Introduction

La magnétostatique est l’étude des interactions entre des courants stationnaires. Les équations locales, fournies, servent de point de départ de l’étude. La loi historique (loi de Biot et Savart) qui exprime le champ magnétostatique créé par une distribution de courant est hors programme.

Un IRM, Imagerie à Résonance Magnétique, se différencie du scanner par l'utilisation d'ondes magnétiques provoquées par un aimant. C'est pour cela qu'il est formellement déconseillé voire même interdit de passer un tel examen d'imagerie médicale en cas de présence de matériaux aimanté dans le corps comme certaines encres de tatouage

Les différents types de champs existant

Champ électrique

En physique, on appelle champ électrique tout champ vectoriel créé par des particules électriquement chargées. Plus exactement, lorsque nous sommes en présence d'une particule chargée, les propriétés locale de l'espace défini sont alors modifié ce qui permet de définir la notion de champ. En effet, si une autre charge se trouve être dans le dit champ, elle subira ce qu'on appelle l'action de la force électrique qui est exercée par la particule malgré la distance. On dit alors du champ électrique qu'il est le médiateur de la dite action à distance.

Si on se veut plus précis, on peut définir dans un référentiel galiléen défini, une charge q définie de vecteur vitesse v qui subit de la part des autres charges présentes, qu'elles soient fixes ou mobiles, une force qu'on définira de force de Lorentz. Cette force se décompose ainsi :

    \[ \overrightarrow { f } = q \left ( \overrightarrow { E } + \overrightarrow { v } \wedge \overrightarrow { B } \right) \]

avec :

  •     \[ \overrightarrow { E } \]

    le champ électrique. Celui-ci décrit dans ce cas la partie de la force de Lorentz qui est indépendante de la vitesse de la charge

  •     \[ \overrightarrow { B } \]

    le champ magnétique. Celui-ci décrit ainsi la partie de la force exercée sur la charge qui dépend du déplacement de cette même charge dans le référentiel choisi.

De plus, il est important de noter que les deux champs, électrique et magnétique, dépendent du référentiel d'étude.

Avec cette formule, on peut alors définir le champ électrique comme étant le champ traduisant l'action à distance subie par une charge électrique fixe dans un référentiel défini de la part de toutes les autres charges, qu'elles soient mobiles ou fixes.

Mais on peut également définir le champ électrique comme étant toute région de l'espace dans laquelle une charge est soumise à une force dite de Coulomb.

On commence à parler de champ électrostatique lorsque, dans un référentiel d'étude, les charges sont fixes. Notons d'ailleurs que le champ électrostatique ne correspond pas au champ électrique comme décrit plus haut dans cet article puisqu'en effet, lorsque les charges sont en mouvement dans un référentiel, il faut ajouter à ce référentiel un champ électrique qui est induit par les déplacement des charges afin d'obtenir un champ électrique complet.

Mais, le champ électrique reste dans la réalité un caractère relatif puisqu'il ne peut exister indépendamment du champ magnétique. En effet, si on observe la description correcte d'un champ électromagnétique, celui-ci fait intervenir un tenseur quadridimensionnel de champ électromagnétique dont les composantes temporelles correspondent alors à celle d'un champ électrique. Seul ce tenseur possède un sens physique. Alors, dans le cas d'un changement de référentiel, il est tout à fait possible de transformer un champ magnétique en champ électrique et inversement.

Le champ électromagnétique

En physique, on appelle champ électromagnétique la représentation dans l'espace d'une force électromagnétique exercée par des particules chargées. Ce champ représente alors l'ensemble des composantes de la force électromagnétique qui s'appliquent à une particule chargée qui se déplace alors dans un référentiel galiléen.

