Exercice 1 : Vidanger un réservoir

Données :

  • Le réservoir possède une surface libre d’air S = 1 m2 ;
  • Il est initialement rempli d’une hauteur ho = 1,6 m d'eau. On néglige la viscosité et toute perte énergétique ;
  • A l’instant t = 0, on ouvre tout en bas du réservoir un orifice de section 2 cm2.

1 - Quelle est la vitesse du liquide à la sortie de l’orifice, en considérant que la surface libre du liquide est quasi immobile ? En déduire dans ces conditions h(t) et la durée de la vidange.

2 - Quelle est la correction à apporter si l’on tient compte du mouvement de la surface libre pour calculer la vitesse à la sortie de l’orifice ?

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Exercice 2 : L'allumage d'une voiture

1. La batterie : principe de fonctionnement

Comment changer une batterie ?
La batterie d'une voiture est un organe indispensable à son fonctionnement. Sur un moteur diesel, la voiture ne peut pas rouler si cette dernière est défectueuse.
Pour éviter qu'elle se décharge, la voiture est alimentée en temps réel par l'alternateur, couplé au moteur.

La batterie d'une voiture est un accumulateur au plomb constitué de deux électrodes en plomb Pb(S) dont l'une est recouverte de dioxyde de plomb PbO2(s). L'ensemble est immergé dans une solution concentrée d'acide sulfurique 2H+(aq) + SO42– (aq) .

Lorsque la voiture démarre, l'accumulateur fonctionne comme une pile.

1.1 Par souci de simplification, on considérera que les couples mis en jeu sont Pb2+(aq)/Pb(s) et PbO2(s) / Pb2+(aq) . Écrire les demi-équations électroniques associées à ces deux couples.

1.2 L'accumulateur est schématisé en ANNEXE 1. Flécher les sens de circulation des porteurs de charge dans les fils de connexion et dans la solution d'acide sulfurique.

1.3 Justifier que l'équation de la réaction modélisant la transformation chimique qui a lieu lors du démarrage de la voiture peut s'écrire : Pb(s) + PbO2 (s) + 4 h+(aq) = 2 Pb2+(aq) + 2H2O(l)

Lorsque la voiture roule, la batterie se recharge et fonctionne comme un électrolyseur.

1.4 Indiquer si la transformation chimique envisagée est spontanée ou forcée. En déduire, sur l'ANNEXE 2 (à rendre avec la copie), le sens de circulation du courant électrique.

1.5 Sachant que les mêmes couples oxydant / réducteur interviennent lors du démarrage de la voiture et lorsqu'elle roule, écrire l'équation de la réaction modélisant la transformation chimique qui a lieu lors de la recharge de la batterie.

1.6 Préciser pour chaque électrode la nature (oxydation ou réduction) de la réaction observée. Puis indiquer, sur l'ANNEXE 2 (à rendre avec la copie), la cathode et l'anode.

2. Étude de l'allumage de la voiture

Pour permettre l'allumage des bougies d'une voiture, une étincelle est créée au niveau des bougies. La formation de cette étincelle est liée à l'ouverture, puis à la fermeture d'un circuit comprenant notamment une bobine.

Un courant électrique circule dans un circuit comprenant la batterie de la voiture, la bobine appelée bobine primaire et un interrupteur électronique.

On considérera que la batterie de la voiture délivre une tension continue qui vaut E = 12 V.

La bobine primaire est caractérisée par une inductance L et une résistance interne r = 0,50 Ω.

Le schéma simplifié du principe est donné ci-après où R représente la résistance des autres éléments du circuit. On prendra R = 2,5 Ω.

2.1. L'interrupteur est fermé

À t = 0, le courant ne circule pas dans le circuit. Puis l'interrupteur est fermé.

