I. CINÉMATIQUE DES FLUIDES

1. Le modèle du fluide continu
  • Définition d'un fluide : ensemble de molécules très nombreuses, mobiles les unes par rapport aux autres.
  • On distingue :
    • les liquides : faiblement compressibles donc possèdent un volume propre.
    • les gaz : fortement compressibles, occupent tout le volume qui leur est offert.
  • Libre parcours moyen : c'est la distance moyenne parcourue par une molécule entre deux chocs. Ordre de grandeur : quelques centaines de nanomètres pour un gaz dans des conditions ordinaires de pression et température, quelques nanomètres pour un liquide.
  • Modèle du fluide continu :
    • on n'étudie pas individuellement le mouvement de chaque molécule.
    • Les grandeurs physiques définies dans le fluide sont des moyennes sur des éléments de volume dτ mésoscopiques (typiquement 1 μm3), c'est à dire petits devant les dimensions macroscopiques pour que les grandeurs physiques ainsi définies soient locales, et de dimensions très supérieures au libre parcours moyen afin que le nombre de chocs dans l'élément de volume soit suffisamment grand pour pouvoir définir les grandeurs thermodynamiques telles que pression et température.
    • La distance moyenne entre les molécules étant inférieure au libre parcours moyen, les valeurs moyennes sur les éléments de volume mésoscopiques dτ se font sur un très grand nombre de molécules. C'est l'approximation des milieux continus.

2. Champ des vitesses dans un fluide

a. Description de Lagrange.

  • Pour décrire le fluide, on le découpe en éléments de volume mésoscopiques, qui avancent en même temps que le fluide.
  • La description lagrangienne consiste donc à définir les grandeurs physiques en des points attachés à la matière : c'est la description utilisée en mécanique du point.
  • Soit M un point du fluide de coordonnées x, y et z. On a alors x(t), y(t) et z(t).
  • On appelle particules de fluide ces éléments de volume physiquement fermés à l'échelle mésoscopique.
  • On connait la définition du vecteur vitesse d'un point : c'est la dérivée par rapport au temps du vecteur position (voir cours de mécanique du point).
  • Le vecteur vitesse d'une particule de fluide est défini, comme toutes les grandeurs physiques dans le fluide, en valeur moyenne sur l'élément de volume. Il se confond donc avec la vitesse de son centre d'inertie, d'après les relations barycentriques.

b. Description d'Euler.

  • Pour décrire le fluide, on le découpe en éléments de volume mésoscopiques fixes dans le référentiel d'étude donc physiquement ouverts si le fluide bouge.
  • La description eulérienne consiste donc à définir les grandeurs physiques en des points fixes du référentiel : c'est la description utilisée en électromagnétisme.
  • Soit M un point de l'espace de coordonnées x, y et z. On a alors x, y , z et t indépendants.

c. Choix de la représentation

  • La description lagrangienne est bien adaptée à l'écriture des définitions et théorèmes de la mécanique.
  • La description eulérienne est bien adaptée pour effectuer des analogies avec l'électromagnétisme (établissement d'équations locales faisant intervenir la divergence et le rotationnel).
  • On utilisera dans la suite une description eulérienne mais il ne faudra pas perdre de vue la réalité de la mécanique lagrangienne.

d. Vitesse d'une particule de fluide.

  • En description lagrangienne, le vecteur vitesse d'un point M du fluide a déjà été identifié au vecteur vitesse de la particule de fluide qui l'entoure.
  • En description eulérienne, le vecteur vitesse de M à un instant t n' a pas d'intérêt puisqu'il est fixe. On définit en fait le vecteur vitesse en M à l'instant t comme le vecteur vitesse de la particule de fluide qui se trouve en M à l'instant t.
  • A chaque instant, les lignes de champ des vitesses (appelées lignes de courant) dans les deux descriptions coïncident.
  • Dans le cas général, une ligne de courant ne s'identifie pas à la trajectoire d'une particule. La trajectoire d'une particule est l'ensemble des positions occupées par la particule au cours du temps. Les lignes de courant correspondent à une photo instantanée du champ des vitesses.

3. Dérivée particulaire d'un champ

a. Définition.

  • La dérivée particulaire d'une grandeur physique définie par le champ G(M,t) est la dérivée par rapport au temps de cette grandeur considérée comme attachée à la particule de fluide en M à t (masse volumique ou vitesse par exemple ).

b. Expression en description eulérienne.