On peut alors définir la force subit par une particule de charge q et de vecteur vitesse par l'expression suivante :

    \[ \overrightarrow { f } = q \left ( \overrightarrow { E } + \overrightarrow { v } \wedge \overrightarrow { B } \right) \]

avec :

    \[ \overrightarrow { E } \]

le champ électrique. Celui-ci décrit dans ce cas la partie de la force de Lorentz qui est indépendante de la vitesse de la charge

    \[ \overrightarrow { B } \]

le champ magnétique. Celui-ci décrit ainsi la partie de la force exercée sur la charge qui dépend du déplacement de cette même charge dans le référentiel choisi.

En effet la séparation de la partie magnétique et de la partie électrique de dépend que du point de vue pris selon le référentiel d'étude.

De plus, il peut être intéressant de savoir que les équations de Maxwell régissent les deux composantes couplées, c'est à dire électrique et magnétique, de sorte que toute variation d'une composante induira la variation de l'autre composante.

D'ailleurs, le comportement des champs électromagnétiques se trouve décrit de façon classique par les équations de Maxwell et de manière plus générale par l'électrodynamique quantique.

La façon la plus utilisée afin de définir le champ électromagnétique est celle du tenseur électromagnétique de la relativité restreinte.

Le champ électrostatique

On parle de champ électrostatique lors que les charges qui constitue le champ sont au repos dans le référentiel d'étude. Ce champ est donc déduit de l'expression de la loi de Coulomb, aussi appelée interaction électrostatique.

Le champ gravitationnel

En physique classique, on appelle champ gravitationnel, ou encore champ de gravitation, un champ qui est réparti dans l'espace et dû à la présence d'une masse qui est alors susceptible d'exercer une influence gravitationnelle sur tout les autres corps pouvant être présent à proximité immédiate ou non.

On peut démontrer que le champ gravitationnel créé en un point quelconque par un corps ponctuel dérive d'un potentiel scalaire dit newtonien.

En physique classique, le champ gravitationnel ou champ de gravitation est un champ réparti dans l'espace et dû à la présence d'une masse susceptible d'exercer une influence gravitationnelle sur tout autre corps présent à proximité (immédiate ou pas). L'introduction de cette grandeur permet de s'affranchir du problème de la médiation de l'action à distance apparaissant dans l'expression de la force de gravitation universelle.

On peut interpréter le champ gravitationnel comme étant la modification de la métrique de l'espace-temps. L'approximation newtonienne est alors valable uniquement dans le cas où les corps présentent une vitesse faible par rapport à celle de la lumière dans le vide et si le potentiel gravitationnel qu'ils créent est tel que le quotient du potentiel gravitationnel sur le carré de la vitesse de la lumière dans le vide est négligeable.

On peut approcher le champ électrique et le champ gravitationnel. En effet, l'expression du champ et du potentiel ne sont différents que d'une constante. De plus, les principaux théorèmes de calculs, celui de la superposition ou de Gauss par exemple, peuvent s'appliquer dans les deux cas. Ce qui les différencie alors est le caractère attractif, donc entre deux charges de signe opposé, ou répulsif, donc entre deux charges de même signe, du champ électrique tandis que le champ gravitationnel ne peut être qu'attractif.

De façon plus succincte, quand on parle de champ électrique en physique, on parle de champ vectoriel créé par des particules qui sont électriquement chargée. De façon plus précise, ce qui traduit la notion de champ est la présence d'une particule chargée qui va modifier les propriétés locales de l'espace.

Faits expérimentaux

Historique

  • Dès l'antiquité : observation de forces d'interaction entre matériaux dits aimantés.
  • Utilisation de la boussole dès le 12 ème siècle. lien
  • En 1820, observation par OERSTED (1777-1851) de l'action d'un courant électrique sur un petit aimant.
  • Étude des phénomènes par AMPÈRE (1775-1836), LAPLACE (1749-1827), BIOT (1774,1862), SAVART (1791-1841). Mise en évidence de l'action sur un aimant sur un circuit.
  • Mise en évidence de l'action d'un aimant ou d'un courant sur un faisceau de particules : THOMPSON (1856-1940).

