Que faut-il faire pour comprendre parfaitement les principes de la mécanique des fluides ?

Le thermomètre de Galilée

Sujet

Galileo Galilei, dit Galilée (1564-1642) était un mathématicien, physicien et astronome italien. Célèbre pour ses travaux sur la chute des corps et pour ses observations célestes,  il travailla aussi sur la mesure de la température. C 'est à partir de l'une de ses idées qu'a été confectionné le thermomètre dit de Galilée.

Qui était Galilée ? Galilée est un savant, physicien et mathématicien italien ayant vécu entre 1564 et 1642. Ses travaux ont beaucoup fait avancer la science, que ce soit dans les domaines de l’astronomie avec l’invention de la lunette astronomique ou dans les mathématiques. Même si elles ont permis de grandes prises de consciences scientifiques, ses découvertes lui ont aussi valu d’être poursuivi par les autorités de l’époque.

Cet exercice vise à comprendre le fonctionnement de ce thermomètre.

Cet objet décoratif est constitué d'une colonne remplie d'un liquide incolore et de plusieurs

boules en verre soufflé, lestées par une petite masse métallique.

Le liquide contenu dans la colonne a une masse volumique (T) qui décroît fortement lorsque

la température augmente. Les boules ont chacune le même volume mais possèdent des masses différentes. Un petit médaillon indiquant une température est accroché sous chacune d'elles. Chaque boule possède une masse ajustée de manière précise. Pour un modèle commercial courant, on trouve onze boules indiquant des températures comprises entre 17 °C et 27 °C.

Dans cet appareil, on peut observer que certaines boules sont situées en bas de la colonne et que d'autres flottent en haut. La température de la colonne est indiquée par la boule qui se trouve en équilibre dans le liquide c'est-à-dire par la plus basse des boules situées en haut de la colonne.

1. Principe de fonctionnement

On décide de construire un thermomètre. On utilise une éprouvette remplie d'une huile de masse volumique (T) dans laquelle on place des boules de même volume Vb mais de masses volumiques différentes. On constate que certaines boules flottent et d'autres coulent.

Comment fonctionne un thermomètre de Galilée ? Les thermomètres de Galilée sont des thermomètres qu'on utilise de nos jours surtout pour la décoration. Les boules montent ou descendent selon la température ambiante.

On s'intéresse dans cette partie à la boule 1 de volume Vb et de masse volumique r. On peut supposer que la masse volumique et le volume de cette boule sont quasiment indépendants de la température contrairement à ceux du liquide dans lequel elle est immergée. La boule 1 est immobile, en équilibre dans l'huile.

Faire un inventaire des forces s'exerçant sur la boule 1. Les représenter sur un schéma sans souci d'échelle.

Exprimer ces différentes forces en fonction de r, (T), Vb et de g, l'intensité du champ de pesanteur.

1.3.  Établir l'expression littérale de la masse volumique r que doit avoir la boule 1 pour rester immobile.

1.4.  Expliquer pourquoi, hormis la boule 1, les boules restent les unes en haut de la colonne, les autres en bas.

Lorsque la température du liquide s'élève, la boule 1 se met en mouvement. Justifier dans quel sens.

2. Étude du mouvement d'une boule.

On utilise le même liquide que précédemment et on y place une seule boule de masse m de centre d'inertie G. Le liquide contenu dans l'éprouvette est à 18 °C, on constate qu'à cette température, la boule flotte. On chauffe alors légèrement le liquide jusqu'à 20 °C, on plonge à nouveau la boule à l'intérieur et on constate qu'elle descend le long de l'éprouvette. On prend pour origine des dates (t = 0 s) l'instant où on a plongé la boule dans le liquide. On modélise la valeur f de la force de frottement fluide du liquide sur la boule par f= k.v, avec v, la vitesse du centre d'inertie de la boule et k le coefficient de frottement. On définit un axe Oz dirigé vers le bas, le point O coïncide avec le centre d'inertie de la boule à l'instant de date t = 0 s.

2.1. Représenter, à l'aide d'un schéma, sans souci d'échelle, mais de façon cohérente, les forces s'exerçant sur la boule en mouvement.

2.2. En utilisant la deuxième loi de Newton, montrer que la vitesse v(t) du centre d'inertie de la boule
obéit à une équation différentielle de la forme :

    \[\frac {dv} {dt} = A - Bv\cdot v\]

Donner les expressions littérales de A et de B en fonction de m, g, k, (T) et Vb

2.3 Établir l'expression littérale de la vitesse limite atteinte par la boule.
On donne A = 9,5 x 10 –3s -2 et B = 7,3 x 10 –1 s -1. Calculer sa valeur.

2.4 On se propose de résoudre l'équation différentielle

    \[\frac {dv} {dt} = A - Bv\cdot v\]

 et de construire la courbe v = f(t)
en utilisant la méthode d'Euler. Cette méthode itérative permet de calculer, pas à pas, de façon approchée, les valeurs de la vitesse instantanée de la boule à différentes dates.

On utilise la relation suivante :

v(tn) = v(tn-1) + Dv(tn-1) avec Dv(tn-1) = a(tn-1) . Dt

tn = tn-1 + Dt où Dt est le pas d'itération du calcul.

