Comment réussir le concours des Petites Mines lorsque l’on est en MPSI ?

Que faire quand on ne comprend pas sa leçon ? En cas de problème, même mineur, avec une partie du cours, il peut être intéressant, voire même essentiel, de poser des questions au professeur afin de comprendre toutes les subtilités d'une notion de physique.

Exercice 1 : Etude d’un résonateur à quartz

Avant de débuter l’exercice, il est essentiel de définir le référentiel et le système dans lequel se place le sujet. Ici, nous nous trouvons dans le référentiel laboratoire supposé comme étant galiléen. Le système se définit comme étant la masse m. Dans cet exercice, m subit les forces suivantes :

  • [ - k times x times overrightarrow { i } ]
  • [ - h frac { text { d } x } { text { d } t } ]
  • [ - beta times V times cos left( omega times t right) ]

De ce fait, si se fie au Principe Fondamental de la Dynamique, aussi abrégé PFD, on obtient : [ m times overrightarrow { a } = overrightarrow { f } ] [ m times x cdot cdot = - k times x – h times x cdot + beta times V times cos left( omega times t right) ] [ m times x cdot cdot + h times x cdot + k times x = beta times V times cos left( omega times t right) ] On peut par la suite essayer de calculer cp : [ c _ p = frac { epsilon _ 0 times epsilon _ r times pi times d ^ 2 } { 4 times e } ] [ c _ p = frac { 8,85 . 10 ^ text { - 12 } space times 2,3 times 3,14 times 10 ^ text { - 4 } } { 4 times 0,2 times 10 ^ text { -3 } } ] [ c _ p = 8 . 10 ^ text { - 12 } space text { F } ] Il est ensuite possible, en sachant que [ x = frac { q _ 2 } { gamma } ] déterminer que [ m times q _ 2 cdot cdot + h times q _ 2 cdot + k times q _ 2 = gamma times beta times V times cos left( omega times t right) ] De ce fait, si on applique la loi des mailles, il est facile d’observer que : [ R times i + frac { q _ 2 } { c _ s } + L times frac { text { d } i } { text { d } t } = v left( t right) ] en sachant que [ i = frac { text { d } q _ 2 } { text { d } t } ] Ainsi, [ R times q _ 2 cdot + frac { q _ 2 } { c _ s } + L times q _ 2 cdot cdot = v left( t right) ] Donc, par identification, on trouve que :

  • [ L = frac { m } { gamma times beta } ]
  • [ R = frac { h } { gamma times beta } ]
  • [ frac { 1 } { c _ s } = frac { k } { gamma times beta } ]

