La liste ci-dessous explicite un certain nombre d’outils transversaux dont la maîtrise est indispensable au physicien. Leur apprentissage progressif et contextualisé doit amener les étudiants au bout des deux années de CPGE à en faire usage spontanément quel que soit le contexte. S’agissant de l’analyse dimensionnelle, il convient d’éviter tout dogmatisme : en particulier la présentation de la dimension d’une grandeur par le biais de son unité dans le système international est autorisée. S’agissant de la recherche d’une expression par analyse dimensionnelle il ne s’agit en aucun cas d’en faire un exercice de style : en particulier le théorème Pi de Buckingham est hors programme.

Notions et contenus

  • Analyse de pertinence
    • Homogénéité d’une expression.
    • Caractère scalaire ou vectoriel des grandeurs physiques présentes dans une expression.
    • Caractère infinitésimal ou non infinitésimal des grandeurs physiques présentes dans une expression.
    • Sens de variation d’une expression par rapport à un paramètre.
    • Limites d’une expression pour des valeurs nulles ou infinies des paramètres.
    • Nullité d’une expression.
    • Divergence d’une expression.
  • Calcul numérique
    • Calcul numérique d’une expression.
  • Outils de communication
    • Tableaux de données numériques simples.
    • Exploitation d’une représentation graphique.
    • Schémas et figures.
  • Analyse dimensionnelle
    • Dimension d’une expression.
    • Recherche d’une expression de type monôme par analyse dimensionnelle
  • Analyse d’ordre de grandeur
    • Comparaison en ordre de grandeur des différents termes d’une équation différentielle ou d’une équation aux dérivées partielles.
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Capacités exigibles

Que faut-il savoir pour les examens finaux ?
Vous trouverez ci-dessous la liste des compétences qu'on peut vous demandez lors d'une évaluation.
  • Analyse de pertinence
    • Contrôler l’homogénéité d’une expression, notamment par référence à des expressions connues.
    • Contrôler la compatibilité d’une expression avec le caractère scalaire ou vectoriel des grandeurs mise en jeu.
    • Contrôler la compatibilité d’une expression avec le caractère infinitésimal ou non infinitésimal des grandeurs mise en jeu.
    • Interpréter qualitativement et en faire un test de pertinence.
    • Tester les limites d’une expression.
    • Interpréter qualitativement ou en faire un test de pertinence.
    • Repérer l’annulation d’une expression pour une valeur particulière d’un paramètre.
    • Interpréter qualitativement ou en faire un test de pertinence.
    • Repérer la divergence d’une expression pour une valeur particulière d’un paramètre.
    • Interpréter qualitativement ou en faire un test de pertinence.
    • Proposer éventuellement des éléments non pris en compte dans le modèle susceptibles de brider la divergence (frottements, non linéarités, etc...).
  • Calcul numérique
    • Calculer sans outil l’ordre de grandeur (puissance de dix) d’une expression simple.
    • Afficher un résultat numérique avec un nombre de chiffres significatifs cohérent avec les données et une unité correcte dans le cas d’un résultat dimensionné.
    • Commenter un résultat numérique (justification d’une approximation, comparaisons à des valeurs de référence bien choisies, etc.).
    • En faire un test de pertinence.
  • Outils de communication
    • Transformer un tableau de données numériques en représentation graphique.
    • Renseigner correctement les axes. Repérer les comportements intéressants dans le contexte donné : monotonie, extrema, branches infinies, signes.
    • Interpréter le caractère localement rectiligne selon qu’on travaille en échelles linéaire, semi- logarithmique ou log-log.
    • Transposer un texte en une figure schématisant les éléments essentiels.
    • Élaborer une courte synthèse à partir de plusieurs éléments graphiques : tableaux, schémas, courbes.
  • Analyse dimensionnelle
    • Déterminer la dimension d’une expression, notamment par référence à des expressions connues.
    • Déterminer les exposants d’une expression de type monôme E = AαBβCχ  par analyse dimensionnelle.
  • Analyse d’ordre de grandeur
    • À partir d’une mise en évidence des échelles pertinentes d’un problème, évaluer et comparer l’ordre de grandeur des différents termes d’une équation afin de la simplifier en conséquence.

L'analyse dimensionnelle

Quelle est l'unité de la masse molaire ?
En cas de doute sur l'unité du résultat d'une formule, il ne faut surtout pas hésiter à procéder à une analyse dimensionnelle.

Retrouver une unité grâce à l'analyse dimensionnelle

Si, lors d'un exercice, vous vous retrouvez face à une formule dont vous ignorez l'unité du résultat, ne paniquez pas !
Il est très simple de retrouver l'unité avec ce qu'on appelle une analyse dimensionnelle.

