Quels sont les principales notions à connaître lorsque l'on étudie l'électromagnétisme ?

A savoir avant d'aller plus loin

Le bloc 5 étudie l’électromagnétisme en régime variable, principalement dans l’ARQS magnétique afin d’établir le lien avec le cours sur l’induction de première année.

Quelles sont les notions au programme ? La notion de champ électromoteur est hors programme, la fem induite est calculée avec la loi de Faraday. Cette partie prépare également le cours sur la conversion de puissance en abordant les courants de Foucault et l’énergie magnétique.

Champ électrique

En physique, on appelle champ électrique tout champ vectoriel créé par des particules électriquement chargées. Plus exactement, lorsque nous sommes en présence d'une particule chargée, les propriétés locales de l'espace défini sont alors modifiées ce qui permet de définir la notion de champ.

En effet, si une autre charge se trouve être dans ledit champ, elle subira ce qu'on appelle l'action de la force électrique qui est exercée par la particule malgré la distance. On dit alors du champ électrique qu'il est le médiateur de ladite action à distance. Si on se veut plus précis, on peut définir dans un référentiel galiléen défini, une charge q définie de vecteur vitesse v qui subit de la part des autres charges présentes, qu'elles soient fixes ou mobiles, une force qu'on définira de force de Lorentz.

Cette force se décompose ainsi :

    \[ \overrightarrow { f } = q \left ( \overrightarrow { E } + \overrightarrow { v } \wedge \overrightarrow { B } \right) \]

Avec :

  •     \[ \overrightarrow { E } \]

    le champ électrique. Celui-ci décrit dans ce cas la partie de la force de Lorentz qui est indépendante de la vitesse de la charge

  •     \[ \overrightarrow { B } \]

    le champ magnétique. Celui-ci décrit ainsi la partie de la force exercée sur la charge qui dépend du déplacement de cette même charge dans le référentiel choisi.

De plus, il est important de noter que les deux champs, électrique et magnétique, dépendent du référentiel d'étude. Avec cette formule, on peut alors définir le champ électrique comme étant le champ traduisant l'action à distance subie par une charge électrique fixe dans un référentiel défini de la part de toutes les autres charges, qu'elles soient mobiles ou fixes. Mais on peut également définir le champ électrique comme étant toute région de l'espace dans laquelle une charge est soumise à une force dite de Coulomb.

On commence à parler de champ électrostatique lorsque, dans un référentiel d'étude, les charges sont fixes. Notons d'ailleurs que le champ électrostatique ne correspond pas au champ électrique comme décrit plus haut dans cet article puisqu'en effet, lorsque les charges sont en mouvement dans un référentiel, il faut ajouter à ce référentiel un champ électrique qui est induit par les déplacements des charges afin d'obtenir un champ électrique complet.

Mais, le champ électrique reste dans la réalité un caractère relatif puisqu'il ne peut exister indépendamment du champ magnétique. En effet, si on observe la description correcte d'un champ électromagnétique, celui-ci fait intervenir un tenseur quadridimensionnel de champ électromagnétique dont les composantes temporelles correspondent alors à celle d'un champ électrique. Seul ce tenseur possède un sens physique. Alors, dans le cas d'un changement de référentiel, il est tout à fait possible de transformer un champ magnétique en champ électrique et inversement.

Le champ électrique est donc une composante à part entière du champ électrostatique, mais aussi du champ électromagnétique !

Le champ électromagnétique

Comment reconnaître un champ électromagnétique ? Notre planète possède son propre champ électrique.

En physique, on appelle champ électromagnétique la représentation dans l'espace d'une force électromagnétique exercée par des particules chargées. Ce champ représente alors l'ensemble des composantes de la force électromagnétique qui s'appliquent à une particule chargée qui se déplace alors dans un référentiel galiléen. On peut alors définir la force subit par une particule de charge q et de vecteur vitesse par l'expression suivante :

    \[ \overrightarrow { f } = q \left ( \overrightarrow { E } + \overrightarrow { v } \wedge \overrightarrow { B } \right) \]

Avec :

    \[ \overrightarrow { E } \]

le champ électrique.

