Chapitres
Les différents écoulements de fluide
L'écoulement laminaire
Quand on parle d'écoulement laminaire en mécanique des fluides, on évoque le mode d'écoulement d'un fluide dans le cas où l'ensemble du fluide s'écoule plus ou moins dans la même direction et cela sans que les différences locales ne se contrarient. On est alors en opposition au régime turbulent au cours duquel l'écoulement produit des tourbillons qui vont mutuellement se contrarier.
Ainsi, lorsque l'on cherche à faire circuler un fluide dans un tuyau, on cherche à mettre en place un écoulement laminaire afin qu'il y ait moins de pertes de charge. Mais on cherche aussi à mettre en place un écoulement laminaire lorsque l'on cherche à faire voler un avion afin que le vol soit stable et prévisible à l'aide d'équations.
L'écoulement laminaire d'un point de vue microscopique
Il est toujours intéressant d'apporter un point de vue microscopique à une réflexion. en effet, alors que rien ne se voit d'un point de vue macroscopique, il peut se passer beaucoup de chose dans le monde du très petit.
Lorsque l'on observe un écoulement laminaire à l'échelle microscopique, on peut observer que deux particules de fluides qui sont voisines à un instant défini resteront voisines lors des prochains moments d'observation. De par cette observation, on peut décrire un champ de vitesse grâce à l'utilisation de techniques classiques d'analyse mathématique.
Dans le cas où l'écoulement devient turbulent, celui-ci devient alors sans organisation apparente. Les techniques classiques d'analyse mathématique utilisées précédemment ne suffisent alors plus pour décrire le champ de vitesse.
L'écoulement laminaire d'un point de vue macroscopique
Tout comme la notion de régime turbulent, la notion de régime laminaire est très fortement liée à la viscosité du fluide en mouvement. En effet, lorsque le liquide se situe dans une conduite ou autour d'un obstacle, alors, au voisinage d'une paroi sur laquelle la vitesse relative du fluide est nulle, on peut alors observer l'apparition de fortes variations de vitesse au sein desquelles la viscosité est impliquée.
De façon plus précise, on peut dire que l'écoulement visqueux est caractérisé grâce à un nombre sans dimension que l'on appelle le nombre de Reynolds. Ce nombre permet alors de mesurer l'importance relative des forces inertielles qui sont liées à la vitesse et des forces de frottement qui sont liées à la viscosité.
Ainsi, si ces dernières sont prépondérantes, alors on peut dire que le frottement, qui se produit entre deux couches de fluides, maintient leur cohésion : on obtient ainsi un écoulement laminaire.
Dans le cas où le nombre de Reynolds augmente au-delà d'un certain seuil, alors l'écoulement est déstabilisé. Dans ce cas, il peut y avoir un régime turbulent qui va se mettre en place après qu'une phase de transition, plus ou moins importante, ait eu lieu.
Le nombre de Reynolds, noté Re, correspond à un nombre sans dimension qui est utilisé en mécanique des fluides. Cette grandeur permet alors de caractériser un écoulement, en particulier la nature de son régime. Il est ainsi possible de savoir si un écoulement est laminaire, transitoire ou turbulent.
Le régime turbulent
Lorsque vous subissez des turbulences en plein vol, c'est tout simplement que votre avion entre dans une zone où le flux d'air provoque une zone d'écoulement turbulent.
Le terme turbulence correspond à l'état de l'écoulement d'un fluide, qu'il soit liquide ou gaz, au sein duquel la vitesse présente un caractère tourbillonnaire. On entend par là la présence de tourbillons dont la taille, la localisation mais également l'orientation vont, de façon constante, varier.
On peut caractériser un écoulement turbulents par une apparence très désordonnée mais également par un comportement qui restera difficilement prévisible et par l'existence de nombreuses échelles spatiales et temporelles.
Il est possible de voir apparaître ce type d'écoulement dans le cas où la source d'énergie cinétique, qui provoque la mise en mouvement du fluide, est relativement intense devant les forces de viscosité que le fluide va opposer pour se déplacer. On peut alors opposer cet écoulement au régime laminaire qui est régulier.
Pour étudier le comportement complexe des écoulements turbulent, il faut, dans la plupart des cas, utiliser la voie statistique. En effet, on peut, de ce fait, considérer que cette étude fait partie intégrante de la physique statistique afin de traduire que, lors d'un écoulement, les forces d'inertie l'emportent sur les forces de viscosité.
