Exercice

Énoncé

Une corde tendue horizontale, de très grande longueur, est constituée de deux demi-cordes sans raideur de masses linéiques λ1 et λ2 , nouées par un nœud en x = 0.

Un ébranlement transversal progresse depuis l'infini selon les x croissants.

Savez-vous faire le nœud marin ?
Il existe une multitude de nœuds. On trouve par exemple le nœud marin, le nœud de chaise, le nœud d'écoute, le nœud d'arrêt, le nœud de drisse ou encore le nœud plat.

Questions

1 - Déterminer l'équation vérifiée par ε(x,t), l'écart transversal de la corde par rapport à sa position au repos.

2 - Par analogie avec les ondes sonores, définir et exprimer l'impédance de la corde.

3 - On suppose que le nœud a une masse nulle.

a. Justifer l'existence d'une onde réfléchie.

b. Déterminer les coefficients de réflexion et transmission de l'ébranlement en x = 0.

4 - Mêmes questions dans le cas où le nœud a une masse m non nulle.

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Les phénomènes physiques mis en cause

La notion d'onde

Une onde est une déformation ou une vibration qui se propage dans un milieu défini.

Il existe trois types différents d’ondes :

  • Mécanique
  • Électromagnétique
  • Gravitationnelle

Les ondes magnétiques nécessitent une matière qui se déforme afin de se propager. Ce matériau a la capacité recouvrer son état initial grâce aux forces de restauration qui inversent la déformation.

Les ondes électromagnétiques quant à elles n’ont pas besoin de support pour se déplacer : ce sont des oscillation périodiques de champs électriques et magnétiques qui peuvent alors se déplacer dans le vide.

Les ondes gravitationnelles n’ont plus de support pour se déplacer puisque ce sont les déformations de la géométrie de l’espace-temps qui se propagent.

Propagation d’une onde

Comment fonctionne la radio ?
Les ondes se propagent dans les airs mais peuvent aussi se propager dans d'autres milieux, à condition que ces derniers ne les absorbent pas entièrement. Une onde est une particule qui se déplace. De nos jours, nous sommes traversés d'ondes de toutes parts : téléphonie mobile, télévision, radio, etc.

Un onde se propage dans un milieu qui le lui permet car la propagation résulte de la mise en mouvement d’une particule dans le temps mais aussi dans l’espace  par rapport au milieu. Cela est possible uniquement si la source est dans un état vibratoire.

On peut caractériser la propagation d’une onde par sa vitesse de propagation à l’aide la formule suivante :

    \[ c = \lambda \times f \]

Avec :

  • c la célérité de l’onde ;
  • λ la longueur d’onde ;
  • f la fréquence de l’onde.

A savoir

La vitesse de la lumière est de 300 000 km.s-1 et la célérité d’une onde sonore est de 344 m.s-1

Onde stationnaire

Une onde dite stationnaire correspond à la propagation simultanée et dans des sens opposés de plusieurs ondes de même fréquence et de même amplitude dans un même milieu. Ainsi, on observera une figure dont certains points sont fixes, appelés nœuds de pression, dans le temps. Il est alors possible d’observer une vibration stationnaire et d’intensité différente en chaque point observé au lieu de pouvoir observer une onde qui se propage.

Onde mécanique progressive

Une onde mécanique progressive correspond a un phénomène de perturbation locale dans un milieu matériel. Ainsi, pour une onde mécanique, on ne peut observer de déplacement de matière mais un transport d’énergie.

Déplacement d’énergie

L’onde lorsqu’elle se propage s’accompagne d’une modification temporaire des propriétés du milieu comme la position, la vitesse et la distance entre les particules constitutives du milieu modifié.

Ainsi, l’énergie, qu’elle soit potentielle ou cinétique, varie lorsque le signal est atteint. Notez tout de même que la variation d’énergie est temporaire et se déplace de proche en proche : elle ne dure que le temps de passage de l’onde.

La dimension d’une onde

Avant d’expliquer les dimensions d’une onde, il faut savoir qu’une onde progressive à la propriété de se propager dans toutes les directions offertes par la source de l’onde.

Onde progressive à une dimension

On dit d’une onde quelle présente une dimension quand elle est définie par une direction de propagation et par un sens de déplacement

Onde progressive à deux dimensions

On dit d’une onde quelle présente deux dimensions lorsque la propagation a lieu dans différentes direction d’un plan, c’est-à-dire un espace à deux dimensions.