Conclusion

Le magnétisme décrit les interactions entre charges en mouvement. (Aimantation de la matière interprétée par
l'existence de courants microscopiques).

Introduction du champ magnétique

  • Dans toute la suite de ce cours, le champ magnétique sera indépendant du temps, donc créé par une distribution de courants indépendante du temps : Magnétostatique.
  • Interactions non décrites directement : utilisation du champ magnétique comme intermédiaire. Pour décrire les interactions entre deux distributions de charges en mouvement, il faut savoir décrire le champ crée par l'une et les actions subies par l'autre dans ce champ.
  • Caractérisation du champ magnétostatique :
    • Le vecteur champ magnétique en chaque point de l'espace est défini par l'action subie par une petite aiguille aimantée (boussole) placée en ce point. (Équivalent de la charge d'essai pour le champ électrostatique) : B a la direction et le sens de l'axe Sud-Nord de la petite aiguille aimantée. (Remarque : Le pôle nord terrestre géographique est proche du pôle sud magnétique.)

Ordres de grandeur

  • Unité du champ magnétique : Le tesla T.
  • Champ magnétique terrestre : environ 10-5 T.
  • Champ magnétique usuel au labo : environ 10-4 T.
  • Champ magnétique maximal jamais atteint: quelques dizaines de teslas.

Spectres

Un élément est dit ferromagnétique quand il possède des propriétés de ferromagnétisme.
Le ferromagnétisme est le mécanisme par lequel des matériaux forment des aimants permanents ou sont attirés par d’autres aimants. Le cobalt, le nickel ou encore le fer sont des éléments ferromagnétiques

  • Difficulté de représentation d'une fonction vectorielle des points de l'espace, d'où l'utilisation des lignes de champ.
  • Obtention de spectres de façon expérimentale : Utilisation de limaille de fer (Chaque grain de limaille s'aimante en présence du champ magnétique et s'oriente suivant le vecteur champ).
  • exemples de spectres magnétiques :
    • Champ créé par un barreau aimanté. lien
    • Champ créé par un aimant en U.
    • Champ créé par un fil rectiligne illimité. lien
    • Champ créé par une spire de courant.
    • Champ créé par deux spires de courant de même sens.
    • Champ créé par deux spires de courant de sens opposés.
    • Champ créé par un solénoïde.
  • Faits constatés pour les champs créés par des courants :
    • Pas de source ponctuelle de champ magnétique.
    • Les lignes de champ tourbillonnent autour des courants.
    • Le sens des lignes de champ qui entourent un courant est donné par la règle du tire-bouchon.
    • Le sens des lignes de champ qui traversent une boucle de courant est donné par la règle du tire-bouchon.

Les propriétés du champ magnétique

Distribution de courant filiforme

  • L'intensité électrique est adaptée pour décrire une répartition de courants localisée dans un tube de faible
    section (cas des fils électriques), tube qui sera "vu" de loin comme un fil dont on néglige l'épaisseur.
  • Définition de l'intensité électrique.

Invariances par translation et rotation

  • Si une distribution de courants est invariante par translation dans une direction donnée, le champ magnétique créé sera également invariant dans cette direction.
  • Si une distribution de courants est invariante par rotation autour d'un axe, la norme du champ magnétique créé sera également invariante par rotation.