Celui-ci décrit dans ce cas la partie de la force de Lorentz qui est indépendante de la vitesse de la charge

    \[ \overrightarrow { B } \]

le champ magnétique. Celui-ci décrit ainsi la partie de la force exercée sur la charge qui dépend du déplacement de cette même charge dans le référentiel choisi. En effet la séparation de la partie magnétique et de la partie électrique de dépend que du point de vue pris selon le référentiel d'étude.

De plus, il peut être intéressant de savoir que les équations de Maxwell régissent les deux composantes couplées, c'est à dire électrique et magnétique, de sorte que toute variation d'une composante induira la variation de l'autre composante. D'ailleurs, le comportement des champs électromagnétiques se trouve décrit de façon classique par les équations de Maxwell et de manière plus générale par l'électrodynamique quantique. La façon la plus utilisée afin de définir le champ électromagnétique est celle du tenseur électromagnétique de la relativité restreinte.

Équations de Maxwell-Gauss

James Clerk Maxwell est un physicien d’origine écossaise. Toute sa vie il a travaillé sur les champs électriques et magnétiques et il a également contribué à l’élaboration de nombreuses lois physiques dans son domaine. Il est considéré comme l’un des scientifiques les plus influents du IXXème siècle.

Les équations de Maxwell-Gauss, aussi connues sous le noms d’équations de Maxwell-Lorenz sont des équations fondamentales de la physique. En effet, ces sont elles qui régissent l’électromagnétisme. Elles tiennent leur nom du physicien James Clerk Maxwell d’origine écossaise. Toute sa vie il a travaillé sur les champs électriques et magnétiques et il a également contribué à l’élaboration de nombreuses lois physiques dans son domaine. Il est considéré comme l’un des scientifiques les plus influents du IXXèmesiècle. Elle réunit sous la forme d’équations intégrales des lois déjà connues telles que celles de théorèmes de Gauss, Ampère et Faraday. Les équation de Maxwell sont essentielles puisqu’elles démontrent qu’en régime stationnaire, les champs électrique et magnétiques sont indépendants l’un de l’autre, ce qui n’est pas nécessairement le cas lorsque l’on se trouve en régime variable. En effet, dans le cas le plus général, il faut alors parler du champ électromagnétique puisque la séparation entre l’électrique et le magnétique n’est qu’un aspect visualisé par l’Homme.

Comment s'améliorer en mathématiques ? Attention, il peut vous être exigé de connaître certaines formules mathématiques.

Le champ électrostatique

On parle de champ électrostatique lors que les charges qui constitue le champ sont au repos dans le référentiel d'étude. Ce champ est donc déduit de l'expression de la loi de Coulomb, aussi appelée interaction électrostatique.

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Notion maîtresse

Electromagnétisme dans l’ARQS

Sous-notions exigibles

  • Courants de déplacement.
  • ARQS magnétique.
  • Induction.
  • Courants de Foucault.
  • Energie magnétique.
  • Densité volumique d'énergie magnétique.
  • Couplage partiel, couplage parfait.

Capacités exigibles

  • Vérifier que le terme de courant de déplacement permet d’assurer la compatibilité des équations de Maxwell avec la conservation de la charge.
  • Simplifier les équations de Maxwell et l’équation de conservation de la charge dans l’ARQS en admettant que les courants de déplacement sont négligeables.
  • Étendre le domaine de validité des expressions des champs magnétiques obtenues en régime stationnaire.
  • Relier la circulation de E à la dérivée temporelle du flux magnétique, faire qualitativement le lien avec la loi de Faraday vue en première année.
  • Dans le cas d’un conducteur cylindrique soumis à un champ magnétique parallèle à son axe, uniforme et oscillant, décrire la géométrie des courants de Foucault, exprimer la puissance dissipée par effet Joule en négligeant le champ propre.
  • Expliquer l’influence du feuilletage.
  • Exprimer l’énergie magnétique d’une bobine seule ou de deux bobines couplées en fonction des coefficients d’inductance et des intensités.
  • Citer l’expression de la densité volumique d’énergie magnétique. La retrouver dans le cas de la bobine dont on néglige les effets de bord à partir de la relation E = 1/2 LI2.
  • Exploiter la continuité temporelle du flux magnétique. Dans le cas de deux bobines couplées, établir l’inégalité M2 ≤ L1L2 .

