Phénomène de transport en physique

Le bloc 4 étudie le transport de masse dans les fluides en écoulement. Son objectif est d’introduire les grandeurs pertinentes caractérisant un écoulement, en cohérence avec les autres phénomènes de transport. Il ne s’agit pas ici d’établir les équations d’Euler ou de Navier-Stokes, en particulier, l'expression de l'accélération comme la dérivée particulaire de la vitesse est hors programme. La notion de viscosité est introduite sur un exemple d’écoulement de cisaillement simple. Le nombre de Reynolds est présenté comme le rapport de deux temps caractéristiques construits par analyse dimensionnelle. Il est exploité afin d’évoquer les propriétés de similitude entre des systèmes réalisés à des échelles différentes et caractérisés par les mêmes nombres sans dimension. Les notions de statique des fluides sont principalement destinées aux étudiants ayant suivi une formation différente de PCSI.

Pourquoi apprendre la mécanique des fluides ? La mécanique des fluides permet d'étudier la pression exercée par l'eau sur les parois d'un aquarium.

Notion maîtresse

Fluides en écoulement

Superprof

Sous-notion 1

Débits et lois de conservation

Contenu de la sous-notion

  • Particule de fluide.
  • Champ eulérien des vitesses: vitesse de la particule de fluide.
  • Masse volumique μ, vecteur densité de courant de masse μv .
  • Débit massique.
  • Conservation de la masse.
  • Écoulement stationnaire.
  • Écoulement incompressible et homogène.
  • Débit volumique.

Écoulement laminaire

Il est parfois agréable d'observer un écoulement laminaire

Quand on parle d'écoulement laminaire en mécanique des fluides, on évoque le mode d'écoulement d'un fluide dans le cas où l'ensemble du fluide s'écoule plus ou moins dans la même direction et cela sans que les différences locales ne se contrarient. On est alors en opposition au régime turbulent au cours duquel l'écoulement produit des tourbillons qui vont mutuellement se contrarier. Ainsi, lorsque l'on cherche à faire circuler un fluide dans un tuyau, on cherche à mettre en place un écoulement laminaire afin qu'il y ait moins de pertes de charge. Mais on cherche aussi à mettre en place un écoulement laminaire lorsque l'on cherche à faire voler un avion afin que le vol soit stable et prévisible à l'aide d'équations.

L'écoulement laminaire d'un point de vue microscopique

Il est toujours intéressant d'apporter un point de vue microscopique à une réflexion. en effet, alors que rien ne se voit d'un point de vue macroscopique, il peut se passer beaucoup de chose dans le monde du très petit. Lorsque l'on observe un écoulement laminaire à l'échelle microscopique, on peut observer que deux particules de fluides qui sont voisines à un instant défini resteront voisines lors des prochains moments d'observation. Par cette observation, on peut décrire un champ de vitesse grâce à l'utilisation de techniques classiques d'analyse mathématique. Dans le cas où l'écoulement devient turbulent, celui-ci devient alors sans organisation apparente. Les techniques classiques d'analyse mathématique utilisées précédemment ne suffisent alors plus pour décrire le champ de vitesse.

L'écoulement laminaire d'un point de vue macroscopique

Tout comme la notion de régime turbulent, la notion de régime laminaire est très fortement liée à la viscosité du fluide en mouvement. En effet, lorsque le liquide se situe dans une conduite ou autour d'un obstacle, alors, au voisinage d'une paroi sur laquelle la vitesse relative du fluide est nulle, on peut alors observer l'apparition de fortes variations de vitesse au sein desquelles la viscosité est impliquée. De façon plus précise, on peut dire que l'écoulement visqueux est caractérisé grâce à un nombre sans dimension que l'on appelle le nombre de Reynolds. Ce nombre permet alors de mesurer l'importance relative des forces inertielles qui sont liées à la vitesse et des forces de frottement qui sont liées à la viscosité. Ainsi, si ces dernières sont prépondérantes, alors on peut dire que le frottement, qui se produit entre deux couches de fluides, maintient leur cohésion : on obtient ainsi un écoulement laminaire. Dans le cas où le nombre de Reynolds augmente au-delà d'un certain seuil, alors l'écoulement est déstabilisé. Dans ce cas, il peut y avoir un régime turbulent qui va se mettre en place après qu'une phase de transition, plus ou moins importante, ait eu lieu.

Le nombre de Reynolds, noté Re, correspond à un nombre sans dimension qui est utilisé en mécanique des fluides. Cette grandeur permet alors de caractériser un écoulement, en particulier la nature de son régime. Il est ainsi possible de savoir si un écoulement est laminaire, transitoire ou turbulent.

