Comment peut-on analyser une onde ?

Introduction

Quelle est la meilleure façon d'étudier ? Travailler ses cours régulièrement permet d'assimiler plus facilement les information et cela sur la durée

Le bloc 3 est consacré à la réflexion et la transmission d’ondes à une interface plane sous incidence normale en acoustique et en électromagnétisme. Les relations de passages pour le champ électromagnétique sont affirmées, toute démonstration est hors programme. Tout calcul de courant à partir du vecteur densité de courant surfacique est à proscrire.

Une onde est une déformation ou une vibration qui se propage dans un milieu défini. Il existe trois types différents d’ondes :

  • Mécanique : Les ondes magnétiques nécessitent une matière qui se déforme afin de se propager. Ce matériau a la capacité recouvrer son état initial grâce aux forces de restauration qui inversent la déformation.
  • Électromagnétique : Les ondes électromagnétiques quant à elles n’ont pas besoin de support pour se déplacer : elles correspondent à des oscillation périodiques de champs électriques et magnétiques qui peuvent alors se déplacer dans le vide.
  • Gravitationnelle : Les ondes gravitationnelles n’ont plus de support pour se déplacer puisque ce sont les déformations de la géométrie de l’espace-temps qui se propagent.

Un onde se propage dans un milieu qui le lui permet car la propagation résulte de la mise en mouvement d’une particule dans le temps mais aussi dans l’espace par rapport au milieu. Cela est possible uniquement si la source est dans un état vibratoire. On peut caractériser la propagation d’une onde par sa vitesse de propagation à l’aide la formule suivante :

    \[ c = \lambda \times f \]

Avec :

  • c la célérité de l’onde ;
  • λ la longueur d’onde ;
  • f la fréquence de l’onde.
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Notion maîtresse

Interfaces entre deux milieux

Sous-notion 1

Cas des ondes sonores

Contenu de la sous-notion

Réflexion, transmission d’une onde sonore plane progressive sous incidence normale sur une interface plane infinie entre deux fluides : coefficients de réflexion et de transmission en amplitude des vitesses, des surpressions et des puissances sonores.

Propagation de l'onde sonore dans l'atmosphère

Peut-on voir le mouvement des ondes ? Il est très facile d'observer une onde se propager.

Lorsque l'onde se propage dans un milieu fluide compressible, il est possible d'observer une variation de pression qui va alors se propager sous la forme d'une onde. L'air nous entourant étant un milieu fluide compressible, il est alors possible de ressentir ces ondes sous la forme de son que l'on perçoit grâce aux tympans. Cependant, pour qu'elle soit perceptible, il faut que la variation de pression, parce que son amplitude est faible par rapport à la pression atmosphérique, soit suffisamment rapide et répétée. Il est possible de considérer tout objet vibrant, tel qu'un instrument de musique ou encore un haut-parleur, comme étant une source sonore qui est donc, comme son nom l'indique, la source des vibration de l'air.

La perturbation va alors se propager, même si les particules oscillent très peu (soit quelques micromètres autour d'une position stable), d'une façon analogue aux perturbations de l'eau lorsqu'une pierre y tombe : on peut observer des vagues qui s'éloignent peu à peu du point de perturbation bien que l'eau reste au même endroit. En effet, l'eau ne se déplace que verticalement et ne suit pas les vagues (il est possible d'observer ce phénomène en plaçant un objet flottant près de la perturbation : il ne restera à la même position). On peut alors dire que, dans les fluides, l'onde sonore correspond à une onde longitudinale. Ainsi, les particules observées vibrent de façon parallèle à la direction de déplacement de l'onde. Une onde sonore peut également être transmise par un solide vibrant.

En effet, la vibration va se propager au sein du solide comme dans les fluides : il y aura de faibles oscillation autour de la position d'équilibre des atomes constituant le solide. La conséquence est alors une contrainte du matériau qui, équivalente à la pression dans un fluide, est très difficile à mesurer. C'est donc la rigidité du matériau qui permettra la transmission des ondes de contraintes transversales. Il peut être intéressant de noter que, la vitesse de propagation du son, également appelée célérité, varie selon différentes propriétés du milieu comme :

  • La nature du milieu ;
  • La température du milieu ;
  • Et la pression du milieu.

Ainsi, dans un gaz parfait, on peut obtenir la vitesse de propagation d'une onde sonore avec la relation suivante :

    \[ c = \frac  { 1 } { \sqrt { \rho \chi _ {S} } } \]

Avec :

  • ρ correspondant à la masse volumique du gaz ;
  • Et χS correspondant à la compressibilité isentropique du gaz.

Il est également possible d'observer une diminution de la vitesse du son lorsque :

  • La densité du gaz augmente, on appelle cela l'effet d'inertie ;
  • La compressibilité du gaz, c'est à dire sa capacité à changer de volume selon la pression qu'il subit, augmente.

