Les courants de Foucault, quelques rappels

Les courants de Foucault sont des courants électriques qui se trouvent au centre d'une masse conductrice. Ces courants sont provoqués par la variation de champ magnétique extérieur qui traversent la masse ou par le déplacement de cette dernière au sein du champ.

Qu'est-ce qu'une bobine ?
Un bobine est un élément en électricité qui permet de stocker de l'énergie. Elle est constituée d'un long fil de cuivre enroulé, un peu comme un ressort.

Histoire des courants de Foucault

Ces phénomènes physiques sont notés ainsi du nom de Jean Bernard Léon Foucault. Ce physicien d'origine française, a vécu de 1819 à 1868. Récompensé par de nombreuses distinctions, c'est à lui que l'on doit l'invention du gyroscope. Il a aussi démontré que la Terre tourne sur elle même grâce au pendule de Foucault. Passionné d'astronomie, c'est aussi un domaine dans lequel il a beaucoup travaillé.

Explication de leur fonctionnement

Lorsqu'une masse conductrice est introduite dans un champ magnétique, une force électromotrice apparaît. C'est elle qui est à l'origine des courants dans la masse. Il se produit alors deux effets : la création d'un champ magnétique en opposition à la cause de variation du champ extérieur, ce qui est décrit par la loi de Lenz, et un échauffement, causé par l'effet Joule de la masse conductrice. Cet échauffement augmente plus la vitesse entre l'inducteur et la pièce conductrice est élevée.

Ces deux effets causent alors de forces de Laplace qui s'opposent au déplacement de l'énergie.

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Exercices sur les courants de Foucault

Comment volent les drones ?
Les gyroscopes sont des équipements qui permet de calculer un mouvement dans l'espace selon 3 axes : x, y et z. De nos jours, les gyroscopes sont présents dans de nombreux appareils tels que les téléphones, les hélicoptères ou encore les drones.

Exercice 1 : Le solénoïde

Un solénoïde long est parcouru par un courant i(t) = Io.cos(ωt).

En son centre O est placé une plaque métallique de conductivité γ, d’épaisseur e faible, de largeur a, de longueur L grande (e <<  a << L).
1 - Déterminer les courants qui prennent naissance dans la plaque, en basse fréquence.

2 - Justifier l’hypothèse précédente en calculant le champ magnétique créé en O par ces courants.

Exercice 2 : Le pendule de Foucault

Depuis 1996, au Panthéon à Paris, on peut observer la reconstitution de l’expérience menée par Léon Foucault en 1851. Celle-ci avait permis de confirmer, sans observation du ciel, la rotation de la Terre sur elle-même.

Une sphère en plomb, de 20 cm de diamètre, de masse 47 kg, est suspendue sous le dôme de l’édifice par un fil en acier très fin d’une longueur de 67 m.

Le pendule ainsi constitué oscille librement.

On constate qu’au cours de la journée le plan d’oscillation tourne lentement dans le sens des aiguilles d’une montre autour d’un axe vertical.

La première partie traite des oscillations d’un pendule simple et la seconde du pendule de Foucault.

Dans tout l’exercice, les amplitudes angulaires qmax des oscillations sont inférieures à 10°, soit 0,17 rad. On considère qu’on est dans le cadre des petites oscillations.

Données :

  • La valeur g du champ de pesanteur en un point à la surface de la Terre dépend de la latitude l du lieu, elle ne dépend pas de sa longitude ;
  • Valeur du champ de pesanteur à Paris : gParis = 9,8 m.s-2 ;
  • Période de rotation de la Terre dans le référentiel géocentrique : TTerre = 24 h.

1. Période propre d’un pendule simple

On appelle pendule simple un système constitué d’un fil inextensible de longueur L, dont une extrémité est fixée à un support et l’autre attachée à un objet quasi ponctuel de masse m. La masse du fil est négligeable par rapport à la masse de l’objet.

