Quels concours peut-on passer avec une CPGE MPSI ? Ce cours correspond avant tout à une liste non exhaustive de ce qui est nécessaire de connaître, en ce qui concerne l'électrostatique et les champs, pour réussir son année de MPSI et les concours qui en découlent. Vous trouverez également quelques définitions et quelques lois qui découlent des notions à connaître afin de vous éviter de changer de page pour ces rappels.
Cependant, il peut être utile de garder sous la main son cahier de cours.

Électrostatique

La force de Coulomb

Le champ électrostatique, expression du vecteur E créé par une charge ponctuelle, n charges ponctuelles, une distribution volumique, surfacique ou linéïque de charge.

Il est possible de définir un champ électrostatique à partir d'un champ électrique et d'un champ magnétique. Nous vous expliquerons pourquoi dans les paragraphes suivant.

Champ électrique

En physique, on appelle champ électrique tout champ vectoriel créé par des particules électriquement chargées. Plus exactement, lorsque nous sommes en présence d'une particule chargée, les propriétés locale de l'espace défini sont alors modifié ce qui permet de définir la notion de champ. En effet, si une autre charge se trouve être dans le dit champ, elle subira ce qu'on appelle l'action de la force électrique qui est exercée par la particule malgré la distance. On dit alors du champ électrique qu'il est le médiateur de la dite action à distance.

Si on se veut plus précis, on peut définir dans un référentiel galiléen défini, une charge q définie de vecteur vitesse v qui subit de la part des autres charges présentes, qu'elles soient fixes ou mobiles, une force qu'on définira de force de Lorentz. Cette force se décompose ainsi :

    \[ \overrightarrow { f } = q \left ( \overrightarrow { E } + \overrightarrow { v } \wedge \overrightarrow { B } \right) \]

avec :

  •     \[ \overrightarrow { E } \]

    le champ électrique. Celui-ci décrit dans ce cas la partie de la force de Lorentz qui est indépendante de la vitesse de la charge

  •     \[ \overrightarrow { B } \]

    le champ magnétique. Celui-ci décrit ainsi la partie de la force exercée sur la charge qui dépend du déplacement de cette même charge dans le référentiel choisi.

De plus, il est important de noter que les deux champs, électrique et magnétique, dépendent du référentiel d'étude.

Avec cette formule, on peut alors définir le champ électrique comme étant le champ traduisant l'action à distance subie par une charge électrique fixe dans un référentiel défini de la part de toutes les autres charges, qu'elles soient mobiles ou fixes.

Mais on peut également définir le champ électrique comme étant toute région de l'espace dans laquelle une charge est soumise à une force dite de Coulomb.

On commence à parler de champ électrostatique lorsque, dans un référentiel d'étude, les charges sont fixes. Notons d'ailleurs que le champ électrostatique ne correspond pas au champ électrique comme décrit plus haut dans cet article puisqu'en effet, lorsque les charges sont en mouvement dans un référentiel, il faut ajouter à ce référentiel un champ électrique qui est induit par les déplacement des charges afin d'obtenir un champ électrique complet.

Mais, le champ électrique reste dans la réalité un caractère relatif puisqu'il ne peut exister indépendamment du champ magnétique. En effet, si on observe la description correcte d'un champ électromagnétique, celui-ci fait intervenir un tenseur quadridimensionnel de champ électromagnétique dont les composantes temporelles correspondent alors à celle d'un champ électrique. Seul ce tenseur possède un sens physique. Alors, dans le cas d'un changement de référentiel, il est tout à fait possible de transformer un champ magnétique en champ électrique et inversement.

Le champ électrostatique

On parle de champ électrostatique lors que les charges qui constitue le champ sont au repos dans le référentiel d'étude. Ce champ est donc déduit de l'expression de la loi de Coulomb, aussi appelée interaction électrostatique.

