Exercice 1

Une tige métallique homogène de masse m, de longueur l, de moment d'inertie par rapport à l'axe Ox perpendiculaire au plan de figure J=ml2/3 est en liaison pivot parfaite avec cet axe.

L'axe Oz est vertical ascendant. On note θ l'angle entre Oz et la barre.

Comment abaisser la température ?
Dans les centrales nucléaires, des barres métalliques descendent dans les chambres de combustion afin de réduire la température des ces dernières.

On désigne par g l'intensité du champ de pesanteur.

La barre subit de la part d'un ressort en spirale un couple de torsion de constante de torsion C qui s'annule lorsque θ = 0.

On posera α = 2C/mgl.

1. Préciser les actions subies par la barre.

2. Montrer que le système est conservatif et préciser son énergie potentielle.

3. Par une étude graphique, trouver les valeurs de α pour que θ = 0 soit une position d'équilibre stable du système.

4. Dans ce cas, calculer la période T des petites oscillations autour de cette position d'équilibre stable.

5. Calculer la variation relative ΔT/T lorsque g subit la très faible variation Δg.On pourra différencier lnT.

6. Ce dispositif permet donc de mesurer les variations de g par mesure des variations de T. Comment faut-il choisir α pour obtenir une bonne sensibilité ?

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Exercice 2

Une nouvelle exoplanète a été détectée, le 15 septembre 2005, par une équipe européenne d’astronomes. La planète HD 189733b de la constellation du petit renard a pu être détectée et étudiée simultanément par la combinaison de deux méthodes : vitesse radiale et occultation. Elle est une des rares exoplanètes dont les chercheurs ont, à ce jour, pu déterminer à la fois la masse exacte et le rayon et conclure qu’il s’agit d’un « gros Jupiter chaud ». De ce fait, et compte-tenu de la proximité (environ 60 années-lumière de la Terre), l’exoplanète HD 189733b offre à la communauté scientifique de riches horizons d’études complémentaires.

Cet exercice aborde certains aspects du principe de détection de cette exoplanète et envisage sa possible habitabilité.

1.Illustration du principe de détection par vélocimétrie

QU'est-ce qu'une exoplanète ?
En astronomie, on définit une exoplanète comme une planète qui tourne autour d'une étoile différente de celle du Soleil.

Une exoplanète est une planète qui tourne autour d’une étoile autre que le Soleil. L’ensemble des deux est appelé système {étoile-planète}. Ces systèmes peuvent être repérés par la méthode de vélocimétrie basée sur l’effet Doppler. Son principe s’appuie sur l’étude de la trajectoire de l’étoile autour d’un point G appelé centre de gravité du système {étoile-planète}. Les documents ci-dessous présentent des informations que nous sommes en mesure d’exploiter à partir de la méthode vélocimétrique et exposent les résultats de mesures effectuées pour le système HD 189733.

Document 1 : Principe de la méthode de vélocimétrie

Dans un système {étoile-planète}, la planète et l’étoile sont en mouvement de rotation autour du centre de gravité G du système. On enregistre les spectres de raies de l’étoile sur des cycles de plusieurs nuits, ce qui permet de mettre en évidence des oscillations périodiques de la longueur d’onde des raies observées. Ces oscillations peuvent être reliées, grâce à l’effet Doppler, au mouvement de rotation de l’étoile autour du centre de gravité du système. La vitesse radiale de l’étoile (vitesse suivant l’axe d’observation Terre-étoile) peut alors être déterminée par cette étude. Elle est composée d’une vitesse moyenne (vitesse du système par rapport à l’observateur terrestre) à laquelle s’ajoute une perturbation qui varie périodiquement. La période de la perturbation donne la période du mouvement de l’étoile qui est aussi la période du mouvement de la planète.

La méthode des vitesses radiales utilisée permet de distinguer assez facilement les orbites circulaires des orbites elliptiques. Les planètes en orbite circulaire correspondent à des étoiles dont les variations de vitesse radiale sont régulières et symétriques en forme de sinusoïde (graphe de gauche). Lorsque la trajectoire est une ellipse allongée, il apparaît des « pics » dans la courbe de vitesses (graphe de droite).