Pour calculer la vitesse du son dont l'unité est, rappelons-le, le mètre par seconde, il est possible d'utiliser l'expression suivante :

    \[ c _ { \text { air } } = 330 + 0,6 \times T \]

avec T la température en degré Celsius. Mais il est possible d'être plus précis en utilisant les degrés Kelvin. On doit alors se servir de l'expression suivante :

    \[ c _ { \text { air } } = 20 \times \sqrt { T } \]

Notons que, de façon générale, la vitesse du son dans l'eau est de 1 500 m.s-1. Mais il existe de nombreux milieux où les ondes sonores peuvent se propager de façon encore plus rapide. On peut alors prendre l'exemple de l'acier au sein duquel les ondes se propage une vitesse comprise entre 5 600 et 5 900 m.s-1. Cependant, une onde sonore est incapable de se propager dans le vide puisqu'il faut nécessairement la présence de matière déformable pour que la vibration puisse se propager.

Capacités exigibles

  • Expliciter des conditions aux limites à une interface.
  • Établir les expressions des coefficients de transmission et de réflexion en amplitude de surpression, en amplitude de vitesse ou en puissance.
  • Relier l’adaptation des impédances au transfert maximum de puissance.
  • Approche documentaire : décrire la mise en œuvre des ondes ultra-sonores pour l’échographie médicale.

Sous-notion 2

Cas des ondes électromagnétiques

La lumière est une onde électromagnétique

Contenu de la sous-notion

  • Relations de passage du champ électromagnétique en présence d’une distribution surfacique de charge ou de courant.
  • Réflexion d’une onde électromagnétique polarisée rectilignement sur un conducteur parfait, en incidence normale.

Champ électrique

En physique, on appelle champ électrique tout champ vectoriel créé par des particules électriquement chargées. Plus exactement, lorsque nous sommes en présence d'une particule chargée, les propriétés locales de l'espace défini sont alors modifiées ce qui permet de définir la notion de champ.

En effet, si une autre charge se trouve être dans ledit champ, elle subira ce qu'on appelle l'action de la force électrique qui est exercée par la particule malgré la distance.

On dit alors du champ électrique qu'il est le médiateur de ladite action à distance. Si on se veut plus précis, on peut définir dans un référentiel galiléen défini, une charge q définie de vecteur vitesse v qui subit de la part des autres charges présentes, qu'elles soient fixes ou mobiles, une force qu'on définira de force de Lorentz.

Cette force se décompose ainsi :

    \[ \overrightarrow { f } = q \left ( \overrightarrow { E } + \overrightarrow { v } \wedge \overrightarrow { B } \right) \]

Avec :

  •     \[ \overrightarrow { E } \]

    le champ électrique. Celui-ci décrit dans ce cas la partie de la force de Lorentz qui est indépendante de la vitesse de la charge

  •     \[ \overrightarrow { B } \]

    le champ magnétique. Celui-ci décrit ainsi la partie de la force exercée sur la charge qui dépend du déplacement de cette même charge dans le référentiel choisi.

De plus, il est important de noter que les deux champs, électrique et magnétique, dépendent du référentiel d'étude. Avec cette formule, on peut alors définir le champ électrique comme étant le champ traduisant l'action à distance subie par une charge électrique fixe dans un référentiel défini de la part de toutes les autres charges, qu'elles soient mobiles ou fixes.

Mais on peut également définir le champ électrique comme étant toute région de l'espace dans laquelle une charge est soumise à une force dite de Coulomb.

On commence à parler de champ électrostatique lorsque, dans un référentiel d'étude, les charges sont fixes. Notons d'ailleurs que le champ électrostatique ne correspond pas au champ électrique comme décrit plus haut dans cet article puisqu'en effet, lorsque les charges sont en mouvement dans un référentiel, il faut ajouter à ce référentiel un champ électrique qui est induit par les déplacements des charges afin d'obtenir un champ électrique complet.

Mais, le champ électrique reste dans la réalité un caractère relatif puisqu'il ne peut exister indépendamment du champ magnétique.

En effet, si on observe la description correcte d'un champ électromagnétique, celui-ci fait intervenir un tenseur quadridimensionnel de champ électromagnétique dont les composantes temporelles correspondent alors à celle d'un champ électrique.

Seul ce tenseur possède un sens physique. Alors, dans le cas d'un changement de référentiel, il est tout à fait possible de transformer un champ magnétique en champ électrique et inversement.

Le champ électrique est donc une composante à part entière du champ électrostatique, mais aussi du champ électromagnétique !

Le champ électromagnétique

En physique, on appelle champ électromagnétique la représentation dans l'espace d'une force électromagnétique exercée par des particules chargées. Ce champ représente alors l'ensemble des composantes de la force électromagnétique qui s'appliquent à une particule chargée qui se déplace alors dans un référentiel galiléen. On peut alors définir la force subit par une particule de charge q et de vecteur vitesse par l'expression suivante :

    \[ \overrightarrow { f } = q \left ( \overrightarrow { E } + \overrightarrow { v } \wedge \overrightarrow { B } \right) \]

Avec :

    \[ \overrightarrow { E } \]

le champ électrique.