En utilisant l'équation différentielle et la relation d'Euler, recopier sur la copie le tableau suivant et le compléter :

Dates t en sVitesse v(tn) en m.s -1Δv(tn) en m.s -1
t0= 00
t1 = 0,108,8 x 10 –4
t2 = 0,20

La courbe v = f(t) que l'on obtient par la méthode d'Euler lorsqu'on utilise un tableur est reproduite ci-dessous :

2.5 Indiquer les différents régimes observés sur la courbe v = f(t).

2.6 Déterminer graphiquement, en prenant soin d'expliquer votre méthode, le temps caractéristique t.

2.7 Justifier le choix de la valeur du pas utilisé Δt = 0,10 s.

Données :

  • Rayon de la boule : R = 1,50 x 10-2 m ;
  • Volume de la boule :

        \[ V _{B} = \frac {4} {3} \cdot \pi \cdot R ^ {3} \]

    ;

  • Masse de la boule : m = 12,0 x 10–3 kg ;
  • Masse volumique du liquide à 20°C : Pl = 848 kg.m-3 ;
  • Coefficient de frottement : k = 8,8 x 10–3 kg.s-1 ;
  • Intensité de la pesanteur : g = 9,80 m.s -2 ;

Correction

1. Principe de fonctionnement

1.1 La boule 1 est immobile, en équilibre dans l'huile. Elle est soumise à deux forces :

  • Le poids , vertical vers le bas ;
  • La poussée d'Archimède ,verticale vers le haut.

Comment fonctionne la poussée d'Archimède ? La poussée d'Archimède est la force responsable de la flottaison. Que ce soit pour qu'un corps flotte dans une baignoire ou q'un iceberg flotte sur la mer, la poussée d'Archimède est responsable !

1.2 Les normes de deux forces s'écrivent:

Poids : P = m.g = r.Vb.g

La valeur de la poussée d'Archimède est égale au poids du fluide déplacé par la boule 1.

Poussée d'Archimède :  (T).Vb.g

1.3 Dans le référentiel éprouvette, la boule 1 est immobile, d'après le principe d'inertie (1ère loi de Newton) les deux forces se compensent : elles ont donc des valeurs identiques.

1.4 "Les boules ont chacune le même volume Vb mais possèdent des masses volumiques r différentes"…

Pour les boules dont la masse volumique r est supérieure à la masse volumique (T) de l'huile, la force poids prédomine sur la poussée d'Archimède. Ces boules restent en bas de l'éprouvette.

Pour les boules dont r < , la poussée d'Archimède prédomine sur la force poids. Ces boules restent dans le haut de l'éprouvette.

1.5 "Le liquide contenu dans la colonne a une masse volumique (T) qui décroît fortement lorsque la température augmente"… "On peut supposer que la masse volumique et le volume de cette boule sont quasiment indépendants de la température".

Ainsi, lorsque la température du liquide s'élève, la masse volumique (T) du liquide diminue et comme r est constant on a : r > (T). La boule 1 se déplace vers le bas de l'éprouvette.

Étude du mouvement d'une boule.

2.1 Au cours du mouvement la boule est soumise à trois forces :

  • Le poids , vertical vers le bas: p = m.g ;
  • La poussée d'Archimède , verticale vers le haut ;
  • La force de frottement , opposée au vecteur vitesse.

Comme la boule descend, la force poids prédomine. La flèche représentant le vecteur poids est plus longue que la somme des longueurs des deux flèches représentants les forces.

2.2 La deuxième loi de Newton appliquée au système "boule" dans le référentiel éprouvette, référentiel terrestre supposé galiléen donne :

    \[ \overrightarrow{P} + \overrightarrow{\Pi} + \overrightarrow{f} = m.\overrightarrow{a}_ {g} \]

Dates t en sVitesse v(tn) en m.s -1Δv(tn) en m.s -1
t0= 009,5 x 10 –4
t1 = 0,109,5 x 10 –48,8 x 10 –4
t2 = 0,201,8 x 10 –38,2 x 10 –4

Remarque: on peut vérifier les valeurs des vitesses sur le graphe. v(t1) = 0,95 mm.s-1 et v(t2) = 1,8 mm.s-1

Pourquoi l'huile flotte-t-elle ? On utilise l'huile dans les boules de ce thermomètre car l'huile flotte dans l'eau. En effet, sa densité est moins importante que celle de l'eau. En fonction des températures, les boules remontent ainsi dans le tube.

2.5  En régime transitoire, la valeur de la vitesse augmente (entre t = 0,0 s et t » 7,0 s), puis en régime permanent (pour t > 7,0 s) la valeur de la vitesse est constante et égale à la vitesse limite vlim = 13 mm.s-1.

2.6 Temps caractéristique t :

On trace la tangente, à l'origine, à la courbe v = f(t).

Elle coupe l'asymptote horizontale v = vlim = 13 mm.s-1 en un point dont l'abscisse est égale au temps caractéristique t

2.7 La valeur du pas utilisé Dt = 0,10 s est faible face au temps caractéristique t. Ainsi, on dispose d'un nombre de points suffisant pour tracer la courbe v = f(t), particulièrement lors du régime transitoire lorsque v(t) varie le plus. On pourrait choisir un pas plus faible, mais le nombre de calculs à effectuer serait trop important.

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Clément

Freelancer et pilote, j'espère atteindre la sagesse en partageant le savoir que j'ai acquis lors de mes voyages au volant de ma berline. Curieux scientifique, ma soif de découverte n'a d'égale que la durée de demie-vie du bismuth 209.

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