L'intégration mathématique

Qu'est-ce que l'intégration mathématique ?
A vos stylos !
Ce qui va vous être expliqué dans ce cours est loin d'être facile alors prenez votre temps et restez calme.

En mathématiques, on appelle intégration l'action de calculer une intégrale. Il représente alors l'une des deux branches du calcul dit infinitésimal, également appelé calcul intégral alors que l'autre branche représente le calcul différentiel.

Ainsi, sont soumises aux calculs d'intégrales les mesures de grandeurs telles que la longueur d'une courbe l'aire, le volume ou encore le flux. On peut alors considérer l'intégration comme étant un outil scientifique fondamental. C'est pour cela que l'intégration commence à être enseignée dès l'enseignement secondaire.

L'intégrale, dans la majorité des domaines où elle a été utilisé, a permis de proposer des définitions différentes de l'intégrale afin de calculer les intégrales de fonctions peu régulières. On peut dans ce cas parler des intégrales de Riemann, de Lebesgue ou de Kurzweil-Henstock même si les définitions coïncident toutes dans le cas des fonctions continues.

Introduit par Leibniz, on représente en mathématiques l'intégration avec le symbole ∫ que l'on peut appeler somme, signe d'intégration, signe intégral ou encore intégrateur.

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L'intégrale de surface

Qu'est-ce que l'intégrale de surface ?
Avez-vous déjà étudié les champs magnétiques ?

En mathématiques, une intégrale de surface représente une intégrale qui est définie sur toute une surface même si celle-ci est courbée dans l'espace. Ainsi, pour une surface définie, on peut intégrer depuis un champ scalaire ou un champ vectoriel.

Les intégrales de surface ont d'ailleurs de nombreuses utilités. Par exemple, elle sont fréquemment utilisées en physique, notamment dans la théorie classique de l'électromagnétisme.

Intégrale de surface sur un champ scalaire

Il est possible d'exprimer, et ce de façon explicite, une intégrale de surface. Pour ce faire, il faut en général paramétrer la surface S en question grâce à la mise en place d'un système de coordonnées curvilignes telles que la longitude et la latitude sur une sphère.

Un fois que le paramétrage x(s,t) est défini, avec s et t qui peuvent varier dans une région du plan, on peut définir l"intégrale de surface d'un champ scalaire avec la forme de changement de variables suivante :

    \[ \int_{S}^{} f d S =\int_{}^{} \int_{T}^{} f \left( x \left( s , t \right) \right) \parallel \frac{\partial x}{\partial s} \wedge \frac{\partial x}{\partial t}\parallel d s d t\]

Ainsi, on peut définir l'aire de la surface S avec la formule suivante :

    \[ \int_{S}^{} d S= \int_{}^{} \int_{T}^{} \parallel \frac{\partial x}{\partial s} \wedge \frac{\partial x}{\partial t} \parallel d s d t\]

Intégrale de surface sur un champ vectoriel

Pour cette partie du cours, on va considérer v un champ de vecteurs défini sur la surface S où, pour tout x de S, on peut définir v(x) comme un vecteur.

On peut définir une intégrale de surface composante par composante en se basant sur la définition de l'intégrale d'un champ scalaire, c'est-à-dire un vecteur. On peut illustrer cela en prenant l'exemple de l'expression du champ électrique qui se crée en un point défini de la surface chargée ou pour un champ gravitationnel qui se crée en un point défini par un objet sans épaisseur.

Mais il est également possible d'intégrer la composante normale du champ de vecteur afin d'obtenir alors un scalaire. Ainsi, par exemple, dans le cas où un fluide traverse la surface S et si v(x) est le vecteur représentant la vitesse locale du fluide au point x, le flux, ou encore le débit selon le point choisi, peut être défini par la quantité de fluide qui va traverser S par unité de temps.

Ainsi, comme il est illustré dans l'exemple, si le champ vectoriel est considéré comme tangent à S en tous ses points, alors on peut définir le flux comme étant nul. En effet, dans ce cas, le fluide ne s'écoulera que de façon parallèle à S et ne traversera donc jamais cette surface. Ainsi, on peut dire que seule la composante normale non nulle de v contribue au flux lorsque l'on se trouve dans un cas où v n'est pas toujours parallèle à la surface S.

En ce basant sur ce raisonnement, on peut, pour calculer le flux, prendre en chaque point le produit scalaire de v avec le vecteur de surface unitaire normal à S afin d'obtenir un champ scalaire puis de l'intégrer afin d'obtenir la relation suivante :

    \[ \int_{S} v . d S = \int_{S} \left( v . n \right) d S = \int \int_{T} v \left( x \left( s , t \right) \right) . \left( \frac{\partial x}{\partial s} \wedge \frac{\partial x}{\partial t} \right) d s d t \]

Dans cette relation, le produit vectoriel présent dans le membre de droite correspond à un vecteur normal à la surface. Celui-ci est déterminé grâce à la paramétrisation.

Tandis que dans l'intégrale de gauche, on peut remarquer un produit scalaire mais également l'utilisation d'une notation vectorielle pour un élément de surface.

