système bouclé.
Attention: les opérateurs en électronique sont des quadripôles.
  • Etude de la stabilité.
  • Cas du régime stable.

6. Génération d'un signal quasisinusoïdal

a. Schéma fonctionnel d'un oscillateur à boucle de réaction.

  • Il s'agit d'un système bouclé qui génère un signal sinusoïdal en l'absence de signal d'entrée.
  • La chaîne directe est constituée par un amplificateur, la chaîne de retour par un quadripôle passif.
  • On se place à la limite de la stabilité du système, c'est à dire dans le cas où le le régime transitoire donc le régime libre est oscillant non amorti.
  • Condition nécessaire d'oscillations sinusoïdales.

b. Etablissement des oscillations: exemple de l'oscillateur à pont de Wien.

  • Schéma du montage. Identification de la chaîne directe et de la chaîne de retour.
  • Condition nécessaire d'oscillations sinusoïdales.
  • Condition d'obtention du régime libre oscillant non amorti. l'oscillation est amorcée à la moindre perturbation.
  • Dans la pratique, la condition précédente est très difficile à maintenir. On cherche à obtenir un régime libre légèrement divergent. L'oscillation est amorcée à la moindre perturbation, l' oscillation croit jusqu'à une légère saturation de l'amplificateur : l'oscillation est quasi sinusoïdale en sortie de l'amplificateur.
  • Les harmoniques qui apparaissent du fait des non linéarités (légère saturation) sont filtrées par le filtre de Wien : l'oscillation est sinusoidale en sortie du filtre.

7. Génération d'un signal rectangulaire

a. Schéma fonctionnel d'un système astable.

  • Il s'agit d'un système bouclé qui génère un signal rectangulaire en l'absence de signal d'entrée.
  • La chaîne directe peut être constituée par un comparateur à hystérésis, la chaîne de retour par un opérateur intégrateur.

b. Comparateur à hystérésis.

  • Le montage est identique à celui de l'amplificateur non inverseur, en permuttant les bornes inverseuses et non inverseuses de l'amplificateur opérationnel.
  • Fonctionnement instable: la sortie ne peut prendre donc que deux valeurs.
  • Lien entre l'entrée et la sortie : cycle d' hystérésis.
  • La valeur de la sortie lorsqu'on annule l'entrée dépend des états antérieurs du système : fonction mémoire.

c. Exemple de réalisation d'un système astable: le trigger de Schmitt.

  • La chaîne directe est un comparateur à hystérésis, la chaîne de retour un filtre RC.
Besoin d'un professeur de Physique - Chimie ?

Vous avez aimé l’article ?

Aucune information ? Sérieusement ?Ok, nous tacherons de faire mieux pour le prochainLa moyenne, ouf ! Pas mieux ?Merci. Posez vos questions dans les commentaires.Un plaisir de vous aider ! :) 5,00/5 - 1 vote(s)
Loading...

Olivier

Professeur en lycée et classe prépa, je vous livre ici quelques conseils utiles à travers mes cours !