Une analyse dimensionnelle consiste à décomposer les grandeurs physiques mises en jeu dans une formule afin de retrouver l'unité de la grandeur cherchée.

Voici un exemple simple :

    \[ v = \frac{ \triangle d } { \triangle t } \]

En décomposant les grandeurs physique en leur unité, on obtient :

    \[ v = \frac { m } { s } \]

On peut donc en déduire que l'unité de la vitesse est le m/s, soit m.s−1

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Homogénéité et relations mathématiques

Il faut savoir, avant de procéder à une analyse dimensionnelle que :

  • Deux grandeurs de valeurs égales ont nécessairement la même dimension,
  • Les termes d'une somme ont nécessairement la même dimension,
  • La dimension d'un produit de facteur est le produit des dimensions des facteurs.

Il faut aussi procéder systématiquement à une analyse dimensionnelle des grandeurs définies par les formules car cela permet :

  • De comprendre la signification physique des termes apparaissant dans les expressions et équations littérales,
  • De détecter une erreur de calcul,
  • De déterminer l'expression approchée d'une grandeur sans résoudre exactement le problème.

Surtout, n'hésitez pas à vous prêter régulièrement à ce type d'exercice pour qu'il se fasse de la façon la plus naturelle, fluide et rapide qu'il soit lors des examens. Pratiquez chez vous et montrer le résultat à votre enseignant pour qu'il puisse vérifier ce que vous faîtes !

Les ordres de grandeur

Comment savoir si on a fait une erreur de calcul ?
Connaître quelques ordres de grandeur permet de détecter des résultats aberrants lors des exercices.

Les tableaux de conversion

Lors de vos exercices, n'hésitez surtout pas à construire sur votre brouillon un tableau de conversion afin de changer les unités tout en minimisant le risque d'erreur.

Voici le détail des multiples d'unités et préfixes utilisées :

Abréviation   u   
Préfixekilohectodécaunitédécicentimilli
En mètreskmhmdammdmcmmm

Les préfixes utilisés avec les unités

Des préfixes ont été ajoutées aux unités de base du Système International afin de pouvoir plus facilement manier de grands nombres. La plupart du temps, ces préfixes sont utilisés en lieu et place des ordres de grandeur. On parlera d’un kilo pour exprimer une grandeur d’ordre 103 ou d’un méga pour exprimer une grandeur d’ordre 106.

Nous comptons 20 préfixes aux unités de grandeur. Ces derniers sont apparus pour la plupart au cours du 20e siècle mais certains existent depuis le 18e siècle !

C’est souvent dans le domaine de l’informatique que vous entende parler de ces ordres de grandeur. En effet, si l’on parle d’ 1 examètre, on préférera utiliser l’appellation de 105,7 années lumières. Cependant, si vous utilisez des clés USB ou des disques durs, vous aurez souvent entendu parler que ces derniers ont des capacités qui se mesurent en gigabits ou encore térabits.

Comment trouver un professeur de sciences physiques ?

Yocto

Le yocto représente 10-24 fois l'unité de base, soit un quatrillionième. Il est représenté par un petit y.

Zepto

Le zepto, de symbole petit z est l'avant dernière grandeur la plus petite du Système International. Il représente un millième de milliardième de milliardième de l'unité de base, soit 10-21.

Atto

L'atto est un milliardième de milliardième. Il représente 10-18 fois l'unité de base du Système International. Il se note avec un petit a comme symbole.

Femto

De symbole petit f, le femto est le représentant de 10-15 fois l'unité du Système International. C'est donc un millionième de milliardième. Son origine est le mot femten, du danois qui signifie quinze.

Pico

Le pico représente 10-12 unités. C'est donc un billionième d'unité du Système International. Cette appellation provient de l'italien piccolo qui signifie petit. Son symbole est le petit p.

Nano

Cette unité, crée en 1960, tire son origine du mot nain en grec, nanos. Elle représente 10-9 unités du Système International, soit un milliardième d'unité. Il est représenté par un petit n en guise de symbole.

Micro

Le préfixe micro représente un millionième d'unité du Système International, soit 10-6. Il est représenté par la lettre µ, mu, en grec. Son nom provient du mot microscopique, qui signifie un élément tellement petit qu'on ne peut le voir qu'au microscope.

Milli

Le préfixe milli représente 10-3 unités du Système International, soit un millième. Il est représenté par un petit m.

Centi

Le centi représente un centième d'unité, soit 10-2. C'est donc un centième qui se note avec un petit c.

Déci

Le déci, de symbole petit d, est l'unité qui représente un dixième de l'unité de base du Système International. C'est donc 10-1 fois cette unité.

L'unité de base

Entre le déci est le déca se trouve l'unité de base du Système International. Cette dernière est égale aux nombres compris entre 0 et 10. Elle se note en ordre de grandeur 100, ce qui est égal à 1.