On peut donc conclure que [ c _ s = frac { gamma times beta } { k } ] Puisque les valeurs de cp et de cs sont connues, on peut alors calculer l’admittance : [ frac { 1 } { z _ text { AB } } = j times c _ p times omega + frac { 1 } { j times L times omega + frac { 1 } { j times c_s times omega } } ] [ frac { 1 } { z _ text { AB } } = j times c _ p times omega + frac { j times c _ s times omega } { 1 – L times c _ s times omega ^ 2 } ] [ frac { 1 } { z _ text { AB } } = frac { j times c _ p times omega times left( 1 – L times c _ s times omega ^ 2 right) + j times c _ s times omega } { 1 – L times c _ s times omega ^ 2 } ] [ frac { 1 } { z _ text { AB } } = frac { 1 - frac { omega ^ 2 } { frac { 1 } { L times c _ s } }} { j times omega times left( c _ p + c _ s – c _ p times L times c _ s times omega ^ 2 right) } ] [ frac { 1 } { z _ text { AB } } = frac { - j } { omega times left( c _ p + c _ s right) } times frac { 1 - frac { omega ^ 2 } { frac { 1 } { L times c _ s } } } { 1 - frac { omega ^ 2 } { frac { c _ p + c _ s } { L times c _ p times c _ s } } } ] De ce fait, si on pose : [ begin{cases} alpha = c _ p + c _s  \ omega _ x = frac { 1 } { sqrt { L times c _ s } } \ omega _ a = sqrt { frac { c _ p + c _ s } { L times c _ p times c _ s } } end{cases} ] On trouve alors [z _ text { AB } = frac { - j } { alpha times omega } times frac { 1 - frac { omega ^ 2 } { w ^ 2 _ r } } { 1 - frac { omega ^ 2 } { omega ^ 2 _ a } } ] Or, [ omega ^ 2 _ a = frac { c _ p + c _ s } { c _ p } times omega ^ 2 _ r geq omega ^ 2 _ r ] avec [ frac { c _ p + c _ s } { c _ p } geq 1 ] Il devient alors possible de calculer les fréquences pour a et pour r. On trouve alors : [ f _ r = frac { 1 } { 2 times pi } times frac { 1 } { sqrt { L times c _ s } } ] Donc [ f _ r = 795 space 775 space text { Hz } ] [ f _ a = frac { 1 } { 2 times pi } times sqrt { frac { c _ p + c _ s } { L times c _ p times c _ s } } Donc [ f _ a = 799 space 744 space text { Hz } ] Après cela, il faut calculer l’image de l’impédance. On procède donc de la manière suivante : [ Im left( z _ text { AB } right) = - frac { 1 } { alpha times omega } times frac { 1 - frac { omega ^ 2 } { w ^ 2 _ r } times X } { 1 - frac { omega ^ 2 } { omega ^ 2 _ a } times Y } ] On a alors plusieurs possibilités : [ begin{cases}text { Si } & omega > omega _ r text { alors } X < 0 \ text { Si } & omega < omega _ r text { alors } X > 0 end{cases} ] [ begin{cases}text { Si } & omega > omega _ a text { alors } Y < 0 \ text { Si } & omega < omega _ a text { alors } Y > 0 end{cases} ] D’où lorsque :

  • [ Im left( z _ text { AB } right) > 0 text { pour } omega _ r < omega < omega _ a text { on a un comportement inductif }
  • [ Im left( z _ text { AB } right) < 0 text { pour } omega < omega _ r text { ou } omega > omega _ a text { on a un comportement capacitif }

On va ensuite calculer la valeur absolue de l’impédance. On obtient donc : [ mid z _ { AB } mid = frac { 1 } { alpha } times frac { mid 1 - frac { omega ^ 2 } { omega ^ 2 _ r } mid } { omega times mid 1 - frac { omega ^ 2 } { omega ^ 2 _ a } mid } ] On va ensuite étudier le diviseur de tension. On sait que [ H = frac { R _ v } { R _ v + z _ text { AB } } ] Or, puisque [ z _ text { AB} = pm j times z _ text { AB } ] donc [ H = frac { 1 } { sqrt { 1 + frac { z ^ 2 _ text { AB } } { R ^ 2 _ v } } } ] De ce fait, [ text { Si } H = frac { 1 } { 2 } text { alors } 1 + frac { z ^ 2 _ text { AB } } { R ^ 2 _ v } } = 2 ^ 2 = 4 ] Cela signifie alors que [ z ^ 2 _ text { AB } = 3 times R ^ 2 _ v ] et donc que [ z _ text { AB } = sqrt { 3 } times R _ v ] Puisque l’on sait que [ frac { triangle f } { f _ r } = frac { 1 } { Q } ] alors [ Q = frac { f _ r } { triangle f } ] et donc que [ Q = 15 space 920 ] ce qui est extrêmement supérieur à 1. De ce fait, on peut en déduire que la résonance est extrêmement fine et donc de très bonne qualité. Pour déterminer la résistance, il faut procéder ainsi : [ R = frac { L times 2 times pi times f _ r } { Q } ] [ R = 2 times pi times triangle f ] [ R = frac { 796 . 10 ^ 3 } { 50 } ] D’où une résistance non négligeable de 157 ohm. Pour ce qui est de la fréquence de sortie, elle est égale à 16 384 Hz puisque [ f _ text { sortie } = frac { f_ r } { 2 } ] On sait que 32 768 = 215 Ce qui signifie que, pour obtenir une impulsion par seconde, c’est-à-dire un hertz, il faut diviser successivement quinze fois la fréquence par deux.

