Électrostatique

La loi de Coulomb

La loi de Coulomb est une loi de physique électrostatique. Elle exprime la force électrique qui existe entre deux particules chargées. Son nom vient du physicien Charles-Augustin Coulomb. Il l'a en effet énoncée en 1785 et a ainsi donné naissance à l'électrostatique.

Sa loi dit que l'intensité de la force électrostatique entre deux charges électriques est proportionnelle au produit des deux charges et est inversement proportionnelle au carré de la distance entre les deux charges. La force est portée par la droite passant par les deux charges.

Le champ doit varier comme le carré inverse de la distance entre les charges à une précision de 0,02 sur l'exposant avec l'aide d'un dispositif appelé balance de Coulomb. Cette balance est constituée d'un fil de torsion en argent sur lequel est fixé des matériaux chargés. Ainsi, la loi d'attraction entre deux charges ponctuelles notées q1 et q2 , fixes dans le référentiel défini et séparées par une distance r, se définit ainsi :

  • La force est dirigée selon la droite reliant les deux charges ;
  • Elle est attractive si les charges sont de signes opposée et répulsive sinon ;
  • Son intensité est proportionnelle aux valeurs de q1 et q2 et varie en raison inverse du carré de la distance r.

Il est alors possible de traduire ces caractéristiques en une formule exprimant la force exercée par q1 sur q2 :

    \[ \overrightarrow{ f _ { e } } = \frac { 1 } { 4 \pi \epsilon _ { 0 } } \frac { q _ { 1 } q _ { 2 } }{ r ^ { 2 } } \overrightarrow { e _ { r } } \]

avec :

  •     \[ \overrightarrow { e _ { r } } \]

    le vecteur unitaire de la droite reliant q1 et q2 qui est dirigée dans le sens 1 vers 2

  •     \[ \epsilon _ { 0 } \]

    la permittivité diélectrique du vide

Ce qui peut rendre la compréhension de cette formule compliquée est la notion de force à distance. En effet, comment une charge peut savoir qu'une autre charge ponctuelle se trouve à une certaine distance d'elle et alors exercer sur force sur cette charge en fonction de la distance qui les sépare.

Dans ce cas, tout comme pour un champ gravitationnel, il peut être utile de séparer dans la loi de force ce qui dépend de la charge subissant la force et donc d'obtenir la relation suivante :

    \[ \begin{cases} \overrightarrow { f } = q _ { 2 } \left[ \frac { 1 } { 4 \pi \epsilon _ { 0 } } \frac { q _ { 1 } } { r ^ { 2 } } \overrightarrow { e _ { r } } \right] = q _ { 2 } \overrightarrow { E } \\ \overrightarrow{ E } = \frac { 1 } { 4 \pi \epsilon } \frac { q _ { 1 } }{ r ^ { 2 } } \overrightarrow { e _ { r } } \end{cases} \]

avec :

  •     \[ \overrightarrow { E }  \]

    un champ électrique électrostatique créé à partie de la charge q1 au point où se trouve la seconde charge q2

Ainsi, avec cette relation, il est plus aisé d'interpréter l’existence d'une force à distance. En effet, la charge considérée comme "source", c'est-à-dire q1, crée en tout point de l'espace un champ électrique dont la forme est donnée par la relation exprimée ci-dessus, et une charge quelconque considérée comme "test" subira l'effet de ce champ sous la forme d'une force égale au produit de cette charge par le champ électrostatique. Dans ce cas, ce champ électrostatique apparaîtra comme la force entre deux particules ponctuelles fixes par unité de charge.

Le principe de superposition

Ressentez-vous la force du champ terrestre ? Lorsque plusieurs champs s’exercent sur un même objet, ces derniers peuvent se superposer. C'est pourquoi les forces peuvent s'additionner ou encore se soustraire au sein de ces champs superposés.

Il est possible d’appliquer le principe de superposition à un système de type entrée-sortie si :

  • La somme de deux entrées quelconque correspond à la somme des deux sorties correspondantes ;
  • Un multiple d’une entrée quelconque correspond le même multiple de la sortie correspondante.

Dans ce cas, c’est-à-dire celui d’un système physique, on peut appeler l’entrée excitation et la sortie réponse.

On obtient alors, en notant les excitations ƒ et les réponses x (donc les mouvements généré par les forces mécaniques ƒ) :

  • Lorsque l’on sollicite le système par une entrée, donc une excitation notée ƒ1, une réponse, donc un déplacement, qui sera noté x1 ;
  • Lorsque l’on sollicite le système par une entrée, donc une excitation notée ƒ2, une réponse, donc un déplacement, qui sera noté x2 .