Capacités exigibles

  • Définir la particule de fluide comme un système mésoscopique de masse constante.
  • Distinguer vitesse microscopique et vitesse mésoscopique.
  • Citer des ordres de grandeur des masses volumiques de l’eau et de l’air dans les conditions usuelles.
  • Définir le débit massique et l’écrire comme le flux du vecteur μv à travers une surface orientée.
  • Écrire les équations bilans, globale ou locale, traduisant la conservation de la masse.
  • Définir un écoulement stationnaire et les notions de ligne de courant et de tube de courant de masse.
  • Exploiter la conservation du débit massique.
  • A partir d’une carte de champ des vitesses en régime stationnaire, décrire qualitativement le champ des accélérations.
  • Définir un écoulement incompressible et homogène par un champ de masse volumique constant et uniforme.
  • Relier cette propriété à la conservation du volume pour un système fermé.
  • Définir le débit volumique et l’écrire comme le flux de v à travers une surface orientée. Justifier la conservation du débit volumique le long d’un tube de courant indéformable.

Sous-notion 2

Actions de contact sur un fluide

Contenu de la sous-notion

Il faut adapter les canalisations à l'utilisation car la pression exercée par l'eau peut abîmer la tuyauterie si elle n'est pas adaptée.

  • Pression.
  • Éléments de statique des fluides.
  • Viscosité dynamique.

La pression

La pression correspond à une grandeur physique qui permet de traduire les échange de quantité de mouvement au sein d'un système thermodynamique, notamment au sein d'un solide ou encore d'un fluide. On peut alors définir la pression comme correspondant à l'intensité de force que va exercer une fluide par unité de surface. La pression est une grandeur scalaire, voire tensorielle, intensive. Il faut être prudent lorsque l'on parle de la pression. En effet, nombreux sont ceux qui parlent de pression exercée par un fluide sur une paroi pour parler de la force pressante que le fluide va exercer par unité d'aire de la paroi. Cependant, la force correspond plutôt à une grandeur vectorielle que l'on défini localement alors que la pression correspond à une grandeur scalaire qui est définie en tout point du fluide concerné.

Les unités de pression

L'unité de pression est le Pascal noté (Pa), même si l'on parle parfois du Bar qui, lui, n'est pas une unité du Système International. L'analyse dimensionnelle de la pression permet de montrer que celle-ci est homogène à une force surfacique (1 Pa = 1 N/m²) comme à une énergie volumique (1 Pa = 1 J/m3).

Quelques formules

La pression p, le volume V, la quantité de matière n, et la température T d'un gaz sont liés par :

    \[ P \times V = n \times R \times T \]

Avec R = 8,31 USI

Le volume molaire d'un gaz Vm est le volume occupé par 1 mole de ce gaz dans des conditions de température et de pression donnés. On peut déterminer ainsi le volume molaire par la formule suivante :

    \[ V _ { m } = \frac { R \times T } { P } \]

En sachant que Vm s'exprime en L.mol-1

Pour ce qui est des gaz, le volume V et la quantité de matière n sont liés par :

    \[ n = \frac { V } { V _ { m } } \]

    \[ V = n \times V _ { m } \]

La quantité de mouvement

En physique, on appelle la quantité de mouvement tout produit de la masse par le vecteur vitesse d'un corps matériel que l'on suppose ponctuel. Ainsi, la quantité de mouvement correspond à une grandeur vectorielle que l'on définit par

    \[ \overrightarrow { p } = m \times \overrightarrow { v } \]

qui dépendra du référentiel d'étude. De plus, en utilisant l'additivité, on est capable de définir la quantité de mouvement d'un corps non ponctuel ou système matériel. De ce fait, il devient possible de démontrer que la quantité de matière est égale à la quantité de mouvement du centre d'inertie de l'objet étudié affecté de la masse totale du système. On a donc

    \[ \overrightarrow { P } = M \times \overrightarrow { v _ { c } } \]

où C correspond au centre d'inertie. On utilise le kg.m.s-1 comme unité. De façon logique et naturelle, la notion de quantité de mouvement s'introduit en dynamique. En effet, la relation fondamentale de la dynamique exprime le fait que l'action d'une force extérieure sur un système conduit à une variation de sa quantité de mouvement par l'expression suivante :

    \[ \overrightarrow { F _ { \text { ext } } } = \frac { \text { d } \overrightarrow { p } } { \text { d } t } \]

