Les différentes formules à savoir en physique

Les outils mathématiques dont la maitrise est nécessaire à la mise en œuvre du programme de physique PSI sont d’une part ceux qui figurent dans l’appendice 2 du programme de PCSI et d’autre part ceux qui figurent dans la liste ci-dessous. Le thème « analyse vectorielle » prolonge l’étude de l’outil « gradient » abordée en PCSI en introduisant de nouveaux opérateurs : seules leurs expressions en coordonnées cartésiennes sont exigibles. Toutes les autres formules utiles (expressions en coordonnées cylindriques ou sphériques, actions sur des produits, combinaisons d’opérateurs, etc.) doivent être fournies. Le thème « analyse de Fourier » prolonge l’étude de l’outil « séries de Fourier » abordée en PCSI en admettant la décomposition d’une fonction non périodique du temps en une somme continue de fonctions sinusoïdales. De même qu’en PCSI où le calcul des coefficients d’un développement en série de Fourier est exclu, on ne cherche pas, en PSI, à expliciter le poids relatif et les déphasages relatifs des différentes composantes de Fourier, de telle sorte que la transformée de Fourier n’est pas exigible. On insiste en revanche sur la relation liant en ordre de grandeur la largeur spectrale ∆f et la durée caractéristique ∆t d’un signal non périodique. Dans le thème « équations aux dérivées partielles », aucune méthode générale d’étude n’est exigible : on se limite à chercher des solutions d’une forme donnée par substitution, menant ainsi soit à des équations différentielles classiques, soit à une relation de dispersion.

Notions et contenusCapacités exigibles
1. Calcul différentiel
Fonctions de plusieurs variables à valeurs réelles. Dérivées partielles. Différentielle. Théorème de Schwarz. Intégration de l’expression d’une dérivée partielle.Relier la différentielle et les dérivées partielles premières. Utiliser le théorème de Schwarz (admis). Intégrer une expression de la forme ∂f/∂x = g(x,y) à y fixé en introduisant une fonction φ(y) inconnue comme « constante d’intégration ».
2. Analyse vectorielle
a) gradient   b) divergence   c) rotationnel   d) laplacien d’unchamp scalaire   e) laplacien d’unchamp de vecteurs f) cas des champs proportionnels à exp(iωt- ik.r) ou exp(ik.r-iωt)Relier le gradient à la différentielle d’un champ scalaire à t fixé. Exprimer les composantes du gradient en coordonnées cartésiennes. Citer et utiliser le théorème d’Ostrogradski. Exprimer la divergence en coordonnées cartésiennes. Citer et utiliser le théorème de Stokes. Exprimer le rotationnel en coordonnées cartésiennes. Définir ∆f = div (grad f). Exprimer le laplacien en coordonnées cartésiennes. Exprimer le laplacien d’un champ de vecteurs en coordonnées cartésiennes. Exprimer l’action des opérateurs d’analyse vectorielle sur un tel champ à l’aide du vecteur ik.
2. Analyse de Fourier
Synthèse spectrale d’une fonction périodique.Utiliser un développement en série de Fourier fourni. Utiliser un raisonnement par superposition.
Synthèse spectrale d’une fonction non périodique.Utiliser un raisonnement par superposition. Citer et utiliser la relation liant en ordre de grandeur la largeur spectrale ∆f et la durée caractéristique ∆t d’un signal non périodique.
3. Equations aux dérivées partielles
Exemples    d’équations    aux    dérivées    partielles : équation de Laplace, équation de diffusion, équation de d’Alembert.Identifier une équation aux dérivées partielles connue. Transposer une solution familière dans un domaine de la physique à un autre domaine. Obtenir des solutions de forme donnée par substitution. Utiliser des conditions initiales et des conditions aux limites.

                                               

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Joy

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