Fluide statique

Définition de la pression à l'échelle mésoscopique

  • Un fluide est statique ou au repos si son champ des vitesses est identiquement nul.
  • Soit un élément de surface dS en contact avec un fluide. On constate expérimentalement que le fluide qui est en contact avec la surface exerce sur cette surface une force dont la norme est proportionnelle à dS.
  • On constate expérimentalement que dans tous les fluides, visqueux ou non (voir plus loin), cette force est normale à la surface, quelle que soit l'orientation de la surface (propriété d' isotropie).
  • La norme de cette force par unité de surface est appelée  : elle ne dépend que de la position du point où a été placée la surface.

Interprétation microscopique de la pression

La pression résulte :

  • de l'agitation thermique dans le fluide (pression cinétique),
  • des interactions entre les molécules du fluide et la matière située de l'autre coté de la surface.

Qu'est-ce qu'un fluide immobile ? L'eau contenu dans une bouteille ou un verre peut être considérée comme un fluide immobile.

Équivalence volumique des forces de pression

  • Echelle mésoscopique :
    • la résultante des forces de pression qui s'exercent sur un petit élément de volume mésoscopique plongé dans un fluide est proportionnel à cet élément de volume : ceci permet de considérer que les forces surfaciques de pression sont équivalentes à un force volumique.
    • La densité volumique de force équivalente aux forces de pression est égale à l' opposé du gradient de pression.
  • Echelle macroscopique :
    • La résultante des forces de pression qui s'exercent sur un volume non élémentaire plongé dans un fluide peut se calculer par intégrale des forces volumiques équivalentes. On peut aussi la calculer directement en appliquant le théorème d'Archimède.
    • La différence de pression entre deux points d'un même liquide au repos dans un champ de pesanteur uniforme est égale au produit de la densité volumique du fluide par l'accélération de la pesanteur et par la dénivellation.

Cas particulier d'un champ de pression uniforme.

  • L'équivalent volumique des forces de pression est nul.
  • La résultante des forces de pression sur n'importe quel volume fermé est nulle.

Retour aux écoulements laminaires et turbulents : nombre de Reynolds

  • Cas particulier de l'écoulement engendré par le mouvement rectiligne d'une sphère :

On étudie expérimentalement la force de traînée qui s'exerce sur la sphère (résultante des forces surfaciques de contact) pour différentes vitesses et différents rayons et on visualise simultanément les écoulements correspondants.
L'étude expérimentale permet de dégager une loi de comportement universelle (indépendante du fluide et du rayon de la sphère) en exprimant le coefficient de traînée C en fonction du nombre de Reynolds Re (tous deux sans dimension).

  • On constate que pour des nombres de Reynolds faibles ( Re<1 ), donc faible vitesse, petit obstacle, forte viscosité :
    • l'écoulement autour de la sphère est laminaire,
    • la traînée est proportionnelle au coefficient de viscosité, au rayon de la bille et à la vitesse (loi de Stokes).
  • Pour des nombres de Reynolds compris entre 1 et 1000, on constate la formation d'un sillage turbulent à l'arrière de la sphère.
  • On constate que pour des nombres de Reynolds élevés ( Re>1000), donc vitesse élevée, grand obstacle, faible viscosité :
    • le sillage turbulent est important,
    • Le coefficient de traînée est de l'ordre de 1, donc la traînée est proportionnelle à la masse volumique du fluide, au carré du rayon de la bille et au carré de la vitesse. La viscosité n' intervient plus.
  • Interprétation: le fluide doit réoccuper le volume laissé libre par la sphère au fur et à mesure qu'elle avance.
    • Pour une vitesse faible, un rayon faible, et une forte viscosité, le fluide "colle" à l'arrière de la sphère. Le fluide remplit l'espace laissé libre par la sphère par diffusion de matière.
    • Pour une vitesse élevée, un rayon grand, et une faible viscosité, le fluide "décolle" de la sphère. Le fluide remplit l'espace laissé libre par des mouvements de convection de matière rapides et aléatoire.
  • Ordre de grandeur : pour un objet de l'ordre du mètre, à une vitesse de l'ordre de 10 km dans l'air, Re=105 . L'écoulement est donc turbulent.

Écoulement parfait

Qu'est-ce qu'un écoulement parfait ? L'eau qui s'écoule dans une rivière ne peut pas être considérée comme un écoulement parfait.

