Exercice 1 : Le LiDAR

Les LiDAR, acronyme de « Light Detection And Ranging » sont des systèmes de mesure à distance utilisant généralement les propriétés laser. On les utilise pour la télémétrie (distance Terre-Lune par exemple), la topographie (réalisation de cartes), les mesures de concentrations de gaz ou encore pour déterminer la vitesse des vents.

Données à 25°C :

Célérité en m.s-1Dans l’airDans l’eau
onde sonore et ultrasonore :3,40 × 1021,48 × 103
onde électromagnétique :3,00 × 1082,26 × 108

Constante de Planck : h = 6,62×10–34 J.s

Le LiDAR topographique embarqué.

Comment devenir pilote ? Les avions de chasse comme celui-ci utilisent le LiDAR afin de créer une cartographie du sol. Couplé au GPS, il permet une très grande précision dans la localisation de l'appareil.

Un LiDAR topographique envoie des impulsions laser de courte durée et de longueur d’onde l = 1064 nm. Tout obstacle sur le trajet du faisceau va renvoyer une partie du rayonnement dans la direction du faisceau incident. La mesure de la durée de l’aller-retour de chaque impulsion permet alors de reconstituer numériquement l’espace environnant. Embarqué à bord d’un avion ou d’un satellite, le LiDAR topographique est un moyen de cartographier la Terre à distance avec une grande précision.

Un des lasers utilisés est un laser dont le milieu amplificateur est un cristal solide néodyme-YAG décrit dans le document n°1 ci-dessous :

Document n°1 : schéma du laser néodyme-YAG et de son diagramme énergétique simplifié.

Donner deux propriétés caractéristiques du rayonnement émis par un laser.

A quoi servent les lampes flash lors du fonctionnement de ce laser ?

Le niveau fondamental d’énergie E0 est pris comme origine des énergies. L’énergie du niveau E3 est égale à 2,458 × 10–19 J. Quelle longueur d’onde doit être présente dans le spectre de la lumière émise par une lampe flash ?

Sur la figure ci-dessous, l’avion embarquant le lidar topographique vole à une altitude H = 3,50 km à la vitesse de 450 km.h-1. Sa position est déterminée par un GPS.

En faisant l’hypothèse que la distance parcourue par l’avion pendant la durée Dt est négligeable par rapport à H, montrer que la durée Dt du trajet aller-retour de l’impulsion laser en fonction de H, h et de la célérité de la lumière c est égale à :

    \[ \Delta t = \frac {2 x ( H - h ) } { c } \]

Parmi les deux graphiques ci-dessous, indiquer celui qui correspond à la situation étudiée. Justifier brièvement la réponse.

Graphique a et Graphique b

Lors du survol du Puy de Dôme (volcan du centre de la France), on mesure Dt = 13,6 µs. Estimer l’altitude du Puy de Dôme par rapport au niveau de la mer.

Dans le cas de la mesure de l’altitude du Puy de Dôme, l’hypothèse faite à la question 1.4. est-elle vérifiée ?

Le LiDAR bathymétrique

Comment fonctionne un LiDAR ? Le LiDAR bathymétrique permet de cartographier les fonds marins par un moyen ingénieux de couple de signaux verts et rouges.

Les systèmes LiDAR bathymétriques aéroportés ressemblent au LiDAR topographique mais ils sont constitués de deux lasers différents : un laser infrarouge et un laser vert. Ils servent à déterminer la profondeur de l’eau. Pour cela, le LiDAR envoie deux impulsions simultanées (une impulsion verte et une impulsion infrarouge). Le rayonnement infrarouge sert à repérer la surface de l’eau. Le rayonnement vert, quant à lui, pénètre dans l’eau et est réfléchi par le fond.

En mesurant la différence entre les temps de parcours des deux impulsions laser (Document n°2), on peut déterminer la profondeur de l’eau.

Document n°2 :puissance lumineuse reçue par le récepteur en fonction du temps.
Spectre n°1 : spectre d’absorption de l’eau. La radiation est d’autant plus absorbée que le coefficient d’absorption est élevé.

Les longueurs d’onde des deux lasers sont de 532 nm et de 1064 nm. Attribuer, en justifiant, la longueur d’onde à chacun des deux lasers du LiDAR bathymétrique.

Expliquer pourquoi il est plus judicieux d’utiliser le laser vert, plutôt que le laser infrarouge, pour détecter le fond de l’eau.

En vous appuyant sur un schéma expliquant le principe de cette mesure, estimer la valeur de la profondeur de l’eau à l’endroit où la mesure du document n°2 a été effectuée.

Le LiDAR à effet Doppler

Il permet de faire des mesures de la vitesse de vents ou de nuages grâce à l’effet Doppler.