Document 2 : Système {étoile-exoplanète} HD 189733

Le graphe ci-dessous représente une modélisation des variations de la vitesse radiale de l’étoile du système HD 189733 autour de sa vitesse moyenne obtenue à partir de mesures réalisées à l’observatoire de Haute Provence par une équipe de chercheurs en juillet 2008.

L’étoile du système HD 189733 est une étoile dont les caractéristiques sont assez proches de celle du Soleil : les températures de surface sont voisines, la masse de l’étoile est M = 0,82 × M0 où M0 est la masse du Soleil (M0 = 1,989 × 1030 kg).

1.1. Le décalage spectral est lié au mouvement de rotation de l’étoile autour du centre de gravité G. On rappelle que le décalage spectral Dl = l - lmesurée, où l est une longueur d’onde de référence et lmesurée sa valeur perçue depuis la Terre, permet de déterminer la vitesse v de déplacement du système par la relation suivante :

    \[ \frac {\Delta \lambda } { \lambda } = \frac { v} { c } \]

Avec :

  • c : célérité de la lumière dans le vide ;
  • l : longueur d’onde de la raie de référence (l = 656,2 nm)

Quelles mesures, réalisées par l’observatoire de Haute Provence, ont permis de tracer la courbe du document 2 ? Expliquer la démarche des chercheurs.

Qu'est-ce qu'un rayon ?
Les raies spectrales émises par une planète nous donnent des informations sur cette dernière. On peut connaître sa distance par rapport à la Terre et sa température par exemple.

1.2. Pour détecter la présence d’une planète extrasolaire, on repère une certaine périodicité dans la variation de vitesse radiale : ceci permet d’affirmer qu’il existe bien un système exoplanétaire.

Déterminer la période de révolution de l’étoile du système HD 189733 ainsi que celle de l’exoplanète de ce même système.

1.3. Quelle est la nature de la trajectoire de l’exoplanète autour du centre de gravité G ?

1.4. La masse de l’étoile étant beaucoup plus importante que la masse de la planète, on fera l’hypothèse dans la suite de l’exercice que le centre de gravité G du système peut être confondu avec le centre de l’étoile, les résultats établis restant valables.

Montrer que le mouvement de l’exoplanète du système HD 189733 est nécessairement uniforme.

2.Habitabilité de l’exoplanète du système HD 189733

Document 3 : Zone d’habitabilité d’une planète

La zone d’habitabilité se définit par une fourchette de distance entre une planète et son étoile. Elle correspond à une zone dans laquelle la quantité d’énergie reçue par la planète permet à l’eau d’exister sous forme liquide. Dans notre système solaire, c’est le cas de la Terre située à 1 U.A. qui reçoit environ 1000 Watts par mètre carré d’énergie rayonnée par le Soleil. Si l’on s’approche du Soleil et que l’on dépasse Vénus situé à 0,723 U.A., la quantité d’énergie reçue est trop importante et l’eau se vaporise. Si on s’en éloigne et que l’on dépasse Mars située à 1,52 U.A., alors l’eau n’existe plus que sous forme de glace. Or, seule l’eau liquide permet à la vie d’exister sous la forme que nous lui connaissons.

La taille et la position de la zone d’habitabilité dépend naturellement de la puissance de l’étoile qui émet le rayonnement lumineux. Si l’étoile est petite, la zone d’habitabilité sera beaucoup plus proche d’elle que s’il s’agit d’une étoile géante.

Donnée : 1 U.A. = 1,50 × 108 km

On se propose à présent de déterminer la distance séparant l’étoile de son exoplanète.

2.1. énoncer la troisième loi de Kepler.