  • Définition :
    • Un écoulement est dit parfait si tous les phénomènes diffusifs sont négligeables : on peut donc négliger la viscosité et les phénomènes de diffusion thermique.
  • Dans la pratique, les écoulements pour un nombre de Reynolds élevé peuvent être considérés comme parfaits en dehors d'une couche limite de faible épaisseur située au voisinage des obstacles : en effet, les forces de viscosité deviennent non négligeables dans les zones de fort gradient de vitesse.
  • Ordre de grandeur de la couche limite : on admet qu'elle est de l'ordre de la taille de l'objet divisée par la racine carrée du nombre de Reynolds. Exemple : 1 mm pour une voiture à grande vitesse!
  • L'écoulement dans la couche limite peut être laminaire ou turbulent, indépendamment de l' écoulement extérieur.
  • Conditions aux limites :
    • pour un écoulement non parfait, donc dans la couche limite, la vitesse s'annule à la surface des obstacles.
    • si on néglige l'épaisseur de la couche limite, la vitesse en tout point de la surface d'un obstacle est tangentielle à l'obstacle.
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Les écoulements

L'écoulement laminaire

Quand on parle d'écoulement laminaire en mécanique des fluides, on évoque le mode d'écoulement d'un fluide dans le cas où l'ensemble du fluide s'écoule plus ou moins dans la même direction et cela sans que les différences locales ne se contrarient. On est alors en opposition au régime turbulent au cours duquel l'écoulement produit des tourbillons qui vont mutuellement se contrarier.

Ainsi, lorsque l'on cherche à faire circuler un fluide dans un tuyau, on cherche à mettre en place un écoulement laminaire afin qu'il y ait moins de pertes de charge. Mais on cherche aussi à mettre en place un écoulement laminaire lorsque l'on cherche à faire voler un avion afin que le vol soit stable et prévisible à l'aide d'équations.

L'écoulement laminaire d'un point de vue microscopique

Il est toujours intéressant d'apporter un point de vue microscopique à une réflexion. en effet, alors que rien ne se voit d'un point de vue macroscopique, il peut se passer beaucoup de chose dans le monde du très petit.

Lorsque l'on observe un écoulement laminaire à l'échelle microscopique, on peut observer que deux particules de fluides qui sont voisines à un instant défini resteront voisines lors des prochains moments d'observation. De par cette observation, on peut décrire un champ de vitesse grâce à l'utilisation de techniques classiques d'analyse mathématique.

Dans le cas où l'écoulement devient turbulent, celui-ci devient alors sans organisation apparente. Les techniques classiques d'analyse mathématique utilisées précédemment ne suffisent alors plus pour décrire le champ de vitesse.

L'écoulement laminaire d'un point de vue macroscopique

Tout comme la notion de régime turbulent, la notion de régime laminaire est très fortement liée à la viscosité du fluide en mouvement. En effet, lorsque le liquide se situe dans une conduite ou autour d'un obstacle, alors, au voisinage d'une paroi sur laquelle la vitesse relative du fluide est nulle, on peut alors observer l'apparition de fortes variations de vitesse au sein desquelles la viscosité est impliquée.

De façon plus précise, on peut dire que l'écoulement visqueux est caractérisé grâce à un nombre sans dimension que l'on appelle le nombre de Reynolds. Ce nombre permet alors de mesurer l'importance relative des forces inertielles qui sont liées à la vitesse et des forces de frottement qui sont liées à la viscosité.

Ainsi, si ces dernières sont prépondérantes, alors on peut dire que le frottement, qui se produit entre deux couches de fluides, maintient leur cohésion : on obtient ainsi un écoulement laminaire.

Dans le cas où le nombre de Reynolds augmente au-delà d'un certain seuil, alors l'écoulement est déstabilisé. Dans ce cas, il peut y avoir un régime turbulent qui va se mettre en place après qu'une phase de transition, plus ou moins importante, ait eu lieu.

Le nombre de Reynolds, noté Re, correspond à un nombre sans dimension qui est utilisé en mécanique des fluides. Cette grandeur permet alors de caractériser un écoulement, en particulier la nature de son régime. Il est ainsi possible de savoir si un écoulement est laminaire, transitoire ou turbulent.

Le régime turbulent

Lorsque vous subissez des turbulences en plein vol, c'est tout simplement que votre avion entre dans une zone où le flux d'air provoque une zone d'écoulement turbulent.

Le terme turbulence correspond à l'état de l'écoulement d'un fluide, qu'il soit liquide ou gaz, au sein duquel la vitesse présente un caractère tourbillonnaire. On entend par là la présence de tourbillons dont la taille, la localisation mais également l'orientation vont, de façon constante, varier.