Qu'est-ce qu'un pendule ?
Un pendule est un poids en acier, suspendu à u fil ou une ficelle que l'on utilise soit en astronomie, en architecture ou encore par certains médiums.

1.1. Étude dynamique

Un pendule simple, constitué d’une petite sphère assimilée à un point B, de masse m = 50 g et d’un fil AB de longueur L = 2,0 m, est écarté de sa position d’équilibre d’un angle q0 inférieur à 10° puis lâché sans vitesse initiale (se reporter à LA FIGURE A3 DE L’ANNEXE).

Le plan (O, i, k) contient la verticale AO passant par le point de suspension A et la position initiale B0 du point B.

La position du point B peut être repérée par l’abscisse angulaire θ = (AO, AB) ou par ses coordonnées (x,z) dans le plan (O, i, k).

1.1.1 SUR LA FIGURE A3 DE L’ANNEXE, représenter sans souci d’échelle les forces qui s’exercent sur la sphère B pour un angle q Toutes les actions de l’air sont négligées.

1.1.2 L’application de la deuxième loi de Newton dans le référentiel terrestre, considéré en première approche comme galiléen permet de montrer que le mouvement s’effectue bien dans le plan (xOz).

a. Énoncer la deuxième loi de Newton sous la forme d’une phrase.

b. Quels éléments permettent de justifier l’affirmation que le mouvement est plan ?

Dans l’approximation des petites oscillations, l’application de la deuxième loi de Newton permet d’établir l’expression de x(t).

On donne trois possibilités pour x(t) dans lesquelles K est une constante positive :

(a) :

    \[x(t) = K \cdot \sin ( \frac{2 \pi} {T_{0}}\cdot t )\]

(b) :

    \[x(t) = - K \cdot \cos ( \frac{2 \pi} {T_{0}}\cdot t )\]

(c) : 

    \[x(t) = K \cdot \cos ( \frac{2 \pi} {T_{0}}\cdot t )\]

Le pendule étant lâché sans vitesse initiale à t = 0 d’un angle correspondant à LA FIGURE A3 DE L’ANNEXE, choisir l’expression qui vérifie les conditions initiales.

1.2. Étude de la période

1.2.1 On montre que la période propre du pendule simple a pour expression :

    \[T _ { 0 } = 2 \pi \cdot \sqrt{\frac{L}{g}}\]

Vérifier l’homogénéité de l’expression par analyse dimensionnelle.

1.2.2 À partir du XVIIIème siècle, les horloges à balancier furent très utilisées pour mesurer le temps.

a. On considère, à Paris, une horloge dont le balancier a une longueur L = 1,0 m. Le balancier d’une telle horloge est un pendule aux oscillations entretenues et de faible amplitude que l’on peut modéliser par un pendule simple. Calculer la période propre du balancier de cette horloge.

b. Pourquoi dit-on que cette horloge « bat la seconde » ?

c. Que penser des indications données par cette horloge dans un lieu de latitude différente de celle de Paris ?

2. Pendule de Foucault

2.1. Période du pendule

Les dimensions précisées dans le texte d’introduction montrent que le pendule de Foucault installé au Panthéon peut être assimilé à un pendule simple.

On filme le mouvement de ce pendule pendant quelques minutes, durée assez courte pour pouvoir négliger la rotation de son plan d’oscillation.

Après traitement de la vidéo par un logiciel de relevés de positions, on trace la courbe représentant
l’abscisse x du centre B de la sphère en fonction du temps.

Cette courbe est reproduite sur la figure 3 ci-dessous.

2.1.1 Déterminer graphiquement la valeur de la pseudo-période T des oscillations à 0,1 seconde près.

2.1.2 On rappelle que, compte tenu du faible amortissement, la pseudo-période est très voisine de la période propre. À partir de la valeur de la pseudo-période trouvée précédemment, retrouver la longueur du pendule de Foucault décrit dans le texte d’introduction.