Pourquoi ai-je les cheveux dans tous les sens quand j'enlève mon pull ? Voici une illustration d'un phénomène bien connu de tous. C'est évidemment l'électricité statique qui en est la cause. Il est possible de provoquer cela avec un simple ballon de baudruche. Il ne vous suffira qu'à le gonfler et le frotter contre les cheveux de votre cobaye. Ensuite, éloignez doucement le ballon et observez les cheveux se redresser afin de conserver le contact avec la chevelure de votre collègue.

Exemples de calculs utilisant la formule intégrale : disque uniformément chargé (point sur l'axe) et segment uniformément chargé (point d'un plan médiateur)

Plan de symétrie et d'antisymétrie des charges, invariances par translation ou par rotation autour d'un axe, symétrie cylindrique.

Invariances des sources

Mêmes résultats qu’en électrostatique et en magnétostatique !

Plan de symétrie ou d’antisymétrie des sources

Un plan est un plan de symétrie des sources du champ si elles restent inchangées lorsqu'on effectue la la symétrie par rapport à ce plan.

Un plan est un plan d' antisymétrie des sources du champ si elles sont inversées (changement de signe pour les charges, de sens pour les courants) lorsqu'on effectue la symétrie par rapport à ce plan.

En tout point d'un plan de symétrie des sources, le champ électrique est contenu dans ce plan et le champ magnétique est orthogonal à ce plan.

En tout point d'un plan d' antisymétrie des sources, le champ magnétique est contenu dans ce plan et le champ électrique est orthogonal à ce plan.

Circulation du champ électrostatique, circulation du champ créé par une charge ponctuelle et conséquence: introduction de la fonction potentiel, définition de la fonction potentiel dans le cas général, expression du potentiel créé dans les différents cas de distribution de charge.

Topographie du champ électrostatique : lignes de champ et surfaces équipotentielles et leurs propriétés

Flux du champs électrostatique et théorème de Gauss (admis)

Le théorème de Gauss permet, en électromagnétisme, de calculer le flux d'un champ électrique à travers une surface qui est fermée et ce grâce à la connaissance des charges électriques que cette surface renferme.

Il s'énonce ainsi :

Le flux du champ électrique à travers une surface S fermée est égal à la somme des charges électriques contenues dans le volume V délimité par cette surface, divisée par la permittivité du vide.

Comment utiliser le théorème de Gauss pour une symétrie sphérique, cylindrique ou plane des charges ?

Comment vérifier ses connaissances ? Les comportements et la répartition des charges ne sera pas identique selon si vous travaillez avec un objet cylindrique ou si vous travaillez avec un objet sphérique.
C'est pourquoi nous vous conseillons de connaître et de savoir refaire un exercice type concours pour chaque cas.

Dipôle électrostatique actif : champ et potentiel créés par un doublet puis cas du dipôle, étude des lignes de champ et des surfaces équipotentielles

Dipôle électrostatique passif, dans un champ électrostatique uniforme

Analogie avec la gravitation

Le champ gravitationnel

En physique classique, on appelle champ gravitationnel, ou encore champ de gravitation, un champ qui est réparti dans l'espace et dû à la présence d'une masse qui est alors susceptible d'exercer une influence gravitationnelle sur tout les autres corps pouvant être présent à proximité immédiate ou non.

On peut démontrer que le champ gravitationnel créé en un point quelconque par un corps ponctuel dérive d'un potentiel scalaire dit newtonien.

En physique classique, le champ gravitationnel ou champ de gravitation est un champ réparti dans l'espace et dû à la présence d'une masse susceptible d'exercer une influence gravitationnelle sur tout autre corps présent à proximité (immédiate ou pas). L'introduction de cette grandeur permet de s'affranchir du problème de la médiation de l'action à distance apparaissant dans l'expression de la force de gravitation universelle.

On peut interpréter le champ gravitationnel comme étant la modification de la métrique de l'espace-temps. L'approximation newtonienne est alors valable uniquement dans le cas où les corps présentent une vitesse faible par rapport à celle de la lumière dans le vide et si le potentiel gravitationnel qu'ils créent est tel que le quotient du potentiel gravitationnel sur le carré de la vitesse de la lumière dans le vide est négligeable.