On peut caractériser un écoulement turbulents par une apparence très désordonnée mais également par un comportement qui restera difficilement prévisible et par l'existence de nombreuses échelles spatiales et temporelles.

Il est possible de voir apparaître ce type d'écoulement dans le cas où la source d'énergie cinétique, qui provoque la mise en mouvement du fluide, est relativement intense devant les forces de viscosité que le fluide va opposer pour se déplacer. On peut alors opposer cet écoulement au régime laminaire qui est régulier.

Pour étudier le comportement complexe des écoulements turbulent, il faut, dans la plupart des cas, utiliser la voie statistique. En effet, on peut, de ce fait, considérer que cette étude fait partie intégrante de la physique statistique afin de traduire que, lors d'un écoulement, les forces d'inertie l'emportent sur les forces de viscosité.

Écoulement de Poiseuille et loi de Poiseuille

Quand s'applique la loi de Poiseuille ? La loi de Poiseuille est une loi très utilisée dans l'aviation.

La loi de Poiseuille, que l'on appelle aussi loi de Hagen-Poiseuille, permet de décrire ce que l'on appelle écoulement laminaire, c'est à dire un écoulement sous la forme de filets de liquide parallèles, d'un liquide visqueux au sein d'une conduite cylindrique. On appelle logiquement écoulement de Poiseuille tout écoulement qui suit une loi de Poiseuille.

De façon générale, la loi de Poiseuille permet de décrire de façon théorique la relation existant entre le débit d'un écoulement et la viscosité d'un fluide, mais aussi la différence de pression aux extrémités de la canalisation ainsi que la longueur et le rayon de cette même canalisation.

Écoulement torrentiel et fluvial

On parle d'écoulement torrentiel et d'écoulement fluvial dans le cas d'un équilibre de l'écoulement d'un liquide dans un canal ou encore un cours d'eau ou une conduite à la surface libre.
De façon plus précise, on parle d'écoulement torrentiel dans le cas où le nombre de Froude est supérieur à 1, ce qui signifie alors que la vitesse du courant est supérieure à la vitesse d'une vague de liquide étudié. Dans le cas contraire, on parle d'écoulement fluvial.

Notons qu'il est possible de passer d'un régime torrentiel à un régime fluvial lorsqu'il y a un ressaut hydraulique, ce qui signifie qu'il y a une élévation du niveau d'eau ou encore lorsqu'il y a une dissipation d'énergie. Il est d'ailleurs possible d'observer ce phénomène dans un évier de cuisine.

Écoulement polyphasique

On parle d'écoulement polyphasique lorsque l'on observe un écoulement de fluide comportant plusieurs phases. On peut, par exemple, étudier le comportement d'un fluide qui comporte en son sein des bulles de gaz ou encore étudier le comportement d'un mélange de deux fluides non miscibles.

La viscosité et les écoulements

Définition de la pression et de la viscosité à l'échelle mésoscopique

  • Soit un élément de surface pris sur un tube de courant. La résultante des actions de contact qui s'exercent sur une de ses faces se décompose en une composante normale dite force de pression, identique à la force de pression introduite précédemment, et une composante tangentielle dite force de viscosité, qui traduit le frottement entre les couches de fluide.
  • Etude du cas particulier d'un écoulement unidimensionnel de la forme v = vx(y) Ux
    • On constate expérimentalement que, pour des fluides dits "newtoniens" : la norme de la force de viscosité qui s'exerce sur une surface élémentaire est proportionnelle à cette surface et à la dérivée de vx(y) par rapport à y. Le coefficient de proportionnalité est le coefficient de viscosité η (éta).
    • le sens de cette force de viscosité tend à homogénéiser le champ des vitesses.
  • Le coefficient de viscosité est positif et est caractéristique du fluide.
  • Le coefficient de viscosité s'exprime en poiseuille (symbole Pl) dans le système international.
  • Ordres de grandeur :
    • η=10-5 Pl pour l'air
    • η=10-3 Pl pour l'eau
    • η=10-1 Pl pour l'huile
    • η=1 Pl pour la glycérine
  • L'expression de la norme de la force de viscosité rappelle par sa forme les loi de Fick et de Fourier qui traduisent des phénomènes de diffusion.