2.2. Amortissement

2.2.1 Quelle est l’origine de l’amortissement constaté dans les oscillations ?

2.2.2 Préciser la nature des conversions d’énergies mises en jeu lors des oscillations du pendule.

2.2.3 Comment évolue l’énergie mécanique du pendule au cours du temps ?

2.3. Rotation du plan d’oscillation

Une observation plusieurs heures montre que le plan d’oscillation tourne lentement, à vitesse constante, autour de l’axe vertical passant par le point de suspension A ; pour le pendule de Foucault installé au Panthéon à Paris, en un jour, soit 24 h, ce plan tourne de 270° dans le sens des aiguilles d’une montre, comme l’illustre la figure 4 ci-dessous.

Figure 4. Rotation du plan d’oscillation au cours d’une journée

De nombreux pendules de Foucault ont été réalisés et placés en différents lieux sur la Terre. L’étude de leurs mouvements montre que la période de rotation du plan d’oscillation, notée t, dépend uniquement de la
latitude l du lieu (voir les documents présentés AUX FIGURES A4 ET A5 DE L’ANNEXE).

2.3.1 Pour un observateur fixe dans le référentiel terrestre, le mouvement du pendule n’est pas plan.
Cette observation est en désaccord avec l’application de la deuxième loi de Newton évoquée à la question 1.1.2. Que peut-on en conclure quant au référentiel terrestre choisi pour faire l’étude ?

2.3.2 Calculer, pour le pendule installé au Panthéon, la période de rotation du plan d’oscillation, notée t. Compléter la case vide du tableau DE LA FIGURE A4 DE L’ANNEXE.

2.3.3 Reporter le point correspondant sur le graphe

    \[\tau = f ( \frac{1}{| sin \lambda | } )\]

DE LA FIGURE A5 DE L’ANNEXE.

En déduire une méthode pour déterminer, à l’aide d’un pendule de Foucault, la latitude d’un lieu.

Dans la pratique, on utilise d’autres méthodes pour déterminer la latitude d’un lieu.

Exercice 3 : Le super condensateur

Promis à un grand avenir, les super condensateurs sont des dispositifs de stockage de l’énergie, intermédiaires entre les accumulateurs électrochimiques et les condensateurs traditionnels. Leurs applications, qui n’en sont qu'à leurs débuts, touchent de nombreux domaines tant dans l'électronique de grande diffusion que dans l'électronique de puissance, notamment en ouvrant des perspectives intéressantes dans le domaine des véhicules hybrides.

Au cours d’une séance de travaux pratiques, les élèves ont à déterminer la valeur de la capacité d’un condensateur par plusieurs méthodes.

Où trouver un condensateurs ?
Les condensateurs sont présents dans la plupart des circuits imprimés dans les appareils électroniques tels que les ordinateurs, les téléphones portables, etc.

1. Charge d’un condensateur à courant constant

Une première méthode consiste à charger le condensateur à l’aide d’un générateur délivrant un courant d’intensité I constant, selon le montage suivant.

À la date t = 0 s, on ferme l’interrupteur K et on enregistre, à l’aide d’un système informatique, les variations au cours du temps de la tension uR aux bornes du conducteur ohmique de résistance R = 20 W et de la tension u aux bornes du condensateur. Après traitement, on obtient les courbes ci-après :

Questions

1.1. Montrer que le graphe i(t) est obtenu à partir de l’enregistrement de uR(t).

1.2. Utiliser l’un des graphes pour déterminer la relation numérique entre la tension u aux bornes du condensateur et le temps. Justifier le calcul.

1.3. En considérant qu’à t = 0 s le condensateur est déchargé, donner l’expression littérale de la charge qA portée par l’armature A du condensateur en fonction du temps.