ARQS “Magnétique”

Propagation du champ électromagnétique dans le vide

Équation de propagation

Les champs électrique et magnétique vérifient l’équation de d’Alembert.

Vitesse de propagation

La vitesse de propagation du champ électromagnétique dans le vide s’identifie avec la vitesse de la lumière dans le vide.

En quoi consiste l’approximation ?

L'ARQS consiste à négliger la propagation des champs électromagnétiques, plus précisément à négliger le retard de propagation entre la source et le point d’observation. En régime sinusoïdal, le retard de propagation doit être très inférieur à la période de variation (temporelle) des sources. L’approximation revient à ce que la distance source - point d’observation soit très inférieure à la longueur d'onde. En régime quelconque, la condition devient : retard de propagation c’est à dire dimension de l'espace d'étude divisée par c, négligeable devant le temps caractéristique de variation des sources. Lien avec l’ARQS de l’électrocinétique

Simplification des équations de maxwell

L’ARQS consiste à faire un développement à l’ordre 1 en 1/c ce qui permet de supprimer le terme en 1/c2 de l’équation de Maxwell-Ampère. Les deux champs électrique et magnétique existent et sont encore couplés. Mais la détermination du champ magnétique à partir des courants est identique au cas de la magnétostatique car l'approximation revient à négliger le terme de courant de déplacement. Attention : le champ électrique ne se calcule pas comme le champ électrostatique : les variations temporelles de champ magnétique sont sources de champ électrique : phénomène d'induction.

Simplification de l’équation de conservation de la charge

L’équation est similaire à celle du régime stationnaire. Le vecteur densité de courant est à flux conservatif donc le courant est identique en tout point d'un fil.

Propriété de symétrie

Invariance des courants

  • Par translation
  • Par rotation
  • Symétrie cylindrique

Pour ce qui concerne la symétrie, les résultats sont les mêmes en électrostatique et en magnétostatique !

Plans de symétrie ou d’antisymétrie des courants

  • En tout point d'un plan de symétrie des courants, le champ magnétostatique est orthogonal à ce plan.

  • En tout point d'un plan d' antisymétrie des courants, le champ électrostatique est contenu dans ce plan.

Un plan est un plan de symétrie des sources du champ si elles restent inchangées lorsqu'on effectue la la symétrie par rapport à ce plan. Un plan est un plan d' antisymétrie des sources du champ si elles sont inversées (changement de signe pour les charges, de sens pour les courants) lorsqu'on effectue la symétrie par rapport à ce plan. En tout point d'un plan de symétrie des sources, le champ électrique est contenu dans ce plan et le champ magnétique est orthogonal à ce plan. En tout point d'un plan d' antisymétrie des sources, le champ magnétique est contenu dans ce plan et le champ électrique est orthogonal à ce plan.

Propriétés topographiques

  • Les lignes de champ magnétostatique sont fermées. Elles enlacent des courants et leur orientation est donnée par la règle du tire-bouchon.

  • Conséquence de la conservation du flux : la norme de B augmente là où les lignes de champ se resserrent et les lignes de champ ne peuvent ni converger en un point, ni diverger d'un point.