Interprétation microscopique de la pression et de la viscosité

  • En dehors de l'échelle microscopique, le fluide apparaît comme un milieu continu de matière, et on ne perçoit que des mouvements d'ensemble de matière (mouvements convectifs) définis par le champ des vitesses. C' est avec cette vision du fluide qu'il faut considérer les particules de fluide comme fermées.
  • A l'échelle microscopique, les fluctuations des vitesses des molécules par rapport aux vitesses moyennes du champ des vitesses font que les particules de fluide ne sont en fait pas fermées.
  • On verra plus loin qu'un système mécanique ouvert semble subir, en plus des forces usuelles, des forces surfaciques supplémentaires dont la résultante s'appelle force de poussée. C'est le principe de la propulsion par réaction.
  • Les particules de fluide étant microscopiquement ouvertes, elles subissent des forces surfaciques : les composantes normales sont les forces de pression, les composantes tangentielles sont les forces de viscosité.
  • De façon plus précise, la force qui apparaît sur une surface élémentaire dS d'une particule de fluide est égale au débit de quantité de mouvement sortant à travers dS.(admis)
    • L'agitation moléculaire microscopique entraîne un débit de quantité de mouvement : ceci se traduit par une force de pression dite cinétique.
    • Le glissement d'une particule de fluide sur une autre, les vitesses des particules étant différentes, se traduit par un transfert microscopique de quantité de mouvement de la particule la plus rapide vers la plus lente : ceci se traduit par une force dite de viscosité qui freine la particule la plus rapide et entraîne la plus lente.
  • Dans un fluide en mouvement, on observe donc
    • un phénomène de transport de quantité de mouvement par convection (associé au mouvement d'ensemble de la matière décrit par le champ des vitesses),
    • et un phénomène de transport de quantité de mouvement par diffusion (qui se fait de proche en proche à l'échelle microscopique et sans mouvement macroscopique de matière).

Équivalent volumique des forces de viscosité

  • On admet que, comme pour les forces de pression, les forces surfaciques de viscosité pour un fluide newtonien incompressible sont équivalentes à des forces réparties en volume avec une densité volumique égale au produit de la viscosité par le laplacien-vecteur de la vitesse.
  • On vérifie cette équivalence dans le cas particulier d'un écoulement unidimensionnel de la forme v=vx(y) ux

Généralités

A quoi sert la viscosité ? La bave visqueuse de l'escargot lui permet de s'accrocher sur les surfaces, même à la verticale.

On appelle viscosité l'ensemble des phénomènes de résistance à l'écoulement qui peuvent se produire dans la masse d'une matière dans le cas d'un écoulement que l'on considère comme étant uniforme et sans turbulence. De façon logique, plus le viscosité sera élevée, plus la capacité que possède le fluide à s'écouler facilement va diminuer. De plus, lorsque la viscosité est élevée, l'énergie qui sera dissipée par l'écoulement sera importante.

La viscosité de cisaillement, qui peut être comprise comme une résistance à l'écoulement des différentes couches d'un fluide les unes sure les autres, englobe plusieurs grandeurs physiques qui permettent de la caractériser :

  • La viscosité dynamique qui est la grandeur la plus utilisée. En effet, on se réfère généralement à cette grandeur lorsque l'on parle de viscosité sans précision. Elle permet de faire le lien entre la contrainte de cisaillement et le gradient transversal de la vitesse d'écoulement dans la matière. C'est donc pour cela que l'on appelle cette grandeur vitesse dynamique.
  • La viscosité cinématique, cette grandeur peut être déduite de la vitesse dynamique ;
  • La seconde viscosité qui caractérise la résistance du fluide à des variations de volume ;
  • Et pour finir, la viscosité de volume qui correspond à la combinaison de la viscosité dynamique et la seconde viscosité.

De ce fait, on peut considérer la viscosité comme correspondant à une quantité tensorielle bien qu'il reste possible que, selon les cas, on puisse exprimer cette grandeur sous la forme d'une grandeur scalaire.

En ce qui concerne les liquides, alors que l'inverse est vrai pour les gaz, la viscosité va tendre, de façon générale, à diminuer lorsque la température va augmenter. De plus, croire que la viscosité d'un fluide donné augmente avec la densité est faux car ce n'est pas nécessairement vrai. On peut en effet prendre l'exemple de l'huile qui, pourtant moins dense que l'eau (0,92 pour l'huile de Colza à 20°C et 1 pour l'eau à 20°C) alors que l'huile est, de façon très nette, plus visqueuse que l'eau.

Pour ce qui est des huiles de mécaniques, elles seront classer selon leur viscosité puisque l'huile utilisée dans les moteurs va varier selon les besoin de lubrifications de celui-ci mais aussi selon les température auxquelles l'huile mécanique sera soumise lorsque le moteur sera en marche.

