Soit un dièdre d’angle α à l’intérieur duquel s’écoule un fluide parfait incompressible. Cet écoulement sera supposé irrotationnel et permanent.

On donne l’expression du laplacien en coordonnées cylindriques :

On suppose que le potentiel des vitesses peut être mis sous la forme φ(r,θ) = f(r).g(θ)

Les parois étant de grande hauteur, on poura raisonner dans un plan z = cte.

1 - Etablir une équation différentielle satisfaite par φ. Déduire celle satisfaite par f et g.

Mettre cette équation sous la forme :

2 - Quelles sont a priori toutes les formes possibles pour g(θ) ?

3 - Chercher f sous la forme f(r) = C.r n et et donner l’expression de n en fonction de α.

4 - En déduire le champ des vitesses à l’intérieur du dièdre. Montrer que le module de la vitesse est indépendant de θ.

5 - Déterminer l’équation des lignes de courant. Tracer l’allure de ces lignes pour α = 3π/2.

Tracer l’allure des trajectoires des particules.

6 - Comment évolue le module de la vitesse d’une particule de fluide le long d’une ligne de courant pour α < π , et  α > π ? Vers quelle valeur tend ce module au voisinage de l’arête ?

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Olivier

Professeur en lycée et classe prépa, je vous livre ici quelques conseils utiles à travers mes cours !