Écoulement de Poiseuille et loi de Poiseuille
La loi de Poiseuille, que l'on appelle aussi loi de Hagen-Poiseuille, permet de décrire ce que l'on appelle écoulement laminaire, c'est à dire un écoulement sous la forme de filets de liquide parallèles, d'un liquide visqueux au sein d'une conduite cylindrique. On appelle logiquement écoulement de Poiseuille tout écoulement qui suit une loi de Poiseuille.
De façon générale, la loi de Poiseuille permet de décrire de façon théorique la relation existant entre le débit d'un écoulement et la viscosité d'un fluide, mais aussi la différence de pression aux extrémités de la canalisation ainsi que la longueur et le rayon de cette même canalisation.
Écoulement torrentiel et fluvial
On parle d'écoulement torrentiel et d'écoulement fluvial dans le cas d'un équilibre de l'écoulement d'un liquide dans un canal ou encore un cours d'eau ou une conduite à la surface libre.
De façon plus précise, on parle d'écoulement torrentiel dans le cas où le nombre de Froude est supérieur à 1, ce qui signifie alors que la vitesse du courant est supérieure à la vitesse d'une vague de liquide étudié. Dans le cas contraire, on parle d'écoulement fluvial.
Notons qu'il est possible de passer d'un régime torrentiel à un régime fluvial lorsqu'il y a un ressaut hydraulique, ce qui signifie qu'il y a une élévation du niveau d'eau ou encore lorsqu'il y a une dissipation d'énergie. Il est d'ailleurs possible d'observer ce phénomène dans un évier de cuisine.
Écoulement polyphasique
On parle d'écoulement polyphasique lorsque l'on observe un écoulement de fluide comportant plusieurs phases. On peut, par exemple, étudier le comportement d'un fluide qui comporte en son sein des bulles de gaz ou encore étudier le comportement d'un mélange de deux fluides non miscibles.
Caractériser la viscosité d'un fluide
On appelle viscosité l'ensemble des phénomènes de résistance à l'écoulement qui peuvent se produire dans la masse d'une matière dans le cas d'un écoulement que l'on considère comme étant uniforme et sans turbulence. De façon logique, plus la viscosité sera élevée, plus la capacité que possède le fluide à s'écouler facilement va diminuer. De plus, lorsque la viscosité est élevée, l'énergie qui sera dissipée par l'écoulement sera importante.
La viscosité de cisaillement, qui peut être comprise comme une résistance à l'écoulement des différentes couches d'un fluide les unes sur les autres, englobe plusieurs grandeurs physiques qui permettent de la caractériser :
- La viscosité dynamique qui est la grandeur la plus utilisée. En effet, on se réfère généralement à cette grandeur lorsque l'on parle de viscosité sans précision. Elle permet de faire le lien entre la contrainte de cisaillement et le gradient transversal de la vitesse d'écoulement dans la matière. C'est donc pour cela que l'on appelle cette grandeur vitesse dynamique.
- La viscosité cinématique, cette grandeur peut être déduise de la vitesse dynamique ;
- La seconde viscosité qui caractérise la résistance du fluide à des variations de volume ;
- Et pour finir, la viscosité de volume qui correspond à la combinaison de la viscosité dynamique et la seconde viscosité.
De ce fait, on peut considérer la viscosité comme correspondant à une quantité tensorielle bien qu'il reste possible que, selon les cas, on puisse exprimer cette grandeur sous la forme d'une grandeur scalaire.
La viscosité (de cisaillement) peut être vue comme la résistance à l'écoulement des différentes couches d'un fluide les unes sur les autres.
En ce qui concerne les liquides, alors que l'inverse est vrai pour les gaz, la viscosité va tendre, de façon générale, à diminuer lorsque la température va augmenter. De plus, croire que la viscosité d'un fluide donné augmente avec la densité est faux car ce n'est pas nécessairement vrai. On peut en effet prendre l'exemple de l'huile qui, pourtant moins dense que l'eau (0,92 pour l'huile de Colza à 20°C et 1 pour l'eau à 20°C) alors que l'huile est, de façon très nette, plus visqueuse que l'eau.