Le champ électromagnétique et son expression

En physique, on appelle champ électromagnétique la représentation dans l'espace d'une force électromagnétique exercée par des particules chargées. Ce champ représente alors l'ensemble des composantes de la force électromagnétique qui s'appliquent à une particule chargée qui se déplace alors dans un référentiel galiléen.

On peut alors définir la force subit par une particule de charge q et de vecteur vitesse par l'expression suivante :

    \[ \overrightarrow { f } = q \left ( \overrightarrow { E } + \overrightarrow { v } \wedge \overrightarrow { B } \right) \]

avec :

    \[ \overrightarrow { E } \]

le champ électrique. Celui-ci décrit dans ce cas la partie de la force de Lorentz qui est indépendante de la vitesse de la charge

    \[ \overrightarrow { B } \]

le champ magnétique. Celui-ci décrit ainsi la partie de la force exercée sur la charge qui dépend du déplacement de cette même charge dans le référentiel choisi.

En effet la séparation de la partie magnétique et de la partie électrique de dépend que du point de vue pris selon le référentiel d'étude.

De plus, il peut être intéressant de savoir que les équations de Maxwell régissent les deux composantes couplées, c'est à dire électrique et magnétique, de sorte que toute variation d'une composante induira la variation de l'autre composante.

D'ailleurs, le comportement des champs électromagnétiques se trouve décrit de façon classique par les équations de Maxwell et de manière plus générale par l'électrodynamique quantique.

La façon la plus utilisée afin de définir le champ électromagnétique est celle du tenseur électromagnétique de la relativité restreinte.

Plans de symétrie et d'anti symétrie des charges

Comment peut-on charger une boule ? Les boules chargés peuvent avoir différentes caractéristiques. Mais rassurez-vous, avec quelques formules vous en ferez vite le tour !

Il existe plusieurs façons d'analyser les énergies créées par une boule. En voici quelques unes :

  • Champ nul au centre par symétries ;
  • A grande distance, champ radial décroissant en 1/r2 , car la boule apparaît comme ponctuelle ;
  • Symétries et invariances suffisantes pour utiliser le théorème de Gauss pour le calcul du champ électrique en tout point ;
  • Passage au potentiel :
    • par le gradient en sphériques ;
    • par la circulation du champ électrique.

Le théorème de Gauss

Le théorème de Gauss permet, en électromagnétisme, de calculer le flux d’un champ électrique à travers une surface qui est fermée et ce grâce à la connaissance des charges électriques que cette surface renferme.

Il s’énonce ainsi :

Le flux du champ électrique à travers une surface S fermée est égal à la somme des charges électriques contenues dans le volume V délimité par cette surface, divisée par la permittivité du vide.

Le champ électrostatique et l'expression de sa valeur

Il est possible de définir un champ électrostatique à partir d'un champ électrique et d'un champ magnétique. Nous vous expliquerons pourquoi dans les paragraphes suivant.

On parle de champ électrostatique lors que les charges qui constitue le champ sont au repos dans le référentiel d'étude. Ce champ est donc déduit de l'expression de la loi de Coulomb, aussi appelée interaction électrostatique.

On commence à parler de champ électrostatique lorsque, dans un référentiel d'étude, les charges sont fixes. Notons d'ailleurs que le champ électrostatique ne correspond pas au champ électrique comme décrit plus haut dans cet article puisqu'en effet, lorsque les charges sont en mouvement dans un référentiel, il faut ajouter à ce référentiel un champ électrique qui est induit par les déplacement des charges afin d'obtenir un champ électrique complet.

Mais, le champ électrique reste dans la réalité un caractère relatif puisqu'il ne peut exister indépendamment du champ magnétique. En effet, si on observe la description correcte d'un champ électromagnétique, celui-ci fait intervenir un tenseur quadridimensionnel de champ électromagnétique dont les composantes temporelles correspondent alors à celle d'un champ électrique. Seul ce tenseur possède un sens physique. Alors, dans le cas d'un changement de référentiel, il est tout à fait possible de transformer un champ magnétique en champ électrique et inversement.

Relation entre champ et potentiel électrostatiques

Le Potentiel de Yukawa

Le potentiel de Yukawa tire son nom d'un physicien japonais éponyme. Hideki Yukawa a démontré qu'un potentiel provient de l'échange d'un champ scalaire. Le potentiel de Yukawa explique que comme la particule médiatrice du champ possède une masse, sa force a une portée inversement proportionnelle à sa masse et que dans le cas d'une masse nulle, le potentiel de Yukawa devient équivalent à celui d'un potentiel coulombien et sa portée est donc infinie.