Onde progressive à trois dimensions

On dit d’une onde quelle présente trois dimensions lorsque la propagation a lieu dans les différentes directions de l’espace.

Exemples

Il existe différentes façons de mettre en valeur des ondes :

  • Onde à une dimension
    • Corde vibrante
    • Fibre optique
  • Deux dimensions
    • Surface d’un plan d’eau
    • Table d’harmonie d’un instrument de musique
  • Trois dimensions
    • La propagation du son de l’orgue dans le volume intérieur d’une église
    • Interférences lumineuses dans un espace

Onde transversale

On dit d’une onde qu’elle est transversale lorsque la direction du mouvement des éléments du milieu de propagation est orthogonale à la direction de propagation.

Onde longitudinale

On dit d’une onde qu’elle est longitudinale lorsque la direction du mouvement des éléments du milieu de propagation est parallèle à la direction de propagation.

Milieu de propagation

Le milieu de propagation d’une onde doit être un milieu matériel constitué de particules en interaction de telle sorte que ces particules semblent reliées entre-elles par des petits ressorts tendant ces particules à retrouver leur position d’équilibre.

Ainsi, tout déplacement d’une particule entraînera le déplacement des particules voisines et ainsi de suite. Cet ensemble constitue alors un milieu élastique quasi-continu.

La réfraction

La réfraction de la lumière correspond au changement de direction du rayon lumineux lorsque celui-ci traverse une surface séparant deux milieux d'indices de réfraction différents.

La loi de Snell-Descartes de la réfraction exprime le changement de direction d'un faisceau lumineux lors de la traversée d'une paroi qui sépare deux milieux différents. Il faut d'abord savoir que chaque milieu est caractérisé par sa capacité à « ralentir » la lumière.

En effet, la loi de Snell-Descartes de la réfraction exprime le changement de direction d'un faisceau lumineux lors de la traversée d'une paroi qui sépare deux milieux différents. Il faut d'abord savoir que chaque milieu est caractérisé par sa capacité à « ralentir » la lumière.

On modélise cette caractéristique par son indice de réfraction n qui s'exprime sous la forme :

    \[n = \frac{c}{v}\]

v est la vitesse de la lumière dans ce milieu et c est la vitesse de la lumière dans le vide (souvent arrondie à 3.108 m.s-1

Il est important de savoir que :

  • Le rayon lumineux est dit incident avant d'avoir rencontré la surface réfractante (appelée dioptre), il est dit réfracté après avoir rencontré cette dernière.
  • Le point de rencontre du rayon incident et du dioptre est appelé point d'incidence.
  • Le plan contenant le rayon incident et la normale au dioptre, au point d'incidence est dit plan d'incidence.
  • L'angle orienté i1 pris entre la normale au point d'incidence et le rayon incident est dit angle d'incidence.
  • L'angle orienté i2 pris entre la normale au point d'incidence et le rayon réfracté est dit angle de réfraction.
  • Les angles i1 et i2 sont positifs si ils sont orientés dans le sens trigonométrique (sens inverse des aiguilles d'une montre), négatifs sinon.

On prend n1 l'indice de réfraction du milieu dans lequel se propage le rayon incident et n2 celui du milieu dans lequel se propage le rayon réfracté.

Pour pouvoir énoncer la loi de la réfraction, il faut que le rayon réfracté, le rayon incident et la normale (au dioptre) soient dans un même plan qui est appelé le plan d'incidence et que le rayon incident et le rayon réfracté soient situés de part et d'autre de la normale.

Lorsque n> n2 (et respectivement n< n2) le rayon réfracté (et respectivement : incident) se rapproche plus rapidement du dioptre que le rayon incident (ou réfracté). Cependant, il existe un cas particulier où le rayon réfracté (ou incident) se retrouve mathématiquement sur le dioptre (sa limite) : il y a alors réflexion totale.

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Clément

Freelancer et pilote, j'espère atteindre la sagesse en partageant le savoir que j'ai acquis lors de mes voyages au volant de ma berline. Curieux scientifique, ma soif de découverte n'a d'égale que la durée de demie-vie du bismuth 209.