Pour ce qui est des huiles de mécaniques, elles seront classées selon leur viscosité puisque l'huile utilisée dans les moteurs va varier selon les besoins de lubrifications de celui-ci mais aussi selon les températures auxquelles l'huile mécanique sera soumise lorsque le moteur sera en marche.
La viscosité peut varier
Comme expliqué précédemment, la viscosité d'un fluide varie selon la température, mais aussi les actions mécaniques auxquelles ce fluide est soumis. Ainsi, afin de déterminer l'importance de l'effet de la température sur la viscosité d'un fluide, on va utilisé un indice appelé indice de viscosité. De façon logique, plus cet indice est grand, moins la température aura une influence sur la viscosité du fluide étudié.
Pour ce qui est des gaz, il est très courant d'utiliser la loi de Sutherland qui se définie ainsi :
![\[ \frac { \eta \left( T \right) } { \eta _ { 0 } } \approx \left( \frac { T } { T _ { 0 } } \right) ^ { \frac { 3 } { 3 } } \times \frac { T _ { 0 } + S } { T + S } \]](https://www.superprof.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-9f0831c8f8dfaa4c95c47defc96079e7_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Avec :
- η0 = η(T0) correspondant à la viscosité à la température T0 ;
- Et S la température de Sutherland.
Dans le cas de l'air, si l'on prend :
- η0 = 1,715 . 10-5 Pa.s ;
- T0 = 273,15 K ;
- Et S = 110,4 K.
On obtient une approximation correcte si l'on reste sur une plage de température comprise entre 170 K et 1 900 K environ.
La viscosité dynamique
La viscosité dynamique peut alors être définie en considérant deux couches d'un fluide que l'on nommera abcd et a'b'c'd' en sachant que la couche abcd est animée d'une vitesse relative à a'b'c'd' que l'on notera dv qui sera dirigée selon x. On considère également une force de frottement notée F comme s'exerçant sur la couche a'b'c'd' séparée de dz.
Ainsi, la viscosité dynamique, que l'on note η ou µ, est présente au sein de la relation entre la norme de la force de frottement F et le taux de cisaillement dv/dz. On à obtient alors :
![\[ F = \eta \times S \times \frac { \text { d } v } { \text { d } z } \]](https://www.superprof.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c538f95ea4c64f95609f83089b4e1c02_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
avec S correspondant à la surface de chaque couche de liquide.
L'analyse dimensionnelle de la viscosité dynamique donne donc, de façon logique :
![\[ \left[ \eta \right] = \left[ M \right] \times \left[ L \right] ^ { - 1 } \times \left[ T \right] ^ { - 1 } \]](https://www.superprof.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e9a365fafc2b82759928560726b3f317_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Si on souhaite utiliser les unités du système international d'unité, la viscosité dynamique possède la pascals secondes, noté Pa.s, en unité. Auparavant, on utilisé le poiseuille, noté Pl, qui présentait la même valeur que le pascals secondes.
Une ancienne unité du système CGS pour la viscosité dynamique était la poise, notée Po, donc la correspondance était :
![\[ 1 \text { Pa } \cdot \text { s } = 10 \text { Po } \]](https://www.superprof.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-299e34848cff1382fe0fcaef3f7b4807_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Ainsi, la viscosité de l'eau à 20°C correspond à 1 centipoise, noté cPo, ce qui correspond à 1 mPa.s.
La fluidité
La fluidité correspond à l'inverse de la viscosité dynamique.
La viscosité cinématique
Il est possible d'obtenir la viscosité cinématique, noté ν, en divisant la viscosité dynamique par la masse volumique, notée ρ, du fluide. On obtient alors la relation suivante :
![\[ \nu = \frac { \eta } { \rho } \]](https://www.superprof.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e325882b9e7f3e4ad6f75fe8d7943e82_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Son unité, le mètre carré par seconde, noté n².s-1, correspondant, dans l'ancien système CGS comme étant le stokes ou centistokes notés respectivement St et cSt.