Un champ scalaire est défini par plusieurs variables contenues dans une fonction. Cette dernière associe un nombre unique à chaque point de l’espace. Ce nombre est appelé scalaire. On utilise les champs scalaires en physique car ils en expliquent de nombreux phénomènes comme la pression atmosphérique ou encore les flux thermiques et la température de l’air

Selon que le potentiel soit négatif ou positif, on peut en déduire si la force est attractive ou répulsive. Quand on a un potentiel négatif, la force est attractive et quand on a un potentiel positif, la force est répulsive.

La potentiel de Yukawa est une formule de la forme suivante :

    \[ V (r) = - g ^ {2} \frac { e ^ { -mr } } {r} \]

Les lignes de champ, surfaces équipotentielles et cartes de champ électrostatique

Les lignes de champs permettent de visualiser toutes les forces qui s'exercent sur un objet situé dans le champ. Les lignes de champs représentent tous les vecteurs champs.

Les lignes de champ sont une représentation selon laquelle on prend un point d'un champ électrostatique et on trace tous les vecteurs au départ de ce point. Les lignes de champ sont orthogonales aux équipotentielles du même champ.

Dipôle : champ et potentiel créés par un doublet, cas du dipôle, lignes de champ et surfaces équivalentes

On peut parler d'un dipôle magnétique lorsque la spire de courant correspond aux conditions de l'approximation polaire. C'est-à-dire que, pour un dipôle actif et donc créateur de champ magnétique, il est nécessaire que la dimension de la spire soit petite voire négligeable par rapport à la distance à laquelle on calcule le champ créé. On a donc r négligeable à R avec R le rayon de la spire.

Le doublet électrique

Un doublet élémentaire se trouve dans une antenne d'émission. Il se constitue d'une petite longueur de conducteur, plus petite que que la longueur d'onde. Au sein de ce doublet électrique circule un courant alternatif I que l'on calcule ainsi :

    \[ I = I _ { o } e ^ { j \omega t } \]

Les spires

Est-ce que votre voiture démarre bien ? Des spires se trouvent sûrement dans une multitude d'appareils que vous pouvez rencontrer dans votre quotidien. La voiture par exemple, dans ses bobines et solénoïdes comporte des spires.

Les spires de courant sont des phénomènes électromagnétiques. Elles interviennent dans les circuits électriques fermés et parcourus par un courant électrique.

Une façon simple d'obtenir une spire est d'alimenter par une pile électrique un fil électrique en forme de cercle.

Les spires entrent dans la composition des bobines et des solénoïdes. En effet, il suffit de les disposer côte à côte pour en créer.

Par extension, comme les électrons tournent autour du centre de l'atome on peut  parler de spire de courant.

Analogie avec la gravitation

En physique classique, on appelle champ gravitationnel, ou encore champ de gravitation, un champ qui est réparti dans l'espace et dû à la présence d'une masse qui est alors susceptible d'exercer une influence gravitationnelle sur tout les autres corps pouvant être présent à proximité immédiate ou non.

On peut démontrer que le champ gravitationnel créé en un point quelconque par un corps ponctuel dérive d'un potentiel scalaire dit newtonien.

En physique classique, le champ gravitationnel ou champ de gravitation est un champ réparti dans l'espace et dû à la présence d'une masse susceptible d'exercer une influence gravitationnelle sur tout autre corps présent à proximité (immédiate ou pas). L'introduction de cette grandeur permet de s'affranchir du problème de la médiation de l'action à distance apparaissant dans l'expression de la force de gravitation universelle.

On peut interpréter le champ gravitationnel comme étant la modification de la métrique de l'espace-temps. L'approximation newtonienne est alors valable uniquement dans le cas où les corps présentent une vitesse faible par rapport à celle de la lumière dans le vide et si le potentiel gravitationnel qu'ils créent est tel que le quotient du potentiel gravitationnel sur le carré de la vitesse de la lumière dans le vide est négligeable.

On peut approcher le champ électrique et le champ gravitationnel. En effet, l'expression du champ et du potentiel ne sont différents que d'une constante. De plus, les principaux théorèmes de calculs, celui de la superposition ou de Gauss par exemple, peuvent s'appliquer dans les deux cas. Ce qui les différencie alors est le caractère attractif, donc entre deux charges de signe opposé, ou répulsif, donc entre deux charges de même signe, du champ électrique tandis que le champ gravitationnel ne peut être qu'attractif.

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Clément

Freelancer et pilote, j'espère atteindre la sagesse en partageant le savoir que j'ai acquis lors de mes voyages au volant de ma berline. Curieux scientifique, ma soif de découverte n'a d'égale que la durée de demie-vie du bismuth 209.

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