2.1.1. Donner l'expression de la tension u aux bornes de la bobine primaire en fonction de r, L et i.

2.1.2. Déterminer graphiquement la valeur de la constante de temps t du circuit à partir de la courbe choisie.

2.1.3. Donner l’expression littérale de la constante de temps t en fonction des paramètres du circuit.

2.14. En déduire la valeur de l’inductance L de la bobine primaire.

2.1.5. Donner l’expression littérale de l’énergie WL emmagasinée dans la bobine primaire.

2.2. Étude de la formation de l’étincelle

Après la phase précédente, on modifie le circuit pour que l’intensité du courant diminue.

2.2.1. En modifiant les paramètres du circuit, on peut obtenir différentes allures de l’intensité du courant circulant dans la bobine. Deux courbes représentant l’allure de cette intensité sont proposées ci-dessous. Le coefficient directeur de la tangente à l’origine est représenté par

    \[\frac { | \Delta i | } { | \Delta t | }\]

A quelle courbe correspond la valeur de

    \[\frac { | \Delta i | } { | \Delta t | }\]

 à t = 0 la plus élevée ?

2.2.2. Cette bobine primaire est associée à une bobine secondaire, placée dans un autre circuit. Ce circuit, que l’on n’étudiera pas, comprend les bougies de l’allumage. La bobine secondaire est choisie de telle sorte que la tension u2 à ses bornes soit proportionnelle à

    \[\frac { | \Delta i | } { | \Delta t | }\]

 à t = 0. L’étincelle au niveau de la bougie apparaît si la tension u2 est suffisamment importante. Indiquer quelle courbe permettrait d’obtenir plus facilement une étincelle au niveau des bougies.

Annexe 1
Annexe 2

Exercice 3 : Les performances de la voiture électrique

Les voitures électriques sont réputées pour être les plus rapides au démarrage. L’étude de l’évolution de la vitesse au cours du temps est menée sur la base d’une vidéo du tableau de bord d’une voiture électrique, départ arrêté, en ligne droite.

Photographie extraite de la vidéo du tableau de bord de la voiture étudiée

On relève la vitesse de la voiture électrique au cours du temps. Les mesures obtenues sont reportées dans le graphique ci-dessous.

Évolution de la vitesse de la voiture électrique au cours du temps

Donnée :

  • Masse de la voiture : ݉ = 1,6 × 103 kg.
Comment recharger sa voiture ?
Si la puissance délivrée par une voiture électrique est plus rapide que sur un moteur thermique, c'st au niveau de l'autonomie que les voitures thermiques l'emportent : aucune batterie ne permet d'avoir une autonomie comparable à celle d'un réservoir de carburant.

1. Identifier le référentiel adopté pour les valeurs de la vitesse indiquée par le compteur de la voiture.

Les constructeurs caractérisent l’accélération d’une voiture en donnant la durée nécessaire pour que la voiture atteigne 100 km/h. Dans le cas de la voiture étudiée, on mesure, par suivi de la vitesse donnée sur le tableau de bord, une durée de 8,3 s.

2. Déterminer la valeur de l’accélération moyenne de la voiture. On étudie le graphique donnant la vitesse de la voiture en fonction du temps.

3. On choisit de modéliser la dépendance entre la vitesse et le temps par une relation de proportionnalité. Déterminer graphiquement la valeur de l’accélération de la voiture en faisant apparaitre la démarche sur le document-réponse 1 de l’annexe. Comparer avec la valeur obtenue à la question 2.

4. Déterminer la valeur de la distance nécessaire pour réaliser ce test. Commenter en la comparant au contexte quotidien de l’usage d’une voiture.

5. Déterminer, à accélération constante, par quels facteurs la distance parcourue et la vitesse atteinte sont divisées lorsque la durée d’observation est divisée par deux.

6. Déterminer la valeur de la résultante des forces extérieures exercées sur la voiture.

7. Déterminer la valeur de la variation d’énergie cinétique de la voiture lorsqu’elle a parcouru une distance de 100 m. À l’aide d’un diagramme énergétique, représenter les conversions d’énergie mises en jeu lors de cette phase du mouvement de la voiture.