2.2. Montrer, en utilisant la deuxième loi de Newton et en explicitant les différents termes, que pour une trajectoire circulaire cette loi s’écrit :

    \[ \frac { T ^ {2} } { R ^ {3} } = \frac { 4 \pi ^ {2} } { G \cdot M } \]

2.3. En déduire la distance moyenne entre la planète et l’étoile (G = 6,67×10-11 N.m2.kg-2).

2.4. La planète du système HD 189733 appartient-elle à la zone d’habitabilité ?

Exercice 3

Notre objectif est d'étudier le mouvement d'une masse m attachée à un support immobile par un ressort horizontal de constante de raideur k.

1.L'oscillateur harmonique

Une masse est libre de se déplacer sans frottement sur un rail horizontal. Après avoir écarté la masse de sa position d'équilibre, on la libère sans vitesse initiale.

1.Représenter sur le schéma donné en annexe 1 à rendre avec la copie les forces agissant sur la masse m. Le point O donne l'abscisse du centre de gravité G à la position d'équilibre du système. Dans cette position le ressort n'est ni étiré ni comprimé.

2.En utilisant la deuxième loi de Newton, démontrer que l'équation différentielle du mouvement relative à l'abscisse x du centre de gravité G du mobile à l'instant t s'écrit :

    \[ \frac{\text{d}^{2}x}{\text{d}t^{2}} +\omega _ {0} ^{2} x = 0 \text{ où } \omega _ {0} ^{2} = \frac { k } { m } \]

On établira cette équation dans le référentiel terrestre supposé galiléen.

3.Montrer que l'expression x(t) = A.sin(w0 t + φ ) est solution de cette équation différentielle.

4.Exprimer la période propre To des oscillations de l'oscillateur en fonction de k et m.

2.Etude énergétique

1.Établir l'expression du travail élémentaire dW d'une force extérieure appliquée à l'extrémité du ressort pour un allongement très petit d Déterminer par méthode graphique ou par intégration le travail effectué W par cette force pour un allongement x
à partir de l'origine O.

2.Donner l'expression de l'énergie potentielle élastique du système {masse - ressort} en fonction de l'allongement x.

3.Donner l'expression de l'énergie cinétique de la masse m et de l'énergie totale du système.

4.Quelle est l'hypothèse qui permet d'affirmer, dans cet exercice, que l'énergie totale du système reste constante ? En déduire son expression en fonction k et de l'amplitude maximale x0.

Comment calculer une énergie ?
Pour bien savoir effectuer des calculs d'énergie, n'hésitez pas à vous entraîner. En effet, il s'agi d'un sujet souvent évalué lors des examens.

3.Application à la molécule de chlorure d’hydrogène

Notre objectif est d'étudier le mouvement de vibration d'une molécule de chlorure d'hydrogène (HCI). Cette molécule peut-être modélisée par une masse m correspondant à l'atome d'hydrogène, un support immobile correspondant à l'atome de chlore, les deux parties étant reliées par un ressort de constante de raideur k qui représente la liaison entre les deux atomes.

1.Calculer la période propre T0 pour la molécule de chlorure d'hydrogène sachant que la constante d'Avogadro NA vaut 6,02 x 1023 mol–1, que la masse molaire atomique M de l'hydrogène est de 1,00 g.mol–1 et que la constante de raideur k vaut 510 N.m–1.

2.Ce système peut fonctionner comme un résonateur, une onde électromagnétique de fréquence constituant son excitateur. Pour quelle valeur de la fréquence de l'onde observera-t-on le phénomène de résonance ?

3.Calculer la longueur d'onde dans le vide correspondant à cette fréquence et en déduire dans quel domaine de radiation est située l'onde excitatrice. (Célérité de la lumière : c = 3,00 x 108 m.s–1).

4.On remplace l'hydrogène par le deutérium noté H de masse double par rapport à celle de l'hydrogène ; que devient la fréquence propre de vibration (ou d'oscillation) ?

Annexe

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Clément

Freelancer et pilote, j'espère atteindre la sagesse en partageant le savoir que j'ai acquis lors de mes voyages au volant de ma berline. Curieux scientifique, ma soif de découverte n'a d'égale que la durée de demie-vie du bismuth 209.