1.4. Calculer le quotient qA / u. Que représente-t-il ?

2. Charge d’un condensateur à tension constante.

Une autre manière de déterminer la valeur de la capacité d’un condensateur, consiste à charger ce dernier avec un générateur de tension constante E = 5,0 V associé à une résistance R = 20 Ω, en série avec le condensateur selon le schéma suivant :

On ferme l’interrupteur K à t = 0 s, un dispositif informatique (acquisition et traitement) permet d’obtenir les variations de l’intensité dans le circuit et de la tension aux bornes du condensateur au cours du temps. On obtient les deux courbes ci-dessous :

2.1. D’après les graphes, quelles sont les valeurs de u et i lorsque le condensateur est chargé ?

2.2. Rappeler l’expression de la constante de temps τ du circuit. La déterminer graphiquement en précisant la méthode.

2.3. En déduire la valeur de la capacité du condensateur. Comparer avec la valeur obtenue dans la partie 1, question 1.4.

2.4. En respectant les notations du montage, montrer que la tension u vérifie l’équation différentielle :

    \[E = RC \cdot \frac { \text{d}u} {\text{d} t} + u\]

2.5. La solution de cette équation différentielle est de la forme u(t) = E (1 – e-t/τ ) où t est la constante de temps du circuit. Montrer que pour t = 5τ , le condensateur est quasiment chargé. Le vérifier graphiquement.

3. Oscillations dans un circuit (R, L, C).

Une autre solution pour déterminer la valeur de la capacité du condensateur est d’établir des oscillations électriques dans un circuit (R, L, C). Le condensateur, préalablement chargé sous une tension E = 5,0 V, est relié à une bobine d’inductance L = 1,0 H et de résistance r = 20 Ω, selon le schéma suivant :

L’acquisition de la tension aux bornes du condensateur permet d’obtenir la courbe suivante :

3.1. À l’aide de considérations énergétiques, expliquer pourquoi on observe des oscillations électriques dans le circuit.

3.2. Qualifier le régime d’oscillations obtenu.

3.3. Déterminer la valeur d’une grandeur temporelle liée aux oscillations.

3.4. La période propre des oscillations d’un circuit (L, C) est donnée par T0 = 2 π  où L représente l’inductance de la bobine et C la capacité du condensateur. En assimilant la grandeur temporelle précédente à cette valeur, en déduire la capacité du condensateur. Comparer le résultat avec ceux obtenus par les deux précédentes méthodes.

Exercice 4 : Les oscillations électriques dans la cuve à ondes

Pour étudier les ondes progressives sinusoïdales à la surface de l'eau, on utilise une cuve
à ondes.

Un vibreur permet de générer des ondes planes circulaires de fréquence N à la surface de
l'eau. Les crêtes des vagues donnent des rides brillantes et les creux des rides sombres
sur un écran que l'on photographie.

Afin d'apprécier l'échelle, 2 marques A et B ont été faites sur l'écran qui correspondent à
une distance AB = 7,0 cm dans la cuve.

 

  1. A) Étude du vibreur

 

La surface de l'eau est excitée par de l'air pulsé : les pulsations sont créées par une petite
pompe. Leur fréquence peut être réglée de 10 à 40 Hz grâce à un oscillateur électrique
entretenu.

Les oscillations électriques peuvent être obtenues à l'aide d'un condensateur de capacité
C= 30 µF relié à une bobine d'auto-inductance L et de résistance r.

1. A l'instant t = 0 s, on relie le condensateur portant la charge Q0 à la bobine. On peut, à
l'aide d'une interface appropriée, visualiser uC(t) : tension aux bornes du condensateur, sur l'écran d'un ordinateur et on obtient la courbe n°1 (page 3 ).

a) uC(t) est-elle une fonction périodique ? Comment qualifie-t-on un tel régime d'oscillations ?
b) Calculer l'énergie E0 emmagasinée par le condensateur à l'instant t0 = 0 s.
c) Calculer l'énergie E1 emmagasinée par le condensateur à l'instant t1 = 30 ms.
d) Interpréter la variation de l'énergie entre les instants to et t1.
e) Ce dispositif peut-il être utilisé pour créer les oscillations à la surface de l'eau ?