Pourquoi trouve-t-on des résonateurs à quartz dans les montres ? En électronique, un résonateur à quartz correspond à un composant qui est capable d'osciller à une fréquence stable lorsque celui-ci est stimulé électriquement. Ce sont grâce aux propriétés piézoélectriques remarquables du minéral de quartz qu'il est possible d'obtenir des fréquences d'oscillation très précises. C'est pour cela q'u'il est devenu un élément important en électronique numérique tout comme en électronique analogique.

Superprof

Exercice 2 : Le comportement de circuits en régime transitoire et en RSF

Partie A

Où utilise-t-on ce moteur particulier ? Il est possible de trouver des bobines dans les moteurs dit pas à pas. Ce type de moteur permet alors de transformer une impulsion électrique en un mouvement angulaire.

Lorsque t est égal à 0, iL est continu dans la bobine. Or, iL ( 0- ) = 0 donc iL ( 0+ ) = 0. La loi des mailles donne donc : [ E = R times i _ L left( 0 ^ + right) + frac { R } { 2 } times i ‘ left( 0 ^ + right) ] Or, [ i ‘ left( 0 ^ + right) + i _ L left( 0 ^ + right) = i left ( 0 ^ + right) ] en sachant que [ + i _ L left( 0 ^ + right) = 0 ] D’où le résultat suivant : [ i left 0 ^ + right) ) frac { E } { frac { 3 } { 2 } times R } = frac { 2 times E } { 3 times R } ] On a donc [ s left( 0 ^ + right) = frac { R } { 2 } times i left( 0 ^ + } = frac { E } { 3 } ] Or, [ s left( 0 ^ - right) = frac { R } { 2 } times i ‘ left( 0 ^ - right) = 0 ] donc s ( t ) est discontinue en 0 tout comme i ( t ) est également discontinu en t = 0. Cela signifie que, concrètement, on impose une tension E aux bornes du dipôle. Un courant va alors circuler dans R et dans R/2. Une bobine s’opposant aux variations brutales du courant se comportera alors comme un interrupteur ouvert en t = 0+ et le courant s’y établit progressivement. Lorsque t tend vers l’infini positif, on atteint le régime permanent indépendant du temps. La bobine se comporte alors comme un fil. On a donc une limite de s ( t ), lorsque t tend vers l’infini positif, égale à 0. On sait que [ E = R times i + s left( t right ) avec [ begin{cases} s left( t right) = L times frac { text { d } i _ L } { text { d } t } = frac { R } { 2 } times i ' \ i = i ' + i _ L end{cases} ] Ainsi [ E = R times left( frac { 2 time s } { R } + i _ L right) + s left( t right) ] Si on dérive ce résultat par rapport à t, on obtient alors : [ 0 = 2 times frac { text { d } s } { text { d } t } + R times frac { text { d } i _ L } { text { d } t } + frac { text { d } s } { text { d } t } ] Ainsi, [ 3 times frac { text { d } s } { text { d } t } + frac { R } { L } times s = 0 ] On sait que [ s left( t right) = A times e ^ { - frac { t } { tau } } ] avec [ tau = frac { 3 times L } { R } ] et [ s left ( 0 ^ + right) = frac { E } { 3 } ] d’où [ A = frac { E } { 3 } ] On a donc [ s left( t right) = frac { E } { 3 } times e ^ { - frac { t } { tau } } ] Or, si [ frac { E } { 3 } times e ^ { - frac { t _ 0 } { tau } } = frac { E } { 3 times 10 } ] alors [ t _ 0 = tau times ln left( 10 right) ] On peut déterminer que, pour que s ( t ) atteigne sa valeur finale, il faut que T soit suffisamment grande par rapport à τ. On mesure alors t0 telle que, entre 0 et t0 , s passe de E/3 à E/30 . On sait que [ t _ 0 = frac { 3 times L } {R } times ln left( 10 right) ] On peut alors en déduite que [ L = frac { t _ 0 times R } { 3 times ln left( 10 right) } ] On a donc [ L = frac { 3,0 . 