Comment réussir un examen portant les filtres, l'impédance et la puissance ?

Exercice d’application du cours : filtres du premier ordre

Le filtre “RC” série

Un filtre en électronique, contrairement à un filtre à café, correspond à un circuit qui va alors réaliser une opération volontaire de mise en forme d'une grandeur électrique, que ce soit pour le courant ou pour la tension. Le filtre transforme donc les valeurs successives sur une période de temps Δt de cette grandeur d'entrée en une grandeur de sortie.

L'étude expérimentale d’un filtre « R, C » série est réalisée grâce à un oscilloscope. L’exercice considère l’influence du « branchement » à l’appareil de mesure sur la pulsation de coupure, une des caractéristiques du filtre. Un groupement R, C série est alimenté avec une tension d’entrée [ u _ e left( t right) = U _ { e , m } times cos left( omega times t right) ] La tension de sortie est notée [ u _ s left( t right) = U _ { s , m } times cos omega times t + phi right) ] Étudier, sans calcul, la nature de ce filtre, en envisageant son comportement limite pour omega qui tend vers 0 et omega qui tend vers un infini positif. Déterminer, en fonction de R, C et ω, la fonction de transfert complexe H ( j ω ) de ce filtre définie par le rapport des tensions complexes u_s et u_e : [ H left ( j omega right) = frac { u _ s } { u _ e } ] En déduire :

1. Le gain G, défini par G = | H ( j ω )
2. La phase phi ;
3. La pulsation de coupure ω_c, définie par : [ G left( w _ c right) = frac { G _ { max } } { sqrt { 2 } } ]

Donner l’allure des courbes représentatives des fonctions G_dB et phi en fonction de log w/w_c (diagramme de Bode) Application numérique : R = 10⁴ Q et C = 10^-8 F. Calculer w_c

Branchement à l’oscilloscope

Un oscilloscope, également appelé oscillographe, correspond à un instrument de mesure permettant de visualiser un signal électrique, le plus souvent variable au cours du temps.

La tension de sortie u_s, précédente est « appliquée » à l’entrée d’un oscilloscope, par l’intermédiaire d’un câble coaxial supposé idéal. L’impédance d’entrée de l’oscilloscope est caractérisée par le groupement parallèle R₀, C₀. La tension d’entrée u_e est maintenue et u’_s est la tension de sortie aux bornes du résistor R₀ [ u _ e left( t right) = U _ { e , m } times cos left( omega times t right) ] Montrer que la fonction de transfert [ H ‘ left( j omega right) = frac { u ‘ _ s } { u _ e } ] de ce nouveau filtre sc met sous la forme : [ H ‘ left( j omega right) = frac { A } { 1 + j times B times omega } ] avec A et B des constantes. Exprimer A et B à l’aide des données. En déduire le nouveau gain G’. Exprimer, en fonction de R, R₀, C et C₀, la pulsation de coupure ω’_c correspondante. Application numérique : R= 10⁴ Ω ; R₀ = 5 . 10⁶ Ω ; C = 10_⁸ F ; C₀ = 5 . 10^-11 F Calculer ω’_c  Comparer les pulsations ω_c et ω’_c. Conclure.

Problème 1 : Résonance d’un dipôle RLC parallèle

Etude d’un dipôle en régime sinusoïdal forcé de pulsation ω

On considère entre deux points A et B. le circuit comportant en parallèle : une résistance R, une Inductance pure L, un condensateur de capacité C. Ecrire l’expression de l'admittance complexe Y du dipôle AB en fonction de R, L, C, et ω. On pose [ L times C times omega ^ 2 _ 0 = 1 ] [ frac { omega } { omega _ 0 } = x ] et [ Q = frac { Q } { L times omega _ 0 } ] Exprimer ( Y , R ) sous la forme 1 + j . g ( x , Q ) où f ( x , Q ) désigne une fonction simple de x et de Q. En déduire l’expression de l’Impédance complexe Z du dipôle AB. Préciser le comportement de ce dipôle aux basses fréquences et aux hautes fréquences : on donnera une interprétation physique du dipôle équivalent obtenu. Etudier brièvement le comportement en fonction de x  du module de Z : tracer l'allure de la courbe représentative.