On peut également dire de la notion de quantité de mouvement qu'elle fait partie, de la même façon que l'énergie, des grandeurs qui se conservent dans un système isolé et donc un système qui n'est soumis à aucune action extérieure ou alors ces mêmes actions extérieures sont négligeables ou se compensent. On utilise d'ailleurs fréquemment cette propriété en théorie des collisions.

    \[ p _ { i } = \frac { \delta \text { L } } { \delta q _ { i } } \]

. Dans le cas d'un champ électromagnétique, on appelle la quantité de mouvement impulsion. Elle fait alors référence à la densité volumique d'impulsion du champ donné par la formule :

    \[ \overrightarrow { g } =  \epsilon _ { 0 } \overrightarrow { E } \bigwedge \overrightarrow { B } \]

La viscosité

On appelle viscosité l'ensemble des phénomènes de résistance à l'écoulement qui peuvent se produire dans la masse d'une matière dans le cas d'un écoulement que l'on considère comme étant uniforme et sans turbulence. De façon logique, plus la viscosité sera élevée, plus la capacité que possède le fluide à s'écouler facilement va diminuer. De plus, lorsque la viscosité est élevée, l'énergie qui sera dissipée par l'écoulement sera importante. La viscosité de cisaillement, qui peut être comprise comme une résistance à l'écoulement des différentes couches d'un fluide les unes sur les autres, englobe plusieurs grandeurs physiques qui permettent de la caractériser :

  • La viscosité dynamique qui est la grandeur la plus utilisée. En effet, on se réfère généralement à cette grandeur lorsque l'on parle de viscosité sans précision. Elle permet de faire le lien entre la contrainte de cisaillement et le gradient transversal de la vitesse d'écoulement dans la matière. C'est donc pour cela que l'on appelle cette grandeur vitesse dynamique.
  • La viscosité cinématique, cette grandeur peut être déduise de la vitesse dynamique ;
  • La seconde viscosité qui caractérise la résistance du fluide à des variations de volume ;
  • Et pour finir, la viscosité de volume qui correspond à la combinaison de la viscosité dynamique et la seconde viscosité.

De ce fait, on peut considérer la viscosité comme correspondant à une quantité tensorielle bien qu'il reste possible que, selon les cas, on puisse exprimer cette grandeur sous la forme d'une grandeur scalaire. La viscosité (de cisaillement) peut être vue comme la résistance à l'écoulement des différentes couches d'un fluide les unes sur les autres. Plusieurs grandeurs physiques caractérisent la viscosité : En ce qui concerne les liquides, alors que l'inverse est vrai pour les gaz, la viscosité va tendre, de façon générale, à diminuer lorsque la température va augmenter. De plus, croire que la viscosité d'un fluide donné augmente avec la densité est faux car ce n'est pas nécessairement vrai. On peut en effet prendre l'exemple de l'huile qui, pourtant moins dense que l'eau (0,92 pour l'huile de Colza à 20°C et 1 pour l'eau à 20°C) alors que l'huile est, de façon très nette, plus visqueuse que l'eau. Pour ce qui est des huiles de mécaniques, elles seront classées selon leur viscosité puisque l'huile utilisée dans les moteurs va varier selon les besoins de lubrifications de celui-ci mais aussi selon les températures auxquelles l'huile mécanique sera soumise lorsque le moteur sera en marche.

La viscosité dynamique

La viscosité dynamique peut alors être définie en considérant deux couches d'un fluide que l'on nommera abcd et a'b'c'd' en sachant que la couche abcd est animée d'une vitesse relative à a'b'c'd' que l'on notera dv qui sera dirigée selon x. On considère également une force de frottement notée F comme s'exerçant sur la couche a'b'c'd' séparée de dz. Ainsi, la viscosité dynamique, que l'on note η ou µ, est présente au sein de la relation entre la norme de la force de frottement F et le taux de cisaillement dv/dz. On à obtient alors :

    \[ F = \eta \times S \times \frac { \text { d } v } { \text { d } z } \]

avec S correspondant à la surface de chaque couche de liquide. L'analyse dimensionnelle de la viscosité dynamique donne donc, de façon logique :

    \[ \left[ \eta \right] = \left[ M \right] \times \left[ L \right] ^ { - 1 } \times \left[ T \right] ^ { - 1 } \]

Si on souhaite utiliser les unités du système international d'unité, la viscosité dynamique possède le pascals secondes, noté Pa.s, en unité. Auparavant, on utilisait le poiseuille, noté Pl, qui présentait la même valeur que le pascals secondes. Une ancienne unité du système CGS pour la viscosité dynamique était la poise, notée Po, donc la correspondance était :

    \[ 1 \text { Pa } \cdot \text { s } = 10 \text { Po } \]

Ainsi, la viscosité de l'eau à 20°C correspond à 1 centipoise, noté cPo, ce qui correspond à 1 mPa.s.