On peut approcher le champ électrique et le champ gravitationnel. En effet, l'expression du champ et du potentiel ne sont différents que d'une constante. De plus, les principaux théorèmes de calculs, celui de la superposition ou de Gauss par exemple, peuvent s'appliquer dans les deux cas. Ce qui les différencie alors est le caractère attractif, donc entre deux charges de signe opposé, ou répulsif, donc entre deux charges de même signe, du champ électrique tandis que le champ gravitationnel ne peut être qu'attractif.

Qu'est-ce-qu'un satellite naturel ? Le système solaire, mais aussi les autres systèmes, gardent leur équilibre grâce à la force gravitationnelle qui poussent les planètes à graviter autour du Soleil tout comme la Lune gravite autour de la Terre.

Mouvement de particules chargées dans un champ électrique ou magnétique uniforme et constant

Magnétostatique

Compatibilité avec l’électrostatique et la magnétostatique

Cas particulier du régime statique

Les charges qui créent le champ sont statiques donc il n’y a pas de courants.

Simplification des équations de Maxwell :

  • Le champ magnétique est nul.
  • Seul le champ électrique existe appelé champ électrostatique.
  • On retrouve les lois locales vues dans le chapitre “Électrostatique”.
Cas particulier du régime stationnaire

Les charges qui créent le champ sont en mouvement mais de façon stationnaire : le vecteur densité de courant est non nul mais indépendant du temps donc les champs sont indépendants du temps.

Simplification des équations de Maxwell :

  • Les deux champs électrique et magnétique existent mais sont découplés.
  • La détermination du champ électrique à partir des charges est identique au cas de l'électrostatique.
  • Le champ magnétique est nommé champ magnétostatique.
  • On retrouve les lois locales vues dans le chapitre “Magnétostatique”.

champ magnétique : direction et sens, spectres et règle du tire-bouchon, propriétés liées aux symétries et invariances des courants, flux conservatif, théorème d'Ampère.

Le champ électromagnétique

En physique, on appelle champ électromagnétique la représentation dans l'espace d'une force électromagnétique exercée par des particules chargées. Ce champ représente alors l'ensemble des composantes de la force électromagnétique qui s'appliquent à une particule chargée qui se déplace alors dans un référentiel galiléen.

On peut alors définir la force subit par une particule de charge q et de vecteur vitesse par l'expression suivante :

    \[ \overrightarrow { f } = q \left ( \overrightarrow { E } + \overrightarrow { v } \wedge \overrightarrow { B } \right) \]

avec :

    \[ \overrightarrow { E } \]

le champ électrique. Celui-ci décrit dans ce cas la partie de la force de Lorentz qui est indépendante de la vitesse de la charge

    \[ \overrightarrow { B } \]

le champ magnétique. Celui-ci décrit ainsi la partie de la force exercée sur la charge qui dépend du déplacement de cette même charge dans le référentiel choisi.

En effet la séparation de la partie magnétique et de la partie électrique de dépend que du point de vue pris selon le référentiel d'étude.

De plus, il peut être intéressant de savoir que les équations de Maxwell régissent les deux composantes couplées, c'est à dire électrique et magnétique, de sorte que toute variation d'une composante induira la variation de l'autre composante.

D'ailleurs, le comportement des champs électromagnétiques se trouve décrit de façon classique par les équations de Maxwell et de manière plus générale par l'électrodynamique quantique.

La façon la plus utilisée afin de définir le champ électromagnétique est celle du tenseur électromagnétique de la relativité restreinte.

exemples de calculs : champ créé par une portion de fil rectiligne puis un fil infini, par une spire sur son axe et par un solénoïde de longueur finie (sur l'axe) puis infinie (en tout point).

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Joy

Freelancer et étudiante en Sciences de la Vie et de la Terre, je suis un peu une grande sœur qui épaule et aide les autres pour observer et comprendre le monde qui nous entoure et ses curieux secrets !

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