Propriétés du champ magnétique en tout point d'un plan de symétrie ou d'un plan d'antisymétrie des courants

Il existe de nombreux type de symétrie, il peut alors être intéressant d'étudier un cas de figure avec chacun un type de symétrie différent

définitions

  • Un plan de symétrie d'une distribution de courants est un plan qui laisse invariante cette distribution de courants lorsqu'on effectue la symétrie plane.
  • Un plan d' antisymétrie d'une distribution de courants est un plan qui laisse invariante cette distribution de courants mais en inversant les sens des courants lorsqu'on effectue la symétrie plane.

propriétés

  • En un point appartenant à un plan de symétrie d'une distribution de courants, le champ magnétostatique est orthogonal à ce plan. (Admis)
  • En un point appartenant à un plan d' antisymétrie d'une distribution de courants, le champ magnétostatique appartient à ce plan. (Admis)
  • Les propriétés pour les champs électrostatiques et magnétiques diffèrent : E est un "vrai" vecteur alors que B est un "pseudo" vecteur car défini à partir d'une convention mathématique d'orientation (celle du produit vectoriel).

Plans de symétrie ou d’antisymétrie des courants

Un plan est un plan de symétrie des sources du champ si elles restent inchangées lorsqu'on effectue la la symétrie par rapport à ce plan.

Un plan est un plan d'antisymétrie des sources du champ si elles sont inversées (changement de signe pour les charges, de sens pour les courants) lorsqu'on effectue la symétrie par rapport à ce plan.

En tout point d'un plan de symétrie des sources, le champ électrique est contenu dans ce plan et le champ magnétique est orthogonal à ce plan.

En tout point d'un plan d'antisymétrie des sources, le champ magnétique est contenu dans ce plan et le champ électrique est orthogonal à ce plan.

Flux

Propriété

Le flux du champ magnétique sortant de toute surface fermée est nul. (Admis)

Conséquences

  • Le champ magnétique est à flux conservatif, c'est à dire qu'un tube de champ magnétique transporte un flux constant.
  • Le champ magnétique est le plus intense dans les zones de l'espace où les lignes de champ sont les plus resserrées.
  • Il n'existe pas de monopôles magnétiques.

Retour sur les exemples de spectres

  • Repérer les zones de champ intense et les zones de champ faible.
  • Repérer les zones de champ uniforme.

Circulation

Théorème d'Ampère

  • La circulation du champ magnétostatique le long d'un contour fermé orienté est égale au produit de la perméabilité du vide par l'intensité algébrique totale qui traverse une surface quelconque qui s'appuie sur
    le contour, cette surface étant orientée par rapport au contour par la règle du tire-bouchon. (Admis)lien

Conséquences

  • Une ligne de champ fermée enlace obligatoirement un courant.
  • Sens du champ sur une ligne de champ fermée enlaçant un courant donnée par la règle du tire-bouchon.
  • L'utilisation du théorème permet le calcul du champ magnétique dans des cas simples.

Loi de Biot et Savart

  • Champ magnétique créé par une distribution linéique de courants.
  • Discontinuité en distribution linéique : Champ non défini sur le fil.

Propriétés topographiques

  • Les lignes de champ magnétostatique sont fermées. Elles enlacent des courants et leur orientation est donnée par la règle du tire-bouchon.

  • Conséquence de la conservation du flux : la norme de B augmente là où les lignes de champ se resserrent et les lignes de champ ne peuvent ni converger en un point, ni diverger d'un point.

Action d'un champ magnétique sur un courant

Force de Lorentz dans un champ magnétostatique

  • sur une charge ponctuelle en mouvement

  • sur les porteurs de charge d’un volume élémentaire, force volumique de Lorentz

Pour en savoir plus sur les forces de Lorenz, il est nécessaire de se pencher sur les différents type de champ existant au sein desquels s'exerce cette force. N'hésitez pas à voir le rappel si nécessaire.

Champ magnétostatique créé par un dipôle

  • Expressions fournies

  • Analogie avec le champ créé par un dipôle électrostatique

Dipôle magnétique dans un champ magnétique extérieur

  • Actions subies, énergie potentielle d’un dipôle magnétique passif (expressions fournies).

  • On note l’analogie avec les expressions obtenues pour le dipôle électrostatique d’où les mêmes conséquences sur l’évolution du dipôle.

  • Un dipôle magnétique tend à aligner son moment dipolaire avec la ligne de champ magnétostatique et à se déplacer vers les zones de champ intense.