10 ^ { - 6 } times 10 ^ 3 } { 3 times ln left( 10 right) } ] Ainsi, L = 0,43 mH Pour tout t = 5τ, on sait que s est environ égal au rapport de smax sur 100. On sait donc qu’il faut [ frac { T } { 2 } > 5 times tau ] On a donc [ frac { 1 } { f } > 10 times frac { t _ 0 } { ln left( 10 right) } ] donc il faut que [ f < frac { 2,30 } { 10 times 3 } – 10 ^ 6 text { Hz } ] ce qui donne environ 0,77.105 Hz. On peut alors choisir f comme étant environ égale à 50 kHz. BF : La bobine se comporte de façon identique à un fil, de ce fait, s = 0 et H = 0. HF : La bobine se comporte de façon identique à un interrupteur ouvert diviseur de tension, on a donc [ s = frac { frac { R } { 2 } } { 3 times R } { 2 } } times e ] et H = 1/3 On peut alors dire que le filtre est un passe-haut. Si on note ze l’impédance équivalente de la bobine en parallèle avec la résistance R/2 alors : [ frac { 1 } { z _ e } = frac { 1 } { j times L times omega } + frac { 2 } { R } ] On étudie ensuite le diviseur de tension. [ frac { s } { e } = frac { z _e } { R + z _ e } ] On peut simplifier pour obtenir [ frac { s } { e } = frac { 1 } { R times frac { 1 } { z _ e } + 1 } ] [ H = frac { 1 } { 1 + frac { R } { j times L times omega } + 2 } ] On peur simplifier pour obtenir [ H = frac { 1 } { 3 times left( 1 + frac { R } { 2 times pi times L times j times f times 3 } } ] Si on pose : [ begin{cases} f _ 0 = frac { R } { 6 times pi times L } \ H _ 0 = frac { 1 } { 3 } end{cases} ] Alors [ H = frac { H _ 0 } { 1 + frac { f _ 0 } { j times f } } ] Or, | H | correspond à une fonction croissante de f. Donc | H |max correspond à la limite de | H | quand f tend vers l’infini positif. Or cette limite correspond à H0 . fc vérifie que [ mid H mid = frac { H _ 0 } { sqrt { 2 } } } ] donc on a [ frac { H _ 0 } { sqrt { 1 + left( frac { f _ 0 } { f _ c } right) ^ 2 } } = frac { H _ 0 } { sqrt { 2 } } ] Or, [ frac { f _ 0 } { f _ c } = 1 ] donc fc = f0 La mesure de l’oscilloscope se fait en réglant l’amplitude maximale de s ( t ), obtenue pour f >> f0, à une valeur simple, donc un nombre entiers de carreaux. On cherche alors f donnant [ frac { s _ text { m  max } } { sqrt { 2 } } ] On sait que [ alpha = arg left( H right) = - space arg left( 1 + frac { f _ 0 } { j times f } right) Or, [ begin{cases} cos left( alpha right) > 0 \ tan left( alpha right) = frac { f _ 0 } { f } end{cases} ] Donc [ alpha = arctan left( frac { f _ 0 } { f } right) ] α correspond alors à une fonction décroissante de f.

Partie B

Comment déterminer la capacité d'un condensateur ? Il est important de bien comprendre toutes les lois de l'électricité car, même les plus simples peuvent être utilisées pour résoudre le plus complexe des problèmes.

On sait que i1 et i4 sont continus car ils passent dans des bobines. Or, [ i _ 1 left( 0 ^ - right) = i _ 4 left( 0 ^ - right) = 0 ] Donc [ i _ 0 left( 0 ^ + right) = i _ 4 left( 0 ^ + right) = 0 ] On peut alors en déduit que i2 = i3 = i en 0+. La loi des mailles en t = 0+ permet d’obtenir : [ i left( 0 ^ + right) = frac { E } { 3 