  • Pour dériver G, il faut tenir compte du fait que le champ peut varier au cours du temps en chaque point de l'espace et du fait que la particule voit une variation du champ à cause de son déplacement pendant dt.
  • La dérivée particulaire ou dérivée totale est la somme d'une dérivée locale et d'une dérivée convective.

c. Application à l'accélération.

  • L'accélération est, par définition de la mécanique, la dérivée particulaire de la vitesse.
  • L'accélération est donc la somme de l'accélération locale et de l'accélération convective.
  • Formule utilisant le vecteur tourbillon.
  • Exemple : cas d'un écoulement stationnaire orthoradial
    • Calcul de l'accélération en description lagrangienne (exceptionnel dans ce cours).
      • détermination de la trajectoire et du mouvement d'une particule de fluide,
      • passage à l'accélération.
    • Calcul de l'accélération en description eulérienne, avec puis sans le vecteur tourbillon.
    • Cas particulier d'un liquide en équilibre en  relatif dans un récipient en rotation.

4. Equation locale de conservation de la masse

a. Débit volumique.

  • Par définition, c'est le volume de fluide qui traverse une surface orientée par unité de temps.
  • Par le calcul, on obtient le flux du vecteur vitesse à travers cette surface.
Remarque : le débit volumique dépend donc de la surface.

b. Débit massique, densité de courant.

  • Par définition, c'est la masse de fluide qui traverse une surface orienté par unité de temps.
  • Par le calcul, on obtient le flux du vecteur densité de courant à travers cette surface.
Remarque : le débit massique dépend donc de la surface.

c. Bilan de conservation de la masse.

  • Formulation intégrale.
  • Equation locale de conservation (équation de continuité)
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II. CLASSIFICATION DES ÉCOULEMENTS LAMINAIRES

1. Distinction entre écoulement laminaire et écoulement turbulent

  • Ecoulement laminaire : c'est un écoulement pour lequel les lignes de courant sont régulières. Les tubes de courant glissent les uns sur les autres.
  • Ecoulement turbulent : c'est un écoulement pour lequel les particules de fluide ont un mouvement très désordonné dans le temps et dans l'espace.

2. Ecoulements stationnaires

a. Définition.

  • Dans un référentiel donné, un écoulement est stationnaire ou permanent si l'ensemble des champs définis dans le fluide sont indépendants du temps.
  • Attention, Il ne faut surtout pas en déduire que l'accélération en tout point est nulle. C'est l'accélération locale qui est nulle.

b. Conséquences.

  • Le vecteur densité de courant est à flux conservatif.
    • Le débit massique est donc conservé le long d'un tube de champ.
    • Le débit massique ne dépend pas de la surface, on peut définir le débit massique à travers un contour.
  • Les lignes de courant sont confondues avec les trajectoires des particules de fluide (et uniquement dans ce cas).

3. Ecoulements incompressibles

a. Définition.

  • Un écoulement est incompressible si les particules de fluide conservent leur volume en se déplaçant, c'est à dire si la dérivée particulaire de la masse volumique est nulle.

b. Cas pratiques.

  • L'écoulement d'un liquide (fluide incompressible) est forcément incompressible.
  • L'écoulement d'un gaz (fluide compressible) en régime stationnaire à des vitesses inférieures à la vitesse du son (écoulement subsonique) peut être considéré comme incompressible. (admis)

 

c. Conséquences.

  • Dans un écoulement incompressible, la divergence du champ des vitesse est nulle en tout point.
  • Interprétation physique de div v en terme de ligne de champ :
    • Le champ des vitesses dans un écoulement incompressible est à flux conservatif, donc
      • le débit volumique est conservé le long d'un tube de champ des vitesses,
      • la vitesse est plus élevée dans les zones où les lignes de champ se ressèrent.
    • Les lignes de champs ne peuvent ni diverger d'un point, ni converger vers un point dans le cas d'un écoulement incompressible.
  • Interprétation physique de div v en terme de compressibilité :
    • Si une particule en un point M d'un écoulement se dilate, son volume augmente, donc le débit volumique à travers une surface élémentaire mathématique fixe qui entoure M est strictement positif. Par définition de l'opérateur divergence, la divergence en M de la vitesse est strictement positive.
    • En un point M où la divergence du vecteur vitesse est nulle, la particule ne se dilate pas et ne se comprime pas.

4. Ecoulements irrotationnels

a. Définition.

  • Un écoulement est irrotationnel si le champ des vitesses est à rotationnel nul dans tout l' espace. Le vecteur tourbillon est donc nul dans tout l'espace.

b. Conséquences.