Pour présenter ce principe, un professeur propose le dispositif expérimental photographié ci-après dans lequel le LiDAR est remplacé par un ensemble « émetteur - récepteur » d’ultrasons et le nuage est modélisé par une plaque fixée sur un chariot mobile.

On suppose que la température de la salle est de 25°C.

Photographie du dispositif expérimental

À l’aide de ce dispositif, le professeur a proposé aux élèves de réaliser deux expériences pour mesurer la vitesse de déplacement d’un objet.

Expérience n°1

Pour déterminer la valeur v de la vitesse de déplacement du chariot, Anna, à l’aide d’un chronomètre, mesure la durée mise par le chariot pour se déplacer d’une distance d = 30,0 ± 0,5 cm.

Elle réalise plusieurs chronométrages dont les résultats sont regroupés dans le tableau suivant :

Mesure n°12345678910
Durée τ (en s)2,082,052,062,132,082,072,092,052,082,09

Dans les conditions de l’expérience :

  • L’écart-type sur la durée est sn-1 = 2,35 × 10–2 s ;
  • L’incertitude sur la durée se calcule avec la formule suivante :

        \[ U ( \tau ) = \frac {2,26 \times \sigma _ { n - 1 } } { \sqrt {n} } \]

     où n est le nombre de mesures réalisées.

  • L’incertitude relative sur la valeur de la vitesse est

        \[ \frac { U (v) } { v } = \sqrt { ( \frac { U ( \tau ) } { \tau } ) ^ { 2 } + ( \frac {U ( d ) } { d } ) } ^ { 2 } \]

 

Expérience n°2

Comment entendre l'effet Doppler ? L'ambulance est un très bon exemple pour illustrer l'effet Doppler. Avez-vous déjà remarqué que le son produit par sa sirène semble être différent quand elle passe à côté de vous ? Il s'agit d'un effet causé par l'effet Doppler, le son étant distordu à cause du déplacement du véhicule

Avec les mêmes réglages, Karim détermine la valeur de la vitesse v de déplacement du chariot à l’aide de l’effet Doppler.

Disposant d’une interface d’acquisition et d’un logiciel de traitement, il mesure la fréquence reçue par le récepteur dans deux situations expérimentales :

Lorsque le chariot est immobile, f1 = 42170 Hz.

Lorsque le chariot est mouvement, f2 = 42134 Hz.

Dans les conditions de l’expérience :

Lors de la réflexion sur un obstacle en mouvement, la fréquence de l’onde reçue après réflexion est différente de celle de l’onde émise de fréquence fém.

Dans cette relation :

v est la valeur de la vitesse de déplacement de l’obstacle par rapport à la source ;

c est la célérité de l’onde.

Citer une différence entre les ondes utilisées par un LiDAR et celles utilisée dans ces deux expériences.

Dans le cas de l’expérience n°1, déterminer la valeur de la vitesse de déplacement du chariot, notée vexp1 et exprimer le résultat en prenant en compte l’incertitude associée.

Lors de l’expérience n°2, le chariot se rapproche-t-il ou s’éloigne-t-il de l’ensemble « émetteur-récepteur ? Justifier.

L’incertitude relative sur la valeur de la vitesse déterminée dans l’expérience 2 est de 5 %. Les deux expériences donnent-elles des valeurs de vitesses compatibles ?

Exercice 2 : Système d’aide à la navigation aérienne

Le VOR Doppler (VOR abréviation de VHF Omnidirectional Range) est un système d’aide à la navigation aérienne qui permet au pilote d’un avion de déterminer sa position et son déplacement par rapport à une station au sol. Répertoriés sur les cartes aéronautiques, les différents VOR constituent des repères sur lesquels le pilote peut s’appuyer pour établir "une route".

On se propose, dans cet exercice, d’étudier le fonctionnement d’un dispositif VOR utilisant l’effet Doppler.

Document 1 : Principe de repérage d’un avion

L’avion est repéré par l’angle θ entre le Nord magnétique et la demi-droite OA liant la station VOR à l’avion.

La demi-droite OA, appelée radial, est nommée par l'angle θ qu'elle forme avec la direction du Nord magnétique.

Un radial est ainsi caractérisé par trois chiffres : sur le schéma ci-contre est représenté le radial 080.

On se propose, dans cet exercice, d’étudier le fonctionnement d’un dispositif VOR utilisant l’effet Doppler.
Document 1 : Principe de repérage d’un avion
L’avion est repéré par l’angle θ entre le Nord magnétique et la demi-droite OA liant la station VOR à l’avion.
La demi-droite OA, appelée radial, est nommée par l'angle θ qu'elle forme avec la direction du Nord magnétique.
Un radial est ainsi caractérisé par trois chiffres : sur le schéma ci-contre est représenté le radial 080.

