I. LOIS GÉNÉRALES DANS L'ARQS

1. Courant électrique

  • Le courant électrique est  un déplacement d'ensemble des porteurs de charge sous l'action d'une force électrique. Son sens conventionnel est celui dans lequel se déplaceraient des charges positives.
  • Son intensité à travers une surface orientée est définie par le débit de charges à travers cette surface.
  • Pour un fil conducteur orienté, l'intensité est donc définie par le débit de charges à travers une section du fil.
  • Dans un circuit, en régime continu (ou stationnaire) ou en régime lentement variable (ou ARQS : approximation des régimes quasi-stationnaires) : l'intensité a la même valeur en tout point d'une branche. Si le circuit est simple, l'intensité est la même en chacun de ses points.
  • Loi des noeuds (1ère loi de Kirchhoff) : En un noeud d'un réseau, la somme des intensités des courants orientés vers ce noeud est égale à la somme des intensités des courants orientés en s'éloignant du noeud.

2. Tension

  • Une tension est une différence de potentiel entre deux points.
  • Loi des mailles (2ème loi de Kirchhoff) : La somme des tensions aux bornes des différentes branches formant une maille est nulle, ces tensions étant orientées dans le même sens.

3. Puissance électrique reçue par un dipôle

  • La puissance électrique reçue par un dipôle est égale au produit de la tension u à ses bornes par l'intensité i du courant qui le traverse, u et i étant orientés en convention récepteur.
  • Dipôle récepteur si la puissance reçue est positive, sinon dipôle générateur.

II. CIRCUITS LINÉAIRES

1. Dipôles modèles R, L et C

  • Conducteur ohmique de résistance R (en ohm) :
    • loi d'Ohm : u = Ri (en convention récepteur)
    • puissance perdue par effet Joule dans R : pJ = Ri2
  • Bobine d'inductance L (en henry) et de résistance r
    • u = ri + Ldi/dt (en convention récepteur)
    • énergie emmagasinée dans une bobine WL=1/2 Li2
    • continuité de i dans une bobine (pour uL gardant une valeur finie)
  • Condensateur de capacité C (en farad)
    • q= Cu et i=dq/dt d'où i = Cdu/dt (en convention récepteur)
    • énergie emmagasinée dans un condensateur Ec =1/2 Cu2
    • continuité de q et uC (pour i gardant une valeur finie)

2. Associations de résistances

  • en série : on somme les résistances
  • en parallèle : on somme les conductances G=1/R
  • diviseur de tension : vérifier que les deux résistances sont parcourues par le même courant.
  • diviseur de courant : vérifier que les deux résistances ont la même tension à leurs bornes.

3. Modélisations d'un dipôle linéaire actif en régime continu

  • générateur de tension ou représentation de Thévenin (e,r) : association série d'une résistance et d'une source idéale de tension de fem e.
  • générateur de courant ou représentation de Norton (I0,g) : association parallèle d'une conductance et d'une source idéale de courant de courant électromoteur I0
  • e correspond à la tension à vide et I0 correspond au courant de court-circuit.
  • relations de passage d'un modèle à l'autre : g=1/r et e=rI0
  • Pour simplifier une partie linéaire d'un réseau entre deux points : associer des modèles de Thévenin en série (sommation des fem et des résistances) et des modèles de Norton en parallèle (sommation des conductances et des courants électromoteurs). Ne pas hésiter à passer d'un modèle à l'autre !

4. Détermination des intensités dans les branches d'un réseau linéaire (ou pas totalement) en régime continu

  • Pour déterminer une intensité donnée dans une branche, le reste du réseau étant linéaire, on remplace cette partie par son modèle de Thevénin (ou Norton). On obtient alors une maille simple dans laquelle on détermine i par le calcul ou graphiquement (méthode du point de fonctionnement).

5. Réponse à un échelon de tension des circuits RC, RL et RLC

  • La réponse à un échelon de tension est égale à la somme de la solution du régime libre (pas de source donc pas de second membre dans l'équation différentielle) et d'une constante, solution particulière de l'équation différentielle mais aussi valeur limite quand t tend vers l'infini.
  • RC : c'est la charge d'un condensateur. uc et q augmentent de façon exponentielle avec une constante de temps τ = RC.
  • RL : établissement d'un courant dans une bobine. i augmente de façon exponentielle avec une constante de temps τ = L/R.
  • RLC : forme canonique de l'équation différentielle, 3 régimes : apériodique, critique ou pseudo-périodique selon la valeur du coefficient d'amortissement λ comparé à 1(ou du facteur de qualité Q comparé à 1/2). On peut aussi comparer R à la résistance critique.

