1 - La différentielle d’une fonction à une variable

Une petite histoire pour illustrer :

Une voiture avance le long d’une route
rectiligne, plein est (ce n’est pas choisi au hasard, c’est vers la
droite sur une carte...). Elle arrive devant un panneau qui indique une
pente de 5%. Le conducteur arrête son véhhicule, sort sa carte (très
détaillée) et en déduit qu’au prochain carrefour situé à 100 m d’après
sa carte, la voiture se sera élevée de 5m. Il sait bien aussi qu’il n’a
aucun moyen de prévoir de combien la voiture se sera élevée en arrivant
au prochain village à 10 km. Peu importe, l’indication de la pente à
l’endroit où il se trouve lui suffit pour savoir qu’il a intérêt à bien
serrer son frein à main pour ne pas repartir en arrière ! Avec une
pente de 0 %, il n’y aurait pas besoin de frein à main...

Faisons un peu de maths

Soit une fonction f (c’est l’altitude)
d’une variable réelle x (c’est la distance mesurée sur la carte). On
sait que la pente (tiens, on retrouve le même mot) de la tangente à la
courbe en un point d’abscisse xo (c’est l’endroit où la voiture s’est arrêtée) est égale à la dérivée de la fonction f en xo.
Cette tangente à la courbe en xo,
c’est une droite d’équation y = a.x + b, c’est à dire la courbe d’une
fonction affine. Pour simplifier, on change l’origine des axes, et on
prend comme origine le point d’abscisse xo (l’endroit où la voiture s’est arrêtée). L’équation de la tangente devient Y = a.X avec Y = y - yo et X = x - xo
. L’ordonnée à l’origine devient nulle puisque la courbe passe
maintenant par la nouvelle origine. Cette droite est maintenant la
courbe d’une fonction linéaire (passe par (o,o)) qui s’appelle la
fonction linéaire tangente en xo, notée df.

on a donc df (Y) = a.X

c’est à dire df (x-xo) = f’(xo). (x-xo)

traduction
avec l’exemple de la voiture : si la pente était constante,
l’élévation, quelle que soit la distance parcourue serait égale à ce
déplacement fois la pente (proportionalité).

Faisons un peu de géométrie

Quel rapport avec la physique ?

En physique, les phénomènes étant parfois
complexes, il est souvent suffisant d’étudier l’effet de petites
perturbations sur une grandeur physique, et l’outil mathématique est
plus simple pour l’étude de petites variations que l’étude d’une
grandeur dans sa totalité.

En effet, pour une grandeur physique
fonction d’un seul paramètre, le physicien approxime la variation de la
grandeur physique pour une petite variation du paramètre à la variation
de la fonction linéaire tangente. Autrement dit, localement on confond
la courbe réelle et la tangente.

c’est à dire f(x) - f(xo) = df(x-xo)

d'ou f(x) - f(xo) ≈ df (x-xo) = f’(xo). (x-xo)

que les physiciens notent df= (df/dx). dx

2 - La différentielle d’une fonction à deux variables

Reprenons notre petite histoire

Pendant que le conducteur regarde la
carte, son fils sort de la voiture avec son ballon. Son père le met en
garde de bien tenir son ballon qui pourrait rouler. Mais dans quelle
direction irait ce ballon? La pente de la route est certes importante,
mais l’inclinaison de la route compte également (vous avez remarqué que
les routes sont bombées pour permettre l’écoulement de l’eau de pluie).
Le dénivelé de la route est donc fonction de deux variables, l’une
est-ouest, l’autre nord-sud. Il faut tenir compte de deux pentes (deux
dérivées partielles). La dénivellation quand on se déplace sur la route
est une combinaison de deux déplacements selon deux pentes.

Faisons un peu de math
df(x-xo,x'-x'o) = (∂f/∂x)x'.(x-xo) + (∂f/∂x')x.(x'-x'o)
Et la physique dans tout ça ?

Bien entendu, pour de petites variation des variables, le physicien va approximer la fonction réelle f à son plan tangent, d’où

δf = (∂f/∂x)x'.δx + (∂f/∂x')x.δx'

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Mathieu

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