Évolution de la vitesse de la voiture électrique au cours du temps

Exercice 4 : Les ondes au service de la conduite

« Sans les mains ! C'est de cette manière que vous pourrez, peut-être très bientôt, conduire votre prochaine voiture... ». Cette phrase évoque ici la voiture autonome dont la commercialisation sera lancée aux alentours de 2020.

Cette voiture « se conduira seule », car elle aura une perception globale de son environnement grâce à la contribution de plusieurs capteurs : télémètre laser à balayage (LIDAR*), caméra, capteurs à infrarouge, radars, capteurs laser, capteurs à ultrasons, antenne GPS ...

*LlDAR = Light Detection And Ranging

Un odomètre mesure la distance parcourue par la voiture.

L'objectif de cet exercice est d'étudier quelques capteurs présents dans une voiture autonome.

Comment fonctionne une voiture autonome ?
Au delà d'apporter un certain confort de conduite, les voitures autonomes permettent surtout d'améliorer la sécurité sur les routes.

Principe de fonctionnement des capteurs

Les radars, capteurs ultrasonores et lasers sont tous constitués d'un émetteur qui génère une onde pouvant se réfléchir sur un obstacle et d'un capteur qui détecte l'onde réfléchie. Le capteur permet de mesurer la durée entre l'émission et la réception de l'onde après réflexion sur l'obstacle.

Le radar utilise des ondes radio. Le sonar utilise des ultrasons tandis que le laser d'un LIDAR émet des impulsions allant de l'ultra-violet à l'infrarouge.

Extrait d'une notice de « radar de recul » (aide au stationnement)

En marche arrière le « radar de recul » se met en fonction automatiquement.
L'afficheur indique la distance de l'obstacle détecté pour des valeurs comprises entre 0,3 m et 2 m.
L'afficheur dispose d'un buzzer intégré qui émet un signal sonore dont la fréquence évolue en fonction de la distance à l'obstacle.

Extrait d'un document d'un constructeur automobile : système autonome de régulation de vitesse ACC.

Le système ACC traite les informations d'un capteur radar afin d'adapter la vitesse de la voiture en fonction des véhicules qui la précèdent. Les caractéristiques du capteur radar d'un système ACC sont données ci-dessous.

FonctionnalitéDétermine la distance, la vitesse et la direction d'objets mobiles roulant devant le véhicule
Fréquence d'émission76 – 77 GHz
Portée minimale1 m
Portée maximale120 m
Activation du capteurVitesse > 20 km.h–1

Données :

  • Célérité du son dans l'air à 20 °C : v = 343 m.s–1 ;
  • Célérité de la lumière dans le vide ou dans l'air : c = 3,0´108 m.s–1.

1. Propriétés de quelques capteurs présents dans la voiture autonome

1.1. Compléter le tableau de l'annexe à rendre avec la copie en précisant pour chaque capteur le type d'ondes utilisées.

1.2. À l'aide du tableau ci-dessous, déterminer le nom de la bande d'ondes radio utilisées par le capteur radar de l'ACC. Justifier votre réponse à l'aide d'un calcul.

Nom de bande d'ondes radioWLHF
Longueurs d'onde dans le vide2,7 mm - 4,0 mm15 cm – 30 cm10 m – 100 m

1.3. La vitesse relative (différence de vitesse) entre la voiture équipée du système ACC et un objet peut être calculée par le biais de l'effet Doppler. Recopier en les complétant les deux phrases suivantes :

Si l'objet se rapproche de l'émetteur, la fréquence de l'onde réfléchie ...

Si l'objet s'éloigne de l'émetteur, la fréquence de l'onde réfléchie ...

2. Plage de détection d'un obstacle pour le « radar de recul »

Ce « radar de recul » est composé de quatre capteurs ultrasonores identiques. Chacun de ces capteurs a une portée minimale dmin = 0,30 m d'après la notice. Cela signifie qu'un obstacle situé à une distance du capteur inférieure à dmin ne sera pas détecté.

Le capteur est constitué d'un matériau piézo-électrique utilisé à la fois pour fonctionner en mode émetteur ou en mode récepteur. Il ne peut fonctionner correctement en récepteur que lorsqu'il a fini de fonctionner en émetteur. Pour cette raison, le capteur génère des salves ultrasonores de durée Dt1 = 1,7 ms avec une périodicité Dt2 = 12 ms.