La viscosité peut varier

Comme expliqué précédemment, la viscosité d'un fluide varie selon la température, mais aussi les actions mécaniques auxquelles ce fluide est soumis. Ainsi, afin de déterminer l'importance de l'effet de la température sur la viscosité d'un fluide, on va utilisé un indice appelé indice de viscosité. De façon logique, plus cet indice est grand, moins la température aura une influence sur la viscosité du fluide étudié.

Pour ce qui est des gaz, il est très courant d'utiliser la loi de Sutherland qui se définie ainsi :

    \[ \frac { \eta \left( T \right) } { \eta _ { 0 } } \approx \left( \frac { T } { T _ { 0 } } \right) ^ { \frac { 3 } { 3 } } \times \frac { T _ { 0 } + S } { T + S } \]

Avec :

  • η0 = η(T0) correspondant à la viscosité à la température T0 ;
  • Et S la température de Sutherland.

Dans le cas de l'air, si l'on prend :

  • η0 = 1,715 . 10-5 Pa.s ;
  • T0 = 273,15 K ;
  • Et S = 110,4 K.

On obtient une approximation correcte si l'on reste sur une plage de température comprise entre 170 K et 1 900 K environ.

La viscosité dynamique

La viscosité dynamique peut alors être définie en considérant deux couches d'un fluide que l'on nommera abcd et a'b'c'd' en sachant que la couche abcd est animée d'une vitesse relative à a'b'c'd' que l'on notera dv qui sera dirigée selon x. On considère également une force de frottement notée F comme s'exerçant sur la couche a'b'c'd' séparée de dz.

Ainsi, la viscosité dynamique, que l'on note η ou µ, est présente au sein de la relation entre la norme de la force de frottement F et le taux de cisaillement dv/dz. On à obtient alors :

    \[ F = \eta \times S \times \frac { \text { d } v } { \text { d } z } \]

avec S correspondant à la surface de chaque couche de liquide.

L'analyse dimensionnelle de la viscosité dynamique donne donc, de façon logique :

    \[ \left[ \eta \right] = \left[ M \right] \times \left[ L \right] ^ { - 1 } \times \left[ T \right] ^ { - 1 } \]

Si on souhaite utiliser les unités du système international d'unité, la viscosité dynamique possède le pascals secondes, noté Pa.s, en unité. Auparavant, on utilisait le poiseuille, noté Pl, qui présentait la même valeur que le pascals secondes.

Une ancienne unité du système CGS pour la viscosité dynamique était la poise, notée Po, donc la correspondance était :

    \[ 1 \text { Pa } \cdot \text { s } = 10 \text { Po } \]

Ainsi, la viscosité de l'eau à 20°C correspond à 1 centipoise, noté cPo, ce qui correspond à 1 mPa.s.

La fluidité

La fluidité correspond à l'inverse de la viscosité dynamique

La viscosité cinématique

Il est possible d'obtenir la viscosité cinématique, noté ν, en divisant la viscosité dynamique par la masse volumique, notée ρ, du fluide. On obtient alors la relation suivante :

    \[ \nu = \frac { \eta } { \rho } \]

Son unité, le mètre carré par seconde, noté n².s-1, correspondant, dans l'ancien système CGS comme étant le stokes ou centistokes notés respectivement St et cSt.

La conversion est très rapide car :

    \[ 1 \text { St } = 1 \text { cm } ^ 2 \cdot \text { s } ^ { - 1 } = 10 ^ { - 4 } \text { m } ^ 2 \cdot \text { s } ^ {- 1 } \]

et

    \[ 1 \text{ cSt } = 1 \text { mm } ^ 2 \cdot \text { s } ^ { - 1 } = 10 ^ { - 6 } \text{ m } ^ 2 \cdot \text { s } ^ { - 1 } \]

La seconde viscosité

La seconde viscosité correspond au second paramètre scalaire qui permet de caractériser de façon complète un fluide considéré comme étant newtonien.

Elle est cependant omise dans la littérature puisque, pour la plupart des fluides usuels, il manque la caractérisation des fluides en ce qui concerne leur approximation newtonienne.

La viscosité de volume

La viscosité de volume correspond à une fonction linéaire des viscosités principale et seconde viscosité.

On a ainsi :

    \[ 3 \times K = 3 \times \lambda + 2 \times \mu \]

La viscosité élongationnelle

On considère la viscosité élongationnelle comme étant une viscosité qui apparaît lorsqu'une contrainte élongationnelle s'applique au fluide étudié.

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Joy

Freelancer et étudiante en Sciences de la Vie et de la Terre, je suis un peu une grande sœur qui épaule et aide les autres pour observer et comprendre le monde qui nous entoure et ses curieux secrets !