  • Dans le cas d'un écoulement irrotationnel, on peut introduire un potentiel des vitesses.
  • Equation vérifiée par le potentiel des vitesses dans le cas d'un écoulement incompressible irrotationnel : équation de Laplace
  • Interprétation physique de rot v en terme de ligne de champ :
    • dans un écoulement irrotationnel, aucune ligne de champ des vitesse ne se referme sur elle-même,
    • dans un écoulement quelconque, les lignes de champ des vitesses enlacent les vecteurs tourbillon.
  • Interprétation physique de rot v en terme de tourbillon :
    • Si une particule en un point M d'un écoulement tourne sur elle même en avançant, sans se déformer, le vecteur tourbillon en ce point est égal au vecteur rotation instantané de la particule.
    • Quand rot v est non nul, l'écoulement est dit tourbillonnaire.

III. ACTIONS DE CONTACT DANS LES FLUIDES

1. Fluide statique (rappel de PCSI)

a. Définition de la pression à l'échelle mésoscopique.

  • Un fluide est statique ou au repos si son champ des vitesses est identiquement nul.
  • Soit un élément de surface matériel dS en contact avec un fluide. On constate expérimentalement que le fluide qui est en contact avec la surface exerce sur cette surface une force dont la norme est proportionnelle à dS.
  • On constate expérimentalement que dans tous les fluides, visqueux ou non (voir plus loin), cette force est normale à la surface, quelle que soit l'orientation de la surface (propriété d' isotropie).
  • La norme de cette force par unité de surface est appelée pression : elle ne dépend que de la position du point où a été placée la surface.

b. Equivalence volumique des forces de pression.

  • Echelle mésoscopique :
    • la résultante des forces de pression qui s'exercent sur un petit élément de volume mésoscopique plongé dans un fluide est proportionnel à cet élément de volume : ceci permet de considérer que les forces surfaciques de pression sont équivalentes à un force volumique.
    • La densité volumique de force équivalente aux forces de pression est égale à l' opposé du gradient de pression.
  • Echelle macroscopique :
    • La résultante des forces de pression qui s'exercent sur un système non élémentaire plongé dans un fluide peut se calculer
      • par intégrale des forces surfaciques de pression, sur toute la surface qui délimite le système,
      • par intégrale des forces volumiques équivalentes, sur tout le volume du système.
    • On retrouve cette équivalence de calcul par une technique mathématique de passage de l'intégrale de surface à l'intégrale de volume.

c. Cas particulier d'un champ de pression uniforme.

  • L'équivalent volumique des forces de pression est nul.
  • La résultante des forces de pression sur n'importe quel volume fermé est nulle.

2. Fluide en mouvement

a. Définition de la pression et de la viscosité à l'échelle mésoscopique.

  • Soit un élément de surface mathématique dS pris sur un tube de courant. La résultante des actions de contact que le fluide d'un côté de dS exerce sur le fluide de l'autre côté de dS est proportionnelle à dS. Cette résultante par unité de surface est appelée contrainte.
  • Cette résultante se décompose en une composante normale dite force de pression, identique à la force de pression introduite précédemment, et une composante tangentielle dite force de viscosité, qui traduit le frottement entre les couches de fluide.
  • Etude du cas particulier d'un écoulement unidimensionnel de la forme v = vx(y) Ux (écoulement dit "de cisaillement"). On constate expérimentalement que, pour des fluides dits "newtoniens" :
    • la norme de la force de viscosité qui s'exerce sur une surface élémentaire est proportionnelle à cette surface et à la dérivée de vx(y) par rapport à y. Le coefficient de proportionnalité est le coefficient de viscosité η (éta) (loi de Newton).
    • le sens de cette force de viscosité tend à homogénéiser le champ des vitesses.
  • Le coefficient de viscosité est positif et est caractéristique du fluide.
  • Le coefficient de viscosité s'exprime en poiseuille (symbole Pl) dans le système international.
  • Ordres de grandeur :
η=10-5 Pl pour l'air
η=10-3 Pl pour l'eau
η=10-1 Pl pour l'huile
η=1 Pl pour la glycérine ou le miel
  • L'expression de la norme de la force de viscosité rappelle par sa forme les lois de Fick et de Fourier qui traduisent des phénomènes de diffusion.

b. interprétation microscopique de la pression et de la viscosité.