Conservation de la charge

  • Équation locale de conservation de la charge
    • Démonstration pour une géométrie cartésienne unidimensionnelle
    • Généralisation (admise)
  • Conséquences en régime stationnaire
    • Le vecteur densité de courant est à flux conservatif donc le courant est identique en tout point d'un fil.

    • On peut définir l'intensité à travers un contour.
    • Loi des nœuds

Cette loi se définit ainsi : La somme des intensités des courants qui entrent par un nœud est égale à la somme des intensités des courants qui sortent de ce même nœud. Cette loi a été définie grâce à la conservation de la charge électrique tout en tenant compte du fait qu'en régime stationnaire. En effet, dans ce cas, les charges ne peuvent pas s'accumuler à un endroit quelconque du circuit. Les charges arrivant à ce nœud compensent donc celles qui quittent le nœud. Ainsi, cette loi permet la résolution de ce qu'on appelle "équation électrique" grâce à la méthode des nœuds.

Moment magnétique (PCSI)

Champ magnétostatique créé par un dipôle

  • Expressions fournies

  • Analogie avec le champ créé par un dipôle électrostatique

Dipôle magnétique dans un champ magnétique extérieur

  • Actions subies, énergie potentielle d’un dipôle magnétique passif (expressions fournies).

  • On note l’analogie avec les expressions obtenues pour le dipôle électrostatique d’où les mêmes conséquences sur l’évolution du dipôle.

  • Un dipôle magnétique tend à aligner son moment dipolaire avec la ligne de champ magnétostatique et à se déplacer vers les zones de champ intense.

Moments dipolaires dans la matière

Moment magnétique de l’atome d’hydrogène

  • modèle : spire de courant

  • calcul du moment magnétique

  • rapport gyromagnétique

Calculer un champ magnétique

Méthode 1 : Théorème de superposition.

  • Décomposer la distribution de courant en quelques distributions simples,
  • Pour chaque distribution, calculer le champ magnétique au point M considéré en utilisant éventuellement les méthodes qui suivent,
  • Additionner les champs en indiquant qu'il s'agit du théorème de superposition.

Attention :

  • Les champs s'ajoutent en un même point M de l'espace,
  • Il s'agit d'une somme vectorielle.

Rappel : somme vectorielle

Méthode 1 :

Utiliser la relation de Chasles en utilisant une notation intrinsèque pour les champs.

Méthode 2 :
  • Déterminer la direction du champ total au point M :
    • Méthode 1 : associer deux par deux des champs symétriques,
    • Méthode 2 : trouver un plan de symétrie ou deux plans d'antisymétrie de la distribution de courants passant par M.
  • Projeter les champs à additionner dans cette direction,
  • Sommer ces différentes projections :
    • Méthode 3 : Faire la somme des composantes dans une base orthonormée bien choisie,
    • Méthode 4 : Somme graphique.

Méthode 2 : Théorème d'Ampère

  • Déterminer l'allure du spectre dans tous l'espace d'étude :
  • Déterminer la direction du champ en un point M quelconque de l'espace :
    • Méthode 1 : associer deux par deux des champs élémentaires symétriques,
    • Méthode 2 : trouver un plan de symétrie ou deux plans d'antisymétrie de la distribution de courants, passant par M.
  • Déterminer les variables dont dépend la norme du champ dans l'espace, en évoquant des arguments d'invariance par translation ou rotation du problème vu par l'observateur,
  • Choisir un contour d'Ampère passant par le point où on cherche le champ : Pour simplifier le calcul de la circulation, le contour doit suivre les lignes de champ ou les couper orthogonalement,
  • Appliquer le théorème d'Ampère.

Méthode 3 : Calcul par intégrale

Pour avoir une méthodologie complète, je vous invite à vous diriger vers notre cours "Calcul d’Intégrales Multiples Vectorielles ou Scalaires".

Méthode 4 - Astuces

Pour une distribution de courant de type solénoïde infini, il faut admettre que le champ à l'extérieur du solénoïde est nul , puis utiliser le théorème d'Ampère.

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Joy

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