Utilisation du dipôle précédent

On alimente le dipôle précédent AB par une source de tension alternative sinusoïdale [ v left( t right) = V _ 0 times cos left( omega times t right) ] On associe à l’Intensité Instantanée dans le dipôle AB [ i left( t right) = I _ 0 times cos left( omega times t + phi right) ] l’Intensité complexe [ I = I _ 0 times e ^ { j times phi } ] On néglige l’impédance Interne du générateur. Ecrire, sans démonstration, l’expression de I en fonction de V₀ , R, Q et x. On note l le module de I : quel est l’ensemble des valeurs do x tel que [ I leq sqrt { 2 } times frac { V _ 0 } { R } ] : montrer que cet ensemble est limité par deux valeurs x₂ et X₁ et calculer x₂ - x₁. en fonction de Q. Etudier brièvement le déphasage phi de l’Intensité I ( t ) par rapport à la tension u ( t ) en fonction de x. Tracer U courbe φ(x). Calculer pour x = 0,9 ; L = l * m * H ; C = 0.1 µF et R = 500 Ω les valeurs numériques de phi, de x₂ – x₁ et de Q. On choisit ω = ω₀ Quelles sont en notation complexes les expressions des intensités dans les branches comportant L et C ? Ecrire également les expressions des intensités Instantanées. Que constate-t*on 7 Quel nom pourrait-on donner au coefficient Q.

Problème 2 : calculs d’impédance

Soit le dipôle A B constitué d'une résistance R et d'une bobine d'inductance L associées en parallèle. Soit le dipôle A‘ B‘ constitué d'une résistance R' et d'une bobine d'inductance L' associées en série. Ces deux dipôles sont soumis A une tension sinusoïdale de pulsation ω. Déterminer R' et L' en fonction de R , L et ω pour que, à la pulsation ω , ces dipôles soient équivalents . Quelle est alors la pulsation ω₀ pour laquelle on a : [ frac { R ‘ } { R } = frac { L’ } { L } ] Calculer ω₀ pour R = 10² Ω et L = 10^-2 H On considère le montage auquel on applique entre les bornes A et C du dipôle une tension de la forme : [ u left( t right) = U _ m times cos left( omega _ 0 times t right) ] Les dipôles A B et B C étant équivalents et la pulsation ω₀ étant telle que : [ frac { R ‘ } { R } = frac { L’ } { L } ] Dans cette partie, on écrira les expressions demandées de la façon la plus simple possible en tenant compte des hypothèses. Déterminer l'Impédance complexe Z_AC du dipôle. Le résultat sera exprimé sous forme polaire [ Z _ { A C } = Z _ { A C } times e ^ { j times phi _ { A C } } ] Donner l'expression du courant total i (t ) en fonction du temps . Calculer en fonction de la représentation complexe u de u ( t ) les expressions complexes u₁ et u₂ des tensions aux bornes de A B et de B C. Déterminer les représentations complexes i₁ et i₂ des Intensités i₁ ( t ) dans R et i₂ ( t ) dans L . En déduire les valeurs efficaces de u₁ ( t ) ; u₂ ( t ) ; i₁ ( t ) et i₂ ( t ) ainsi que leurs déphasages par rapport à u ( t ). Donner l'expression de la capacité C qu'il faut mettre en série avec le dipôle A C pour que le courant total i ( t ) soit en phase avec u ( t ) à la pulsation ω₀ . Calculer C avec les données numériques précédentes.

Problème 3 : Puissance reçue par un dipôle et amélioration de son facteur de puissance

n dipôle électrique correspond un composant électrique possédant deux bornes. On peut par exemple nommer les lampes, les interrupteurs, les générateurs, les piles, les diodes, les DEL, les résistances et les moteurs comme étant des dipôles.

Un générateur de tension total délivrant une face électromotrice si­nusoïdale de 380 V efficace et de fréquence 50 Hz alimente un circuit con­stitué par une lampe 4 incandescence de résistance R = 38 Ω connectée en parallèle à un moteur M que l'on peut schématisa par une bobine et une ré­sistance associés en série. On désigne respectivement par phi 1 ; phi 2 et phi 3 les déphasages des courants I₁ ; I₂ et I₃ rapport à la tension E et par I₁ ; I₂ et I₃ les valeurs efficaces respectives de ces courants. Exprimer I₃ en fonction de I₁ et I₂. On mesure I₁ = 6 A et I₃ = 15 A. Calculer la puissance moyenne, notée P_M, sur une période absorbée par le moteur. Calculer la puissance moyenne P_g, sur une période, fournie par le générateur. Calculer le facteur de puissance [ cos left( phi _ 3 right) ] de l'installation. On désire modifier le facteur de puissance de l'Installation. Pour cela, on branche un condensateur aux bornes du moteur. Calculer la valeur de sa capacité C pour que le nouveau facteur de puissance de l'installation [ cos left( phi ‘ _ pi right) ] soit égal à l’unité.