Déca

Le préfixe déca, de symbole da est à ne pas confondre avec le déci. Il représente bien 101, soit une dizaine de l'unité de base du Système International et non pas 10-1.

Hecto

Le préfixe hecto sert à désigner une unité de l'ordre de grandeur 102. Il représente donc une centaine de l'unité de base du Système International. Cette unité est peu couramment utilisée au quotidien. C'est dans le domaine de l'agroalimentaire qu'elle prend tout son sens. Son symbole est un petit h.

Kilo

Le kilo est l'unité qui représente le millier. D'ordre de grandeur 102, c'est l'une des plus utilisée dans notre vie quotidienne. Elle se note avec le symbole k et représente un millier d'unités de base.

Méga

L'unité définie par le méga se note avec un grand M et représente un million d'unités de base du Système International, c'est donc 106.

Giga

Le giga est un préfixe utilisé fréquemment en informatique. Il représente 109, c'est à dire un milliard d'unités du Système international. Son symbole est un grand G.

Péta

Le suffixe péta est là pour représenter un billiard, ou million de milliards de l'unité de base. C'est donc un nombre d'ordre de grandeur 1015. Il se note avec un grand P en guise de symbole.

Exa

L'exa représente un trillion de l'unité de base du Système International, soit un milliard de milliards. Son ordre de grandeur est 1018. Il est exprimé par le symbole d'une grande lettre E.

Zetta

Le zetta, est l'expression de 1021 unités de base du Système International. C'est donc un billion de billiards, aussi appelé trilliard. C'est une grandeur extrêmement grande et elle est l'avant dernière plus grande qui existe. Elle se note avec un grand Z.

Yotta

Le yotta est l'unité la plus grande qui existe au monde, elle représente un quadrillion, ou un billiard de milliars, soit 1024 unités de base. Cela signifie qu'un yotta est égal à un 1 suivi de vingt-quatre 0 ! Il se note avec un grand Y.

Ne pas oublier les conventions d'écriture

Par convention, les noms d'unités sont des noms communs on les écrit alors en minuscules : par exemple, on écrit « kelvin » et non « Kelvin », « ampère » et non « Ampère ».

Pourtant, ces unités ont pour origine les noms propres des savants qui les ont inventées. De plus, puisque ces unités sont des noms communs, il peuvent prendre la marque du pluriel, (par exemple, on écrit un volt mais aussi deux volts).

Cependant, les symbole prennent une majuscule (sauf convention contraire) si le nom de ces unités dérivent du nom d'une personne.

Par exemple, on écrit "V" pour volt, provenant d'Alessandro Volta, "A" pour ampère provenant d'André-Marie Ampère et "Pa" pour pascal provenant de Blaise Pascal. Si le symbole ne dérive pas d'un nom propre, le symbole commence par une minuscule. C'est le cas des mètres qui s'écrit "m" mais aussi pour la mole qui s'écrit "mol".

Cependant, il peut exister quelques exceptions adoptées lors des conférences générales des poids et mesures. Ces exceptions ont été adoptées pour éviter toute confusion, c'est le cas du litre qui se symbolisme par "L". Il en a été décidé ainsi pour éviter tout confusion avec la lettre "l" et le chiffre "1".

L'unité du degré Celsius n'est pas une exception. Il ne faut pas oublier que son écriture correcte est le "degré Celsius" qui se symbolise par "°C". Les caractères ° et C sont indissociables puisque l'unité commence par le degré et que Celsius est un qualificatif. En effet, il existe différents degrés différents comme le degré Fahrenheit.

Remarque

Il existe des grandeurs qui ne s'expriment pas avec une unité, c'est notamment le cas de :

  • La densité,
  • L'indice de réfraction,
  • Le pH,
  • L'absorbance,
  • La transmittance,
  • Le déplacement chimique.

Grandeurs du système international et usuelles

L'ensemble des unités associées aux dimensions fondamentales constitue le système international d'unités. Il s'agit du système MksA (mètre, kilogramme, seconde, Ampère), mais le Kelvin, le mole et le candela font aussi partie de ce système. Ces unités sont appelées unités légales. Elles sont universelles et connues de par le monde entier.

Il est important de savoir que toutes les autres dimensions se déduisent de ces sept dimensions fondamentales par produit ou division de ces dimensions.

Dans certains sujets d'exercices, les grandeurs ne sont pas exprimées dans le système international mais avec des grandeurs usuelles. Il est facile de les comprendre et elles sont parfois utilisées dans la vie de tous les jours, mais il est essentiel de toujours effectuer les calculs avec les grandeurs exprimées dans l'unité internationale pour éviter les erreurs.

Par exemple, la pression est souvent exprimée en Bar. Or, dans le système international, la pression s'exprime en Pascal !