III. CIRCUITS LINÉAIRES EN RÉGIME SINUSOIDAL FORCÉ

1. Nature du régime sinusoïdal forcé

  • Régime transitoire puis régime permanent sinusoïdal forcé : toutes les grandeurs sont sinusoïdales de même pulsation que la source. Elles sont synchrones.
  • Pour deux signaux synchrones f1 et f2, on définit le déphasage de f2 par rapport à  f1 compris entre -π et +π. Si ce déphasage est positif  f2 est en avance par rapport à  f1 sinon f2 est en retard par rapport à  f1.
  • Le déphasage de f2 par rapport à f1 est lié à l'avance temporelle de f2 par rapport à  f1 par la relation : φ = ω.Δt.

2. Représentation complexe d'une fonction sinusoïdale

  • Définition
  • La grandeur sinusoïdale est la partie réelle de la grandeur complexe associée.
  • intérêt : les lois de Kirchhoff sont équivalentes écrites en grandeurs scalaires sinusoïdales et en grandeurs complexes associées. Il en est de même de toutes les relations linéaires issues de ces lois.
  • Les équations différentielles en complexes se simplifient puisqu' une dérivation se traduit par une multiplication par jω et une intégration par une division par jω.

3. Impédance complexe

  • Impédance complexe des dipôles de base R, L et C
  • Associations série : on somme les impédances complexes.
  • Associations  parallèle : on somme les admittances complexes (inverses des impédances).

4. Théorème de Millman

  • C'est le loi des noeuds écrite en terme de potentiels
  • Forme simple et forme généralisée

5. Circuit RLC série

  • On introduit la pulsation propre ω0 et  le facteur de qualité Q. On peut alors définir la pulsation réduite ω/ω0  ce qui fait apparaître des analogies avec des systèmes mécaniques.
  • Résonance d'intensité observée quelque soit Q en ω0. e et i sont alors en phase.  La bande passante s'exprime en fonction de Q. Plus Q est élevé, plus le pic de résonance est fin.
  • Résonance de charge observée sous condition.

6. Puissance en régime sinusoïdal forcé

  • Puissance instantanée : c'est une sinusoïde décalée et de période T/2.
  • Puissance moyenne : on l'exprime en fonction du "facteur de puissance" cosΦ et des valeurs efficaces de u et i : P=UIcosΦ.
  • Puissance complexe : attention à sa définition, ce n'est pas le produit des grandeurs complexes associées à u et i !
  • Résonance de puissance dans le circuit RLC série, quelque soit Q pour la pulsation propre.

7. Filtres linéaires

  • L'étude est faite en régime sinusoïdal forcé.
  • Un filtre est un quadripôle pour lequel le signal de sortie  varie avec la fréquence.
  • Fonction de transfert : rapport des grandeurs complexes associées à us et ue. Son module donne G le gain et son argument donne le déphasage de us par rapport à ue.
  • Diagramme de Bode : tracés de GdB= 20logG et du déphasage en fonction de log f/f0
  • Ces tracés sont complétés par la détermination des pulsations de coupure et de la bande passante à -3 dB.
  • L'étude précédente permet de déduire la nature du filtre :  passe-bas, passe-haut, passe-bande, coupe-bande
  • Les étapes pour tracer un diagramme de Bode
    • Commencer l'étude d'un filtre par une étude qualitative hautes et basses fréquences en utilisant des schémas équivalents. En BF, C équivaut à un interrupteur ouvert et L à un fil. C'est l'inverse en HF.
    • Calculer la fonction de transfert en évitant d'introduire des intensités, ce qui est possible si on n'utilise que des diviseurs de tension et le théorème de Millman.
    • Si possible, l'exprimer sous une forme connue ou un produit de fonctions de transfert connues.
    • Déterminer le gain, étudier ses variations et déterminer les asymptotes. On complète par la détermination de la bande passante.
    • Déterminer le déphasage, étudier ses variations et ses asymptotes.
  • Exemples classiques à connaître
    • Filtre RC passe-bas du premier ordre et RL passe-haut du premier ordre
    • Filtre RLC série avec us aux bornes de R (passe-bande du second ordre) ou us aux bornes de C (passe-bas ou éventuellement passe-bande du second ordre).
  • Stabilité : un filtre est stable si les solutions de l'équation différentielle homogène associée à son équation différentielle tendent vers 0 quand t tend vers l'infini. Ceci est vérifié pour les filtres vus en exemple :
    • pour RC et RL : solution homogène exponentielle décroissante
    • pour RLC série : coefficients de l'équation différentielle homogène tous positifs. Ce critère est suffisant pour les filtres passe-bande du second ordre.
  • Le comportement fréquentiel d'un quadripôle permet de prévoir  le signal de sortie lorsqu'un signal T-périodique ue est injecté à l'entrée. Celui-ci se décompose en séries de fourier, somme de la valeur moyenne et  de signaux sinusoïdaux de périodes T/k. Chaque terme de cette décomposition donne un signal de sortie calculable grâce à la fonction de transfert à la fréquence correspondante. On somme tous les signaux de sortie pour obtenir le signal de sortie associé à ue.

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Mathieu

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