Quelles sont les formules à connaître pour passer sa prépa PSI sereinement ?

Introduction

Les outils mathématiques dont la maîtrise est nécessaire à la mise en œuvre du programme de physique PSI sont d’une part ceux qui figurent dans l’appendice 2 du programme de PCSI et d’autre part ceux qui figurent dans la liste ci-dessous. Le thème « analyse vectorielle » prolonge l’étude de l’outil « gradient » abordée en PCSI en introduisant de nouveaux opérateurs : seules leurs expressions en coordonnées cartésiennes sont exigibles. Toutes les autres formules utiles (expressions en coordonnées cylindriques ou sphériques, actions sur des produits, combinaisons d’opérateurs, etc.) doivent être fournies. Le thème « analyse de Fourier » prolonge l’étude de l’outil « séries de Fourier » abordée en PCSI en admettant la décomposition d’une fonction non périodique du temps en une somme continue de fonctions sinusoïdales. De même qu’en PCSI où le calcul des coefficients d’un développement en série de Fourier est exclu, on ne cherche pas, en PSI, à expliciter le poids relatif et les déphasages relatifs des différentes composantes de Fourier, de telle sorte que la transformée de Fourier n’est pas exigible. On insiste en revanche sur la relation liant en ordre de grandeur la largeur spectrale ∆f et la durée caractéristique ∆t d’un signal non périodique. Dans le thème « équations aux dérivées partielles », aucune méthode générale d’étude n’est exigible : on se limite à chercher des solutions d’une forme donnée par substitution, menant ainsi soit à des équations différentielles classiques, soit à une relation de dispersion.

Comment s'améliorer en calcul mental ? En classe préparatoire, il est très important de maîtriser les différents outils mathématiques qui vous seront proposés et enseignés, mais il est également très important de savoir s'affranchir de la calculatrice afin d'approximer certains résultats et donc d'être plus rapide dans les différentes épreuves où les mathématiques sont nécessaires.

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Notion 1

Le calcul différentiel

Un nombre dérivé est défini géométriquement comme correspondant à la pente de la tangente à la courbe qui représente la fonction que l'on dérive.Analytiquement, on peut alors le définir comme représentant la limite du taux de variation de la fonction lorsque l'intervalle de variation tend vers zéro. Le calcul différentiel correspond donc au calcul des nombres dérivés.

Sous-notions associées

  • Fonctions de plusieurs variables à valeurs réelles.
  • Dérivées partielles.
    • En mathématique, on appelle dérivée partielle d'une fonction de plusieurs la dérivée de cette fonction par rapport à l'une de ses variables puisque les autres sont gardées constantes. Cet outils est la base de l'analyse en dimension, de la géométrie différentielle et de l'analyse vectorielle, d'où l'importance de le maîtriser.
  • Différentielle.
    • En analyse fonctionnelle et vectorielle, la partie linéaire de l'accroissement entre a et a+h d'une fonction en un point a lorsque h tend vers 0 est appelé différentielle d'ordre 1 ou encore dérivée de cette fonction au point a.
  • Théorème de Schwarz.
    • Le théorème de Schwarz, de Clairaut ou de Young correspond à un théorème d'analyse portant sur les dérivées partielles secondes d'une fonction de plusieurs variables. Il apparaîtra pour la première fois en 1861 dans un cours de calcul différentiel donné par Weierstrass auquel assistait alors Hermann Schwarz à Berlin
  • Intégration de l’expression d’une dérivée partielle.

Capacités exigibles

  • Relier la différentielle et les dérivées partielles premières.
  • Utiliser le théorème de Schwarz (admis).
  • Intégrer une expression de la forme ∂f/∂x = g(x,y) à y fixé en introduisant une fonction φ(y) inconnue comme « constante d’intégration ».

A quoi sert le théorème de Thalès ? Vous vous êtes toujours dit que les mathématiques que vous appreniez à l'école ne vous servaient à rien ? Détrompez-vous, lorsque vous découvrirez votre travail, vous pourriez être surpris de l'utilité extrême des mathématiques.

