I. GRADIENT

1. Définition

2. Propriétés

  • Le gradient de f est perpendiculaire aux surfaces "équi f".
  • Le gradient de f est dirigé vers les f croissants.

3. Circulation d'un gradient

  • La circulation d'un gradient est indépendante du chemin suivi.
  • On dit que le gradient est à circulation conservative.

4. Composantes du gradient dans différents systèmes de coordonnées

  • Composantes en coordonnées cartésiennes.
  • Utilisation de l'opérateur nabla.
  • Composantes en coordonnées cylindriques.
  • Composantes en coordonnées sphériques.
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II. DIVERGENCE

1. Définition

2. Théorème d'Ostrogradsky

3. Champ à flux conservatif

  • Un champ dont la divergence est identiquement nulle est à flux conservatif : Le flux entrant dans un tube de champ est égal au flux sortant du tube.

4. Expression de divergence dans différents systèmes de coordonnées

  • Expression en coordonnées cartésiennes.
  • Expression en coordonnées cylindriques.

III. ROTATIONNEL

1. Définition

2. Théorème de Stokes

3. Champ à circulation conservative

  • Un champ dont le rotationnel est identiquement nul est à circulation conservative.

4. Composantes du rotationnel en coordonnées cartésiennes

  • Composantes en coordonnées cartésiennes.

IV. LAPLACIEN

1. Laplacien scalaire

a. Définition.

b. Expression en coordonnées cartésiennes.

2. Laplacien vectoriel

a. Définition.

b. Composantes en coordonnées cartésiennes.

V. PROPRIÉTÉS

  • La divergence d'un rotationnel est nulle.
  • Le rotationnel d'un gradient est nul.
  • Les propriétés suivantes sont équivalentes : Un champ est à circulation conservative <=> Il s'écrit sous forme d'un gradient <=> son rotationnel est nul.
  • Les propriétés suivantes sont équivalentes : Un champ est à flux conservatif <=> Il s'écrit sous forme d'un rotationnel <=> sa divergence est nulle
  • Propriétés sur les produits, produits scalaires, produits vectoriels.
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Olivier

Professeur en lycée et classe prépa, je vous livre ici quelques conseils utiles à travers mes cours !