  • En dehors de l'échelle microscopique, le fluide apparaît comme un milieu continu de matière, et on ne perçoit que des mouvements d' ensemble de matière (mouvements convectifs) définis par le champ des vitesses. C' est avec cette vision du fiuide qu'il faut considérer les particules de fluide comme fermées.
  • A l'échelle microscopique, les fluctuations des vitesses des molécules par rapport aux vitesses moyennes du champ des vitesses font que les particules de fluide ne sont en fait pas fermées.
  • On verra plus loin qu'un système mécanique ouvert semble subir, en plus des forces usuelles, des forces surfaciques supplémentaires dont la résultante s'appelle force de poussée. C'est le principe de la propulsion par réaction.
  • Les particules de fluide étant microscopiquement ouvertes, elles subissent des forces surfaciques : les composantes normales sont les forces de pression, les composantes tangentielles sont les forces de viscosité.
  • De façon plus précise, la force qui apparaît sur une surface élémentaire dS d'une particule de fluide est égale au débit de quantité de mouvement sortant à travers dS.(admis)
    • L'agitation moléculaire microscopique entraine un débit de quantité de mouvement normal : ceci se traduit par une force de pression.
    • Le glissement d'une particuie de fluide sur une autre, les vitesses des particules étant différentes, se traduit par un transfert microscopique de quantité de mouvement de la particule la plus rapide vers la plus lente : ceci se traduit par une force dite de viscosité qui freine la particule la pius rapide et entraîne la pius lente.
  • Dans un fluide en mouvement, on observe donc
    • un phénomène de transport de quantité de mouvement par convection (associé au mouvement d'ensemble de la matière décrit par le champ des vitesses),
    • et un phénomène de transport de quantité de mouvement par diffusion (qui se fait de proche en proche à l'échelle microscopique et sans mouvement macroscopique de matière).
    • Phénomène de transport (ou transfert) : quand une grandeur physique est transportée par le biais des molécules.

c. Equivalent volumique des forces de viscosité.

  • On admet que, comme pour les forces de pression, les forces surfaciques de viscosité pour un fluide newtownien en écoulement incompressible sont équivalentes à des forces réparties en volume avec une densité volumique égale au produit de la viscosité par le laplacien-vecteur de la vitesse.
  • On vérifie cette équivalence dans le cas particulier d'un écoulement unidimensionnel de la forme v=vx(y) ux

d. Retour aux écoulements laminaires et turbulents : nombre de Reynolds.

On étudie le particulier de l'écoulement engendré par le mouvement rectiligne d'une sphère dans un fluide au repos :

  • On étudie expérimentalement la force dite "de traînée" qui s'exerce sur la sphère (résultante des forces surfaciques de contact) pour différentes vitesses et différents rayons et on visualise simultanément les écoulements correspondants.
  • On se place dans le référentiel de la sphère pour visualiser facilement les écoulements.
  • Pour un déplacement de la sphère selon Ox, on définit le coefficient de traînée Cx par le rapport force subie/(pression cinétique x maître couple). Le coefficient C est sans dimension.
  • On définit le nombre de Reynolds par Re=L.V/ν avec v=η/ρ  viscosité cinématique; L dimension typique de l'objet (diamètre de la sphère ici, diamètre d'une canalisation éventuellement...). Le nombre de Reynolds est sans dimension.
  • Il est remarquable de constater que l'étude expérimentale permet de dégager une loi de comportement universelle (indépendante du fluide et du rayon de la sphère), à condition d'exprimer le coefficient de traînée Cx en fonction du nombre de Reynolds Re.
  • On constate que pour des nombres de Reynolds faibles ( Re<1 ), donc faible vitesse, petit obstacle, forte viscosité :
    • l'écoulement autour de la sphère est laminaire,
    • la traînée est proportionnelle au coefficient de viscosité, au rayon de la bille et à la vitesse (loi de Stokes).
  • Pour des nombres de Reynolds compris entre 1 et 1000, on constate la formation d'un sillage turbulent à l'arrière de la sphère.
  • On constate que pour des nombres de Reynolds élevés ( entre 2000 et 200 000), donc vitesse élevée, grand obstacle, faible viscosité :
    • le sillage turbulent est important,
    • le coefficient de traînée C (ou Cx) est constant (de l'ordre de l'unité), donc la traînée est proportionnelle à la pression cinétique et au Cx. La viscosité n' intervient plus.
    • Le Cx dépend de la forme de l'objet, il est proche de 0,5 pour la sphère, proche de 1 pour un disque.
  • Interprétation: le fluide doit réoccuper le volume laissé libre par la sphère au fur et à mesure qu'elle avance.
    • Pour une vitesse faible, un rayon faible, et une forte viscosité, le fluide "colle" à l'arrière de la sphère. Le fluide remplit l'espace laissé libre par la sphère par diffusion de matière.
    • Pour une vitesse élevée, un rayon grand, et une faible viscosité, le fluide "décolle" de la sphère. Le fluide remplit l'espace laissé libre par des mouvements de convection de matière rapides et aléatoires.
  • Ordre de grandeur : pour un objet de l'ordre du mètre, à une vitesse de l'ordre de 10 km.h-1 dans l'air, Re=105. L'écoulement est donc turbulent.

e. Ecoulement parfait.