Notion 2

Analyse vectorielle

L'analyse vectorielle correspond à une branche des mathématiques qui permet l'étude des champs de scalaires et de vecteurs lorsqu'ils sont suffisamment réguliers des espaces euclidiens. En clair, cela signifie que cet outil mathématique permet l'étude des applications différentiables d'un ouvert d'un espace euclidien E à valeurs respectivement dans R et dans E. Pour un mathématicien, l'analyse vectorielle correspond également à une branche de la géométrie différentielle ce qui signifie que l'analyse tensorielle y est inclut et permet alors l'apport d'outils plus intéressant et puissant avec un analyse plus concise des champs de vecteurs.

Sous-notions associées

  • gradient
    • Un gradient correspond à une généralisation multi-variable de la dérivée d'une fonction ne présentant qu'une seule variable. Il s'agit alors de la variation en trois dimensions d'une fonction à valeur vectorielle.
  • divergence
    • En géométrie, on appelle divergence d'un champ de vecteur un opérateur différentielle permettant de mesurer le défaut de conservation d'un volume sous l'action d'un flot de ce champ.
  • rotationnel
    • On appelle opérateur rotationnel un opérateur différentiel aux dérivées partielles qui fera correspondre un champ à un champ vectoriel tridimensionnel.
  • laplacien d’un champ scalaire
  • laplacien d’un champ de vecteurs
  • cas des champs proportionnels à exp(iωt- ik.r) ou exp(ik.r-iωt)

Capacités exigibles

  • Relier le gradient à la différentielle d’un champ scalaire à t fixé. Exprimer les composantes du gradient en coordonnées cartésiennes.
  • Citer et utiliser le théorème d’Ostrogradski. Exprimer la divergence en coordonnées cartésiennes.
  • Citer et utiliser le théorème de Stokes. Exprimer le rotationnel en coordonnées cartésiennes.
  • Définir ∆f = div (grad f). Exprimer le laplacien en coordonnées cartésiennes.
  • Exprimer le laplacien d’un champ de vecteurs en coordonnées cartésiennes.
  • Exprimer l’action des opérateurs d’analyse vectorielle sur un tel champ à l’aide du vecteur ik.

Comment retenir facilement une formule ? Il est impensable de faire l'impasse sur les mathématiques pour les concours de fin d'année. En effet, nombreuses sont les matières qui dépendent directement des mathématiques pour leur fonctionnement, notamment la physique-chimie et la science et vie de la Terre. C'est pour cela qu'il est essentiel d'apprendre et de vous exercer régulièrement. Surtout, n'hésitez pas à poser des question à votre professeur si vous ressentez des difficultés.

Notion 3

Analyse de Fourier

Les séries de Fourier servent essentiellement à décomposer une fonction périodique en une somme dite infinie de fonctions trigonométriques de fréquences en sachant que chacune de ces fréquences correspond à un multiple d'une fréquence fondamentale définie. De ce fait, lors d'une analyse de Fourier, on débute d'abord par l'analyse de ce qu'on appelle le contenu en fréquences, aussi appelé spectre de la fonction.

Sous-notions associées

  • Synthèse spectrale d’une fonction périodique.
  • Synthèse spectrale d’une fonction non périodique.

Capacités exigibles

  • Utiliser un développement en série de Fourier fourni.
  • Utiliser un raisonnement par superposition.
  • Citer et utiliser la relation liant en ordre de grandeur la largeur spectrale ∆f et la durée caractéristique ∆t d’un signal non périodique.

Notion 4

Équations aux dérivées partielles

En mathématiques, mais surtout en calcul différentiel, on appelle équation aux dérivées partielles une équation correspondant à une équation différentielle dont les solutions correspondent aux fonctions inconnues dépendant de plusieurs variables capables de vérifier certaines conditions concernant leurs dérivées partielles.

Sous-notions associées

  • Exemples    d’équations    aux    dérivées    partielles :
    • équation de Laplace,
    • équation de diffusion,
    • équation de d’Alembert.

Capacités exigibles

  • Identifier une équation aux dérivées partielles connue. Transposer une solution familière dans un domaine de la physique à un autre domaine.
  • Obtenir des solutions de forme donnée par substitution.
  • Utiliser des conditions initiales et des conditions aux limites.

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Claudine75
Claudine75
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18 Mai.

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