Puissance de dix et écriture scientifique

Définition

L'écriture scientifique est une technique utilisée pour représenter les nombre décimaux en les exprimant d'une certaine façon. L'écriture scientifique est de la forme a x 10n. Dans cette écriture, le nombre a est un nombre décimal compris entre 1 et 10 exclu. Ce nombre est appelé mantisse. Le petit n est un entier relatif que l'on appelle l'exposant. Le chiffre avant la virgule est donc unique et non nul. Il est parfois suivi de décimales, d'autant que la précision sera élevée. Astuce : Le nombre 0 ne peut-être représenté avec la notation scientifique. La notation scientifique peut aussi aider les opérations car on peut facilement multiplier les mantisses ou additionner les exposants. Une autre notation peut aussi se retrouver, notamment dans les calculatrices scientifiques ou sur les ordinateurs. La lettre e comme exposant remplace le 10n. Par exemple 4e−3 = 4 × 10−3 = 0,004.

Utilité

Il arrive régulièrement d'avoir recours à la notation scientifique quand on veut encadrer les valeurs utilisées avec une marge d'erreur. On utilise alors les chiffres significatifs. Par exemple, 1,2350 × 10signifie que la valeur est comprise entre 1 234 950 et 1 236 050.

Ordres de grandeurs

Comment font les astronomes pour calculer la distance entre la Terre et un autre astre ?
Connaissez-vous la distance entre la Lune et la Terre ?

Grâce à l'écriture scientifique, on peut facilement déterminer l'ordre de grandeur d'un nombre. L'ordre de grandeur est donc de l'exposant lorsque la mantisse est inférieure à 5 ou l'exposant +1 quand la mantisse est supérieure ou égale à 5. Les ordres de grandeur sont des puissances de 10 qui servent à exprimer des nombres très grands. Ils sont donc là pour aider à représenter une grandeur avec un nombre simple qui relève d'une approximation.

Il représente la puissance de 10 la plus proche du nombre exact. Dans le cadre où une grandeur sera multipliée par 10, il conviendra de dire qu'elle a augmenté d'une grandeur. L'utilisation des ordres de grandeur facilite aussi les comparaisons entre différents éléments tels que des planètes ou encore des rayons d'atomes. Elle permet aussi de savoir quel type d'appareil de mesure choisir pour réaliser des expériences.

L'ordre de grandeur vous permettra aussi de vérifier la cohérence de vos calculs. L'ordre de grandeur de la distance Terre-Lune est de 108m, car la distance Terre-Lune est de 384 000 km. L'ordre de grandeur d'une molécule d'eau est de 10-10m, car sa taille est de 0.4 nm. Des préfixes ont été ajoutées aux unités de base du Système International afin de pouvoir plus facilement manier de grands nombres. La plupart du temps, ces préfixes sont utilisés en lieu et place des ordres de grandeur.

On parlera d'un kilo pour exprimer une grandeur d'ordre 103 ou d'un méga pour exprimer une grandeur d'ordre 106. Nous comptons 20 préfixes aux unités de grandeur. Ces derniers sont apparus pour la plupart au cours du 20e siècle mais certains existent depuis le 18e siècle !

C'est souvent dans le domaine de l'informatique que vous entende parler de ces ordres de grandeur. En effet, si l'on parle d' 1 examètre, on préférera utiliser l'appellation de 105,7 années lumières. Cependant, si vous utilisez des clés USB ou des disques durs, vous aurez souvent entendu parler que ces derniers ont des capacités qui se mesurent en gigabits ou encore térabits.

Le système international d’unités, abrégé en SI, est le système décimal des unités de mesures le plus utilisé au monde. L’ensemble des unités associées aux dimensions fondamentales constitue le système international d’unités. Il s’agit du système MksA (mètre, kilogramme, seconde, Ampère), mais le Kelvin, le mole et le candela font aussi partie de ce système. Ces unités sont appelées unités légales. Elles sont universelles et connues de par le monde entier. Vous pouvez consulter notre article sur les unités de mesures pour en savoir plus.

Exemples

  • Au lycée, l'écriture scientifique de 0,0015 est 1,5 . 10 -3.
  • L'écriture scientifique de 15390,5 est 1,53905 . 10 4.
  • L'écriture scientifique de 0,004 s’écrit 4 × 10−3.

Voici un tableau qui vous donnera quelques autres exemples de puissances de dix :

Ecriture décimaleEcriture scientifique
4216
10410 000
10-50,00 001
1,45 x 10-20,0 145
2,97 x 1020297 000 000 000 000 000 000
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Joy

Freelancer et étudiante en Sciences de la Vie et de la Terre, je suis un peu une grande sœur qui épaule et aide les autres pour observer et comprendre le monde qui nous entoure et ses curieux secrets !