Celui-ci décrit dans ce cas la partie de la force de Lorentz qui est indépendante de la vitesse de la charge

    \[ \overrightarrow { B } \]

le champ magnétique. Celui-ci décrit ainsi la partie de la force exercée sur la charge qui dépend du déplacement de cette même charge dans le référentiel choisi. En effet la séparation de la partie magnétique et de la partie électrique de dépend que du point de vue pris selon le référentiel d'étude.

De plus, il peut être intéressant de savoir que les équations de Maxwell régissent les deux composantes couplées, c'est à dire électrique et magnétique, de sorte que toute variation d'une composante induira la variation de l'autre composante.

D'ailleurs, le comportement des champs électromagnétiques se trouve décrit de façon classique par les équations de Maxwell et de manière plus générale par l'électrodynamique quantique. La façon la plus utilisée afin de définir le champ électromagnétique est celle du tenseur électromagnétique de la relativité restreinte.

Capacités exigibles

  • Interpréter le vecteur densité de courant surfacique comme un modèle pour décrire un déplacement de charges à travers un domaine d’épaisseur faible devant l’échelle de description.
  • Utiliser les relations de passage fournies.
  • Exploiter la continuité de la composante tangentielle du champ électrique pour justifier l’existence d’une onde réfléchie et calculer celle- ci.
  • Calculer le champ magnétique dans le vide, en déduire le courant surfacique sur le conducteur.
  • Calculer le coefficient de réflexion en puissance.

Un milieu transparent est caractérisé par son indice de réfraction. L'indice de réfraction d'un milieu transparent correspond au rapport entre la célérité d'une onde se propageant dans le vide et sa célérité dans le milieu considéré.

    \[ n = \frac { c } { v } \]

Avec

  • n correspondant à l'indice de réfraction du milieu transparent et qui est une grandeur sans unité ;
  • c correspondant à la célérité de l'onde dans le vide. La célérité est égale à 3.10m.s-1 ;
  • Et v correspondant à la célérité de l'onde dans le milieu transparent qui s'exprime en m.s-1.

Un milieu est dit dispersif si la célérité d'une onde lumineuse monochromatique qui se propage dans ce milieu dépend de sa fréquence (donc de sa longueur d'onde dans le vide). L'indice de réfraction d'un milieu dispersif dépend donc de la fréquence de l'onde qui s'y propage.

Méthode de calcul de champ magnétique

Comment devenir meilleur en maths ? Pour de meilleurs résultats, apprenez à vous détacher au maximum de votre calculatrice.

Méthode 1 : Théorème de superposition.

  • Décomposer la distribution de courant en quelques distributions simples,
  • Pour chaque distribution, calculer le champ magnétique au point M considéré en utilisant éventuellement les méthodes qui suivent,
  • Additionner les champs en indiquant qu'il s'agit du théorème de superposition.

Attention :

  • Les champs s'ajoutent en un même point M de l'espace,
  • Il s'agit d'une somme vectorielle.

Rappel : somme vectorielle

Méthode 1 :

Utiliser la relation de Chasles en utilisant une notation intrinsèque pour les champs.

Méthode 2 :
  • Déterminer la direction du champ total au point M :
    • Méthode 1 : associer deux par deux des champs symétriques,
    • Méthode 2 : trouver un plan de symétrie ou deux plans d'antisymétrie de la distribution de courants passant par M.
  • Projeter les champs à additionner dans cette direction,
  • Sommer ces différentes projections :
    • Méthode 3 : Faire la somme des composantes dans une base orthonormée bien choisie,
    • Méthode 4 : Somme graphique.

Méthode 2 : Théorème d'Ampère

  • Déterminer l'allure du spectre dans tous l'espace d'étude :
  • Déterminer la direction du champ en un point M quelconque de l'espace :
    • Méthode 1 : associer deux par deux des champs élémentaires symétriques,
    • Méthode 2 : trouver un plan de symétrie ou deux plans d'antisymétrie de la distribution de courants, passant par M.
  • Déterminer les variables dont dépend la norme du champ dans l'espace, en évoquant des arguments d'invariance par translation ou rotation du problème vu par l'observateur,
  • Choisir un contour d'Ampère passant par le point où on cherche le champ : Pour simplifier le calcul de la circulation, le contour doit suivre les lignes de champ ou les couper orthogonalement,
  • Appliquer le théorème d'Ampère.

Méthode 3 : Calcul par intégrale

Pour avoir une méthodologie complète, je vous invite à vous diriger vers notre cours "Calcul d’Intégrales Multiples Vectorielles ou Scalaires".

Méthode 4 - Astuces

Pour une distribution de courant de type solénoïde infini, il faut admettre que le champ à l'extérieur du solénoïde est nul , puis utiliser le théorème d'Ampère.

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Joy

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