Intégrale de surface sur une distribution hémisphérique

Les autres utilisations de l'intégrale de surface.
Et non, la Terre n'est pas une sphère mais un ellipsoïde de révolution faiblement aplati !

Puisque certaines grandeurs physiques, telles que la luminance énergétique, sont des distributions hémisphériques, elles peuvent décrire la manière dont un élément donné de surface va émettre un rayonnement dans une direction d'angle solide élémentaire.

Ainsi, l'intégrale d'une grandeur de ce type sur une demi-sphère d'émission permet d'obtenir de façon correcte la puissance totale rayonnée par le dit élément de surface (dans ce cas, il représenterait l'excitance).

Cependant, l'effet global d'une distribution de ce type pour la totalité de la surface d'émission n'est pas une intégrale de surface comme vu précédemment puisqu'elle suit des règles particulières alors que l'on pourrait penser que cette distribution devait donc donner la puissance totale rayonnée par le système dans la direction d'angle solide élémentaire (dans ce cas, il représenterait l'intensité énergétique).

L'intégrale multiple

L'intégrale multiple, en analyse mathématique, correspond à une forme d'intégrale qui peut s'appliquer aux fonctions de plusieurs variables réelles.

Les deux outils associés à ce type d'intégrale sont alors le changement de variable et le théorème de Fubini qui permet de ramener de proche en proche un calcul d'intégrales multiples à des calculs d'intégrales simples et donc d'interpréter le "volume" d'un domaine considéré comme simple de dimension n (on parle d'hypervolume si n est supérieur à 3) comme s'il s'agissait de l'intégrale d'une fonction de n-1, de même pour une intégrale définie par une fonction continue positive d'une variable égale à l'aire sous la courbe associée.

Utiliser les intégrales

Pour déterminer une grandeur physique définie pour un système continu.

Exemples :

  • Dans le cours de mécanique (cours de SI) : position du centre d'inertie d'un système, moment d' inertie par rapport à un axe, résultante cinétique, résultante dynamique, résultante des forces, moment cinétique, moment dynamique, moment résultant...
  • Dans le cours d'électromagnétisme : champ et potentiel électrique créés par une distribution de
    charges, champ magnétique créé par une distribution de courants, circulation ou flux d'un vecteur...

Technique de calcul

Prenez vos crayons à papier pour travailler les intégrales !
Pour assimiler plus facilement les méthodes énoncées ci-dessous, il est conseillé de s'entraîner régulièrement.

Poser correctement l'intégrale

  • Justifier que la grandeur cherchée est bien additive (principe de superposition ou propriété de linéarité des équations qui définissent la grandeur),
  • Bien faire apparaître que la grandeur définie pour le système n'est autre qu'une somme de grandeurs élémentaires définies pour chaque point du système : le signe "intégrale" n'est autre que la généralisation à un système continu du signe somme "sigma" utilisé pour les sommes discrètes,
  • Vérifier qu'apparaît bien dans l'écriture de l'intégrale un élément différentiel qui a une signification très concrète ( dm, dl, dS, dv...),
  • Ne pas chercher à privilégier certaines variables pour l'instant.

Dans le cas d'une intégrale vectorielle: passage à une intégrale scalaire

  • Remplacer la somme vectorielle par les sommes des composantes dans une base orthonormée (rappel : la composante d'un vecteur suivant un vecteur de base n'est autre que la projection du vecteur sur le vecteur de base, c'est-à-dire le produit scalaire du vecteur par le vecteur de base). On a donc 3 intégrales scalaires à calculer a priori,
  • Essayer de déterminer, avec des arguments de symétrie bien détaillés, la direction du vecteur que l'on cherche à calculer avec l'intégrale:
    • Si la direction est déterminée, il ne reste à calculer qu'une seule intégrale scalaire, celle de la composante du vecteur dans la direction ainsi trouvée,
    • Si la direction ne peut être déterminée, il faut calculer les trois intégrales scalaires correspondant aux trois composantes du vecteur.

Dans le cas d'une intégrale scalaire multiple

Méthode "mathématique"

  • Choisir la ou les variables qui permettent de décrire le mieux le domaine d'intégration, c'est-à-dire qui permettent d'obtenir des bornes d'intégration simples,
  • Exprimer la fonction à intégrer et l'élément différentiel à l'aide de ces variables,
  • Effectuer l'intégration mathématique.

Méthode "physique": passage à une intégrale simple

  • Regrouper tous les éléments différentiels qui donnent la même contribution à l'intégrale : la sommation de ces contributions identiques est simple et permet généralement d'aboutir à une intégrale simple.

Dans le cas d'une intégrale scalaire simple

  • Choisir la variable qui permet de décrire le mieux le domaine d'intégration. Il peut y avoir plusieurs choix pertinents (une variable cartésienne et une variable angulaire par exemple), il faudra tester pour voir lequel donne le calcul le plus simple.
  • Exprimer la fonction à intégrer et l'élément différentiel à l'aide de cette variable.
  • Effectuer l'intégration mathématique.
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Joy

Freelancer et étudiante en Sciences de la Vie et de la Terre, je suis un peu une grande sœur qui épaule et aide les autres pour observer et comprendre le monde qui nous entoure et ses curieux secrets !