Capacités exigibles

  • Identifier la force de pression comme étant une action normale à la surface.
  • Utiliser l’équivalent volumique des actions de pression − grad P .
  • Exprimer l’évolution de la pression avec l’altitude dans les cas d’un fluide incompressible et de l’atmosphère isotherme dans le modèle du gaz parfait.
  • Relier l’expression de la force surfacique de viscosité au profil de vitesse dans le cas d’un écoulement parallèle.
  • Exprimer la dimension du coefficient de viscosité dynamique.
  • Citer l’ordre de grandeur de la viscosité de l’eau.
  • Citer la condition d’adhérence à l’interface fluide- solide.

Sous-notion 3

Écoulement interne incompressible et homogène dans une conduite cylindrique

Contenu de la sous-notion

  • Écoulements laminaire, turbulent.
  • Vitesse débitante.
  • Nombre de Reynolds.
  • Chute de pression dans une conduite horizontale.
  • Résistance hydraulique.

Capacités exigibles

  • Décrire les différents régimes d’écoulement (laminaire et turbulent).
  • Relier le débit volumique à la vitesse débitante.
  • Décrire qualitativement les deux modes de transfert de quantité de mouvement : convection et diffusion.
  • Interpréter le nombre de Reynolds comme le rapport d’un temps caractéristique de diffusion de quantité de mouvement sur un temps caractéristique de convection.
  • Evaluer le nombre de Reynolds et l’utiliser pour caractériser le régime d'écoulement.
  • Dans le cas d’un écoulement à bas nombre de Reynolds, établir la loi de Hagen-Poiseuille et en déduire la résistance hydraulique.
  • Exploiter le graphe de la chute de pression en fonction du nombre de Reynolds, pour un régime d’écoulement quelconque. Exploiter un paramétrage adimensionné permettant de transposer des résultats expérimentaux ou numériques sur des systèmes similaires réalisés à des échelles différentes.

Écoulement de Poiseuille et loi de Poiseuille

La loi de Poiseuille, que l'on appelle aussi loi de Hagen-Poiseuille, permet de décrire ce que l'on appelle écoulement laminaire, c'est à dire un écoulement sous la forme de filets de liquide parallèles, d'un liquide visqueux au sein d'une conduite cylindrique. On appelle logiquement écoulement de Poiseuille tout écoulement qui suit une loi de Poiseuille. De façon générale, la loi de Poiseuille permet de décrire de façon théorique la relation existante entre le débit d'un écoulement et la viscosité d'un fluide, mais aussi la différence de pression aux extrémités de la canalisation ainsi que la longueur et le rayon de cette même canalisation.

Sous-notion 4

Écoulement externe incompressible et homogène autour d’un obstacle

Contenu de la sous-notion

  • Force de traînée subie par une sphère solide en mouvement rectiligne uniforme.
  • Coefficient de traînée Cx ; graphe de Cx en fonction du nombre de Reynolds.
  • Notion de couche limite.
  • Forces de traînée et de portance d’une aile d’avion à haut Reynolds.
L'écoulement laminaire et les corps profilés dans l'air

Les avions ont été conçu afin de subir le moins de turbulences possible

Puisque la viscosité de l'air est beaucoup plus faible que la viscosité de l'eau, on peut alors conclure que son effet est, par la même façon, plus faible et ne se limite qu'à la zone proche de la paroi dans laquelle on peut observer que la vitesse varie forcement. On appelle alors cette zone d'effet la couche limite. Ainsi, lorsque l'on se situe à une distance suffisante de la paroi, on peut observer que les variations deviennent suffisamment faible pour que l'on puisse négliger la viscosité. De ce fait, on peut considérer le fluide comme étant parfait lorsqu'il se situe autour de l'obstacle auquel on ajoute la couche limite. a cela il est possible d'ajouter que, au bord d'attaque d'une aile, puisque la vitesse relative est nulle, la viscosité reste sans effet. La couche limite laminaire fini par devenir une couche turbulente. Néanmoins, la partie de cette couche proche de la paroi constitue un film laminaire.

Capacités exigibles

  • Associer une gamme de nombre de Reynolds à un modèle de traînée linéaire ou un modèle quadratique.
  • Pour les écoulements à grand nombre de Reynolds décrire qualitativement la notion de couche limite.
  • Définir et orienter les forces de portance et de traînée.
  • Exploiter les graphes de Cx et Cz en fonction de l’angle d’incidence.

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Joy

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