  • Définition :
Un écoulement est dit parfait si tous les phénomènes diffusifs sont négligeables : on peut donc négliger la viscosité et les phénomènes de diffusion thermique.
  • Dans la pratique, les écoulements pour un nombre de Reynolds élevé peuvent être considérés comme parfaits en dehors d'une couche limite de faible épaisseur située au voisinage des obstacles : en effet, les forces de viscosité deviennent non négligeables dans les zones de fort gradient de vitesse.
  • Ordre de grandeur de la couche limite : on admet qu'elle est de l'ordre de la taille de l'objet divisée par la racine carrée du nombre de Reynolds. Exemple : 1 mm pour une voiture à grande vitesse ! Justification avec des ordres de grandeur.
  • L'écoulement dans la couche limite peut être laminaire ou turbulent, indépendamment de l' écoulement extérieur.
  • Conditions aux limites :
    • pour un écoulement non parfait, donc dans la couche limite, la vitesse s'annule à la surface des obstacles.
    • si on néglige l'épaisseur de la couche limite, la vitesse en tout point de la surface d'un obstacle est tangentielle à l'obstacle.

 IV. EQUATIONS DYNAMIQUES LOCALES

1. Ecoulement parfait : l'équation d'Euler

a. Démonstration.

  • L'équation d'Euler n'est rien d'autre que la loi de la résultante cinétique appliquée à une particule de fluide (système fermé à l'échelle mésoscopique).

b. Retour au cas statique.

  • Les surfaces isobares sont perpendiculaires aux lignes de champ de force.
  • La pression augmente dans le sens de la densité volumique de force.
  • Cas particulier où le fluide n'est soumis qu'à un champ de pesanteur uniforme dans un référentiel galiléen.
    • Cas des liquides : loi fondamentale de l' hydrostatique.
    • Cas des gaz : modèle de l'équilibre de l'atmosphère isotherme.
    • Conséquences :
      • la surface de séparation entre deux liquides non miscibles est horizontale.
      • Principe des vases communicants.
      • Principe du baromètre de Torricelli.
  • Théorème d'Archimède.

2. Ecoulement réel : l'équation de Navier-Stokes

3. Théorèmes de Bernoulli pour les écoulements parfaits, incompressibles et homogènes

a. Cas d'un écoulement parfait, incompressible, homogène et stationnaire.

b. Cas d'un écoulement parfait, incompressible, homogène, irrotationnel et stationnaire.

c. Cas d'un écoulement parfait, incompressible, homogène et irrotationnel.

d. Extension à un écoulement parfait, incompressible et homogène

4. Application de l'équation de Bernoulli dans le cas d'un écoulement parfait, incompressible, homogène et stationnaire

a. Retour au cas statique.

b. Vidange d'un réservoir.

c. L'effet Venturi.

d. Exemples de débitmètres.

  • Le tube de Venturi.
  • Le tube de Pitot.

V - BILANS DYNAMIQUES ET THERMODYNAMIQUES

  • Les théorèmes suivants ont été introduits en CPGE 1 pour des systèmes fermés :
théorème de la résultante cinétique
théorème du moment cinétique
théorème de l'énergie cinétique
premier principe de la thermodynamique
second principe de la thermodynamique
  • Il s'agit d'adapter ces théorèmes valables pour des systèmes fermés à des systèmes ouverts.
  • La technique générale est de se ramener à des systèmes fermés en effectuant des bilans à deux instants infiniment voisins t et t+dt. On effectuera donc des bilans de
quantité de mouvement
moment cinétique
énergle cinetique
énergie interne
entropie
  • On constate en particulier que le fait qu'un système soit ouvert se traduit par l'apparition d'une force supplémentaire dite force de poussée.
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Olivier

Professeur en lycée et classe prépa, je vous livre ici quelques conseils utiles à travers mes cours !