La figure ci-dessous illustre ce fonctionnement.

2.1. Légender la figure de l'annexe à rendre avec la copie en indiquant les durées Dt1 et Dt2.

2.2. Faire un schéma représentant un capteur détectant un obstacle et y faire apparaître sa portée minimale dmin et sa portée maximale dmax en précisant leurs valeurs.

2.3. Vérifier que pour la distance dmin entre le capteur et l'obstacle, la durée entre l'émission et la réception est égale à Dt1.

2.4. Si la durée que met l'onde émise pour revenir au capteur est inférieure à Dt1, pourquoi le capteur ne peut-il pas détecter l'obstacle de manière satisfaisante ? Justifier la réponse.

2.5. Quelle caractéristique du signal de l'émission doit-on alors modifier pour que le capteur puisse détecter un obstacle situé à une distance inférieure à dmin ? Justifier votre réponse.

2.6. Montrer que la valeur de la portée maximale de ce capteur est liée essentiellement à une des caractéristiques du signal émis.

3. Les radars, les capteurs ultrasonores et les capteurs lasers permettent avec des similitudes dans leur principe de fonctionnement de détecter un obstacle. Pourquoi ne pas utiliser alors un seul de ces trois types de capteurs dans un projet de voiture autonome ?
On rédigera une réponse argumentée en s'appuyant sur des informations tirées des différents documents utilisés, y compris le tableau de l'annexe.

Tableau à compléter :

CapteurRadarCapteurs à
ultrasons
Capteur laser
(LIDAR)
Type d'onde utilisée par le capteur : mécanique / électromagnétique.........
Points fortsLongue portée, robustesse face aux conditions
météorologiques, bonne performance de détection.
Réalisation simple, coût abordable traitement simple des données.Longue portée, grande précision, bonne résolution, coût accessible.
Points faiblesPollution électromagnétique, coût relativement élevé,
encombrement, interférences électromagnétiques.
Précision de détection sujette à la température, sensibilité aux conditions météorologiques.Dérèglements fréquents, grande sensibilité aux conditions météorologiques, interférences.

Exercice 5 : Systèmes libres et forcés dans une automobile

Comment changer un amortisseur ?
Un amortisseur de voiture se compose de deux parties : la fusée, qui fonctionne soit à gaz soit à fluide hydraulique (huile) et d'un ressort qui absorbe les chocs les plus gros.

1. La suspension : les amortisseurs

La suspension d'une automobile permet d'atténuer les oscillations verticales, inconfortables et dangereuses pour les passagers, se produisant lors du passage dans un trou ou sur un obstacle. Elle se compose au niveau de chaque roue d'un ressort et d'un amortisseur (généralement à huile).
Pour étudier ce système, l'automobile est modélisée par un solide de masse m, de centre d'inertie G reposant sur un ressort vertical de constante de raideur k. Le repérage des positions y du centre d'inertie de l'automobile se fait selon un axe vertical Oy orienté vers le haut ; l'origine O est choisie à la position d'équilibre G0 du centre d'inertie du solide. Les amortisseurs engendrent globalement une force de frottement opposée au vecteur vitesse du solide et proportionnelle à sa valeur ; le coefficient de proportionnalité η s'appelle coefficient d'amortissement.

1.1. Quelle est l'expression correcte de la période propre T0 de l'oscillateur ? La justifier par une analyse dimensionnelle :

    \[ a : T _ { 0 } = 2 \pi \sqrt { \frac { k } { m } } \]

    \[ b : T _ { 0 } = 2 \pi \sqrt { \frac { m } { k } } \]

    \[ c : T _ { 0 } = 2 \pi \sqrt { k \cdot m } \]

1.2. On considère deux automobiles A1 et A2, assimilables chacune à un solide de même masse m reposant sur un ressort vertical de constante de raideur k = 6,0 x 105 N . m–1. La figure ci-après
présente les courbes y(t) des positions du centre d'inertie G du solide modélisant chaque automobile lors du passage sur une bosse.