La conversion est très rapide car :
![\[ 1 \text { St } = 1 \text { cm } ^ 2 \cdot \text { s } ^ { - 1 } = 10 ^ { - 4 } \text { m } ^ 2 \cdot \text { s } ^ {- 1 } \]](https://www.superprof.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-1b4f685e66db6c8fe482a2d6e5cd13ae_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
et
![\[ 1 \text{ cSt } = 1 \text { mm } ^ 2 \cdot \text { s } ^ { - 1 } = 10 ^ { - 6 } \text{ m } ^ 2 \cdot \text { s } ^ { - 1 } \]](https://www.superprof.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a24f177253373412fe1d51c6a22988f8_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
La seconde viscosité
La seconde viscosité correspond au second paramètre scalaire qui permet de caractériser de façon complète un fluide considéré comme étant newtonien.
Elle est cependant omise dans la littérature puisque, pour la plupart des fluides usuels, il manque la caractérisation des fluides en ce qui concerne leur approximation newtonienne.
La viscosité de volume
La viscosité de volume correspond à une fonction linéaire des viscosités principale et seconde viscosité.
On a ainsi :
![\[ 3 \times K = 3 \times \lambda + 2 \times \mu \]](https://www.superprof.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-aa4d87dfccd3c482b38fba1f095e357b_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
La viscosité élongationnelle
On considère la viscosité élongationnelle comme étant une viscosité qui apparaît lorsqu'une contrainte élongationnelle s'applique au fluide étudié.
Fluide et corps plongé : la poussée d'Archimède
La poussée d'Archimède
La poussée d'Archimède est un phénomène physique qui décrit le comportement de tout corps plongé dans un fluide qu'il soit liquide ou gazeux soumis à un champ de gravité.
Elle est nommée ainsi en l'honneur d'Archimède de Syracuse, un très grand scientifique grec de 200 avant J.-C.
Elle est causée par l'augmentation de la pression du fluide avec la profondeur. Comme la pression exercée sur la partie basse du corps est supérieure à celle exercée sur la partie haute, le corps est poussé verticalement vers le haut.
Voici la formulation d'origine de cette loi physique :
Tout corps plongé dans un fluide au repos, entièrement mouillé par celui-ci ou traversant sa surface libre, subit une force verticale, dirigée de bas en haut et opposée au poids du volume de fluide déplacé ; cette force est appelée poussée d'Archimède.
Pour que le théorème s'applique il faut que le fluide immergeant et le corps immergé soient au repos. Il faut également qu'il soit possible de remplacer le corps immergé par du fluide immergeant sans rompre l'équilibre.
Voici l'équation qui en résulte :
![\[ \overrightarrow { P } _ { A } = M _ { f } \overrightarrow { g } \]](https://www.superprof.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-1f7764e007a62694e0c60b4c332c50db_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Avec :
- Mf< la masse du fluide contenu dans un volume V et déplacé ;
- g la valeur du champ de pesanteur, de 9,81 N/kg à la surface de la Terre.
Quelques exemples
La poussée d'Archimède intervient dans de nombreux cas de notre vie de tous les jours.
Par exemple, c'est la poussée d'Archimède qui fait qu'on ne coule pas lorsque l'on fait la planche sur l'eau. C'est aussi grâce à elle qu'un glaçon flotte à la surface d'un verre même lorsqu'il fond.
La poussée d'Archimède est aussi très utile à de nombreux appareils flottant ou volant. C'est grâce à elle que les bateaux ne coulent et que les sous-marins peuvent gérer leur profondeur. Les ballons dirigeables et les montgolfières peuvent aussi voler dans le ciel grâce à la poussée d'Archimède et au gaz moins dense que l'air qu'ils contiennent.
Exercice
- On considère un écoulement uniforme tel que :
Montrer qu’il est incompressible et irrotationnel, et déterminer un potentiel des vitesses φ convenable, en coordonnées sphériques.
- On s’intéresse dans toute la suite à un écoulement incompressible et irotationnel autour d’une sphère fixe de centre O et de rayon a. Loin de la sphère, l’écoulement est uniforme comme décrit précédemment
.
Commenter l’allure des lignes de champ sur la figure et indiquer sans calculs si la norme v de la vitesse est inférieure ou supérieure à U au voisinage des points A, B, C et D.
- Soit φ un potentiel de vitesses ; de quelle équation locale est solution φ ?
On cherche une solution de la forme φ = ( αr + β / r2).cosθ
Commenter ce choix et déterminer les constantes α et β en fonction de U et a.
- Calculer la force de traînée qui s’exerce sur la sphère, en négligeant la pesanteur dans le fluide, et en supposant l’écoulement parfait. Commenter.
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