Exemples de calculs de champ magnétique

Technique

Choix de la méthode

  • Simplifier le problème en se ramenant à des cas simples déjà étudiés. Pour cela, utiliser le théorème de superposition : le champ créé par plusieurs distributions de courants est égal à la somme des champs créés par
    chaque distribution comme si elle était seule dans l' espace.
  • En priorité, essayer d'appliquer le théorème d'Ampère:
    • Avantages :
      • Rapidité ;
      • Élégance
    • Inconvénients:
      • On a besoin d'une géométrie simple pour le champ pour que le calcul de la circulation soit simple.
      • On a besoin de connaitre la géométrie complète du courant : On ne peut pas par exemple calculer avec le théorème d'Ampère le champ créé par une portion de fil.
  • En dernier ressort, utiliser la loi de Biot et Savart :
    • Inconvénient : Calcul d'une intégrale vectorielle, contenant un produit vectoriel.

Calcul par le théorème d'Ampère

  • On ne peut appliquer le théorème d'Ampère que si on a une vision claire de l'allure du champ magnétique dans tout l'espace.
  • Déterminer l'allure des lignes de champ dans l'espace : Pour cela, déterminer la direction du champ en un point quelconque à l'aide des propriétés de symétrie.
  • Déterminer les variables dont dépend la norme du champ : Pour cela, utiliser les propriétés d'invariance.
  • Choisir un contour d'Ampère fermé orienté de façon à ce que le calcul de la circulation soit simple : Contour parallèle ou perpendiculaire aux lignes de champ pour simplifier le produit scalaire, champ constant en
    norme ou nul pour simplifier l'intégrale.

Calcul direct

  • Transformer l'intégrale vectorielle en intégrales scalaires : à priori 3 intégrales scalaires qui sont les composantes (les projections) de l'intégrale vectorielle sur 3 directions perpendiculaires de  l'espace.
  • pour n'effectuer qu'une seule intégrale scalaire, prévoir la direction du champ et ne calculer que la composante dans cette direction.
  • choisir les variables d'intégration de façon à ce que les bornes d'intégration soient simples.

Vérification du résultat

  • Homogénéité.
  • Cohérence entre résultat mathématique et propriétés physiques : Parité, croissance et décroissance, maxima, point de champ nul, continuités et discontinuités...

Fil rectiligne illimité

Calcul direct

  • Contribution au champ d'une portion de fil.
  • Cas limite du fil illimité.

Calcul paf le théorème d'Ampère

Spire circulaire

  • Allure des lignes de champ.
  • Champ sur l'axe.
  • Champ au centre de la spire.

Solénoïde fini à spires jointives

Calcul par superposition de spires.

Solénoïde infini à spires jointives

  • calcul direct du champ sur l'axe.
  • calcul par le théorème d'Ampère du champ en tout point.

a. Calcul de B à l’intérieur du solénoïde

  • Avec le théorème d’Ampère, en admettant que le champ magnétique est nul à l’extérieur.

b. Inductance propre

  • Rappel de PCSI : le solénoïde crée un champ magnétique dans lequel il est plongé : il crée donc un flux magnétique propre à travers lui-même. Ce flux propre est proportionnel à l’intensité dans le solénoïde et le coefficient de proportionnalité est appelé inductance propre.

  • Un circuit seul dans l'espace et parcouru par un courant i crée un champ magnétique dans tout l'espace. Le flux de ce champ à travers le circuit lui-même (flux propre) est proportionnel à i. Le coefficient de proportionnalité est l'inductance propre L (ou coefficient d' autolnduction) du circuit, exprimée en henry.

  • L ne dépend que de la géométrie du système et L> 0.

c. Énergie magnétique et densité volumique associée

Êtes-vous capable de trouver des exemples pour un câble rectiligne “infini” et un fil rectiligne “infini” ?

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Joy

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