1.2.1 Les oscillations sont-elles libres ou forcées ?

1.2.2 Donner les noms des régimes associés aux courbes 1 et 2.

1.2.3 L'une des courbes présente une pseudo-période. Déterminer graphiquement sa valeur.

1.2.4 En admettant que la valeur de la pseudo-période est très voisine de celle de la période propre, calculer la masse m commune de chaque automobile.

1.2.5 Les allures différentes des courbes sont dues au coefficient d'amortissement η.
Quelle courbe correspond à la plus grande valeur de η  ? Justifier la réponse.
Quelle automobile possède la meilleure suspension ?

1.3. De nombreux garages possèdent un dispositif permettant de tester la suspension d'une automobile :
il impose à la roue testée une excitation verticale périodique dont on peut faire varier la fréquence f. Le dispositif permet d'enregistrer l'amplitude des oscillations de la caisse en fonction de la fréquence.

Les courbes ci-dessous ont été obtenues lors de deux tests réalisés sur deux amortisseurs.

1.3.1 À quel type d'oscillations sont soumis les amortisseurs lors de ces tests ? Justifier la réponse en citant un verbe dans la description du dispositif servant au test.

1.3.2 L'amplitude des oscillations passe par un maximum pour une fréquence voisine d'une fréquence caractéristique de l'amortisseur. Laquelle ? Comment s'appelle alors ce phénomène ?

1.3.3 Quel est l'amortisseur qui assure le plus de confort aux passagers ?

2. L'alimentation électrique: l'accumulateur au plomb

La batterie de démarrage d'une automobile est constituée par l'association, en série, de plusieurs éléments d'accumulateurs au plomb.

Un élément d'accumulateur comprend deux électrodes : l'une est en plomb métal Pb(s), l'autre est recouverte de dioxyde de plomb PbO2(s). Elles sont immergées dans une solution aqueuse d'acide sulfurique. Les deux couples oxydant / réducteur impliqués dans le fonctionnement de cet accumulateur sont : PbO2(s) / Pb2+ (aq) et Pb2+ (aq) / Pb(s).

2.1. Lors de la décharge, l'accumulateur joue le rôle de générateur. L'oxydant PbO2(s) et le réducteur Pb(s) réagissent spontanément l'un sur l'autre.

2.1.1 En écrivant les équations aux électrodes, montrer que l'équation de la réaction s'écrit alors : PbO2(s) + 4 H+ (aq) + Pb(s) = 2 Pb2+ (aq) + 2 H2O(l)

2.1.2 Identifier l'électrode négative de ce générateur en justifiant la réponse.

2.1.3 Le fonctionnement du démarreur nécessite un courant d'intensité 200 A.
Le conducteur actionne le démarreur pendant 1,0 s ; quelle est la masse de plomb Pb(s) consommée ?

Données:

  • Masse molaire atomique du plomb: 207,2 g.mol-1 ;
  • 1 faraday (1 F) = 96500 C.mol–1 ;
  • Constante d'Avogadro NA = 6,02 x 10 23 mol-1 ;
  • Charge électrique élémentaire   e = 1,6 x 10–19 C.

2.2. Lors de la charge, l'accumulateur joue le rôle d'électrolyseur. Un générateur de charge, de force électromotrice supérieure à celle de l'accumulateur est branché en opposition avec celui-ci: la borne positive du générateur est reliée à l'électrode positive de l'accumulateur, la borne négative à l'électrode négative. Le sens du courant est imposé par le générateur de charge.

2.2.1. Écrire l'équation de la réaction chimique se produisant lors de la charge.

2.2.2. La transformation est-elle spontanée ou forcée ?

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Clément

Freelancer et pilote, j'espère atteindre la sagesse en partageant le savoir que j'ai acquis lors de mes voyages au volant de ma berline. Curieux scientifique, ma soif de découverte n'a d'égale que la durée de demie-vie du bismuth 209.