Écoulements incompressibles et uniformes

1 - On considère un écoulement uniforme tel que :

Montrer qu’il est incompressible et irrotationnel, et déterminer un potentiel des vitesses φ convenable, en coordonnées sphériques.

2 - On s’intéresse dans toute la suite à un écoulement incompressible et irotationnel autour d’une sphère fixe de centre O et de rayon a. Loin de la sphère, l’écoulement est uniforme comme décrit précédemment

.

Commenter l’allure des lignes de champ sur la figure et indiquer sans calculs si la norme v de la vitesse est inférieure ou supérieure à U au voisinage des points A, B, C et D.

3 - Soit φ un potentiel de vitesses ; de quelle équation locale est solution φ ?

On cherche une solution de la forme φ = ( αr + β / r²).cosθ

Commenter ce choix et déterminer les constantes α et β en fonction de U et a.

4 - Calculer la force de traînée qui s’exerce sur la sphère, en négligeant la pesanteur dans le fluide, et en supposant l’écoulement parfait. Commenter.