2. On désire entretenir les oscillations.

a) Que signifie: "entretenir les oscillations" ?
b) Pour ce faire, on introduit un montage équivalent à un dipôle D fournissant une puissance p = r i2 où r a la même valeur que la résistance de la bobine. Quel est le nouveau régime des oscillations ?
c) Quelle est alors la forme de uC(t) ? Ce montage peut-il être utilisé pour générer des ondes sinusoïdales dans la cuve ? (justifier).

 

d) Quelle est la fréquence propre des oscillations si L = 0,75 H et C = 30 mF ?

B) Étude des ondes

1. Mesure de la célérité des ondes.

1.1.    A l'aide du vibreur, on crée des ondes progressives sinusoïdales de fréquence N à la surface de l'eau. Le phénomène observé possède une longueur d’onde l.

a) Définir la longueur d’onde λ.
b) Quelle relation existe-t-il entre la longueur d’onde λ, la fréquence N et la célérité v des ondes  observées ?

1.2.    A l'aide de la photo 1, déterminer le plus précisément possible la longueur d'onde λ1 et calculer la célérité v1 des ondes sachant que pour cette expérience 1 la fréquence des vibrations est N1 = 8,0 Hz.

1.3. Une expérience 2 est réalisée à une fréquence différente N2 = 17 Hz.

a) A l'aide de la photo 2, montrer que la célérité des ondes varie avec leur fréquence.

b) Comment appelle-t-on ce phénomène ?

c) Décrire une expérience permettant d'observer ce phénomène avec des ondes lumineuses.

2. Influence de la profondeur de l'eau sur la célérité des ondes.

2.1.    Pour étudier l'influence de la profondeur h de l'eau sur la célérité des ondes, on place sur le fond de la cuve une plaque (P) de plexiglas transparent. On délimite ainsi des zones de profondeur h et h' (h' < h). On génère des ondes incidentes planes sinusoïdales de fréquence N = 11 Hz. Montrer, en utilisant la photo 3, que la célérité des ondes dépend de la profondeur de l'eau.

2.2. On remplace la plaque P par une plaque P', on obtient la photo n° 4. Quel phénomène observe-t-on ? (On pourra se référer à des phénomènes lumineux abordés en seconde).

2.3.1. En eau très profonde, pour des vagues de basse fréquence, on peut démontrer que la célérité v des ondes ne dépend pratiquement plus de h. Elle varie alors proportionnellement à la période T suivant la loi :

    \[v = \frac { g } { 2 \pi } T\]

Avec :

  • g intensité de la pesanteur (g = 9,8 m s-2).

Calculer v1 et v2 pour les fréquences N1 = 5,0 Hz et N2 = 10 Hz, ainsi que les longueurs d'onde λ1 et λ2 correspondantes.

2.3.2. On excite sinusoïdalement un point S à partir de l'instant t = 0 s. On observe un point M à 10 m de S. A quel instant t1 le point M entre t-il en vibration si la fréquence excitatrice en S est N1 = 5 Hz ?
Calculer de même l'instant t2 pour une fréquence N2 = 10 Hz.

2.3.3. En fait, on lance une pierre au point S ; l'ébranlement est supposé être
constitué par la superposition d'ondes sinusoïdales de différentes fréquences allant de quelques Hertz à une dizaine de Hertz.
Le point M (au centre des photos 5 et 6, page 4) est photographié à des instants différents.
Donner, en le justifiant, l'ordre chronologique des deux prises de vue.

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Clément

Freelancer et pilote, j'espère atteindre la sagesse en partageant le savoir que j'ai acquis lors de mes voyages au volant de ma berline. Curieux scientifique, ma soif de découverte n'a d'égale que la durée de demie-vie du bismuth 209.