Un VOR Doppler est composé de deux antennes émettrices par :

  • une antenne centrale fixe F qui émet dans toutes les directions un signal de référence constitué d’une onde porteuse de fréquence f0= 113MHz, modulée en amplitude par un signal sinusoïdal de fréquence 30 Hz ;
  • une antenne mobile M décrivant autour de l’antenne fixe F, un cercle de rayon 6,76 m à raison de 30 tours.s-1 et émettant une onde de fréquence fsource.

Les signaux à transmettre usuellement, comme par exemple les sons (voix des pilotes, des contrôleurs aériens), sont constitués d’ondes de basses fréquences. Leur faible distance de propagation, la superposition d’un grand nombre de ces signaux dans l’environnement et le fait que les dimensions des antennes réceptrices doivent être de l’ordre de grandeur de la longueur d’onde des signaux à capter, constituent autant d’obstacles à leur utilisation directe.

La modulation est alors une solution pour transmettre les signaux : on fait varier l’une des caractéristiques (amplitude, fréquence…) d’un signal de fréquence beaucoup plus élevée (porteuse), avec l’information à transmettre (signal modulant). On obtient un signal modulé.

Comment fonctionne la radio ? Les ondes électromagnétiques sont partout : ce sont ces ondes qui transportent les appels téléphoniques, les ondes radiophoniques et bien d'autres.

1.Étude du signal émis par l’antenne fixe F

1.1. Représenter les éléments de la chaine de transmission d’information entre le VOR Doppler et l’avion. On identifiera en particulier l’émetteur, le canal de transmission et le récepteur.

1.2. S’agit-il d’une transmission guidée ou libre ? Justifier.

1.3. Le signal modulé émis par l’antenne F est représenté ci-dessous.

1.3.2. Montrer que le signal modulant a une fréquence égale à 30 Hz.

1.4. Quel devrait être l’ordre de grandeur de la taille d’une antenne destinée à capter une onde électromagnétique de fréquence 30 Hz ? De fréquence 113 MHz ? Conclure.

2.Analyse du signal émis par l’antenne mobile M et perçu par l’avion

On se place dans la situation représentée sur la figure du document-réponse en annexe à rendre avec la copie.

2.1. Sur quel radial se trouve l’avion de cette figure ?

2.2. Sur ce document-réponse, représenter, sans souci d’échelle, les vecteurs vitesse de l’antenne M lors de son passage successivement aux points N, W, S, E.

2.3. Le signe de ∆f, décalage en fréquence entre le signal perçu par l’avion et le signal émis par l’antenne M, dépend de la position de l’avion et de l’antenne. Pour les quatre points N, W, S, E, dire si ∆f est nul, positif ou négatif.

2.4. Décrire qualitativement la variation du décalage ∆f en signe et en amplitude au cours d’une rotation complète de l’antenne M. Justifier en quelques lignes que le décalage ∆f évolue de façon périodique, à une fréquence de 30 Hz indépendante de la vitesse de l’avion.

2.5. Compléter la figure du document-réponse donnant l’évolution de ∆f en fonction du temps, en plaçant les points correspondant aux positions N, S, E, W de l’antenne mobile M.

3.Application à la détermination du radial sur lequel est positionné l’avion.

Le récepteur de l’avion reçoit les signaux émis par les deux antennes F et M.

3.1. Le traitement de ces signaux reçus permet d’extraire les deux signaux suivants :

  • signal 1 : Δf en fonction du temps ;
  • signal 2 : signal de référence de fréquence 30 Hz de l’antenne fixe F.

La comparaison entre les signaux 1 et 2 permet de déterminer le radial sur lequel se trouve l’avion.

Ces signaux sont dits en phase si, comme sur la figure ci-dessous, Δf et l’amplitude du signal de référence passent par leurs valeurs maximale ou minimale simultanément.

Le VOR Doppler est étalonné afin qu’un avion sur le radial 360, reçoive les signaux 1 et 2 en phase. On suppose que l’antenne mobile M, initialement au point N (figure de l’annexe), se déplace jusqu’en W. À l’aide d’un raisonnement s’appuyant sur ce mouvement, montrer que pour deux avions, l’un au radial 360 l’autre au 090, l’évolution des valeurs de Δf est nécessairement différente. On pourra accompagner l’exposé d’un schéma.

3.3. Dans la réalité, l’antenne M n’est pas réellement une antenne physiquement mobile. C’est en fait un système électronique qui simule ce mouvement.

Calculer la vitesse qu’aurait l’antenne M dans le référentiel terrestre si elle était mécaniquement mobile. Commenter.

Annexe à rendre avec la copie

Évolution de ∆f en fonction du temps

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Clément

Freelancer et pilote, j'espère atteindre la sagesse en partageant le savoir que j'ai acquis lors de mes voyages au volant de ma berline. Curieux scientifique, ma soif de découverte n'a d'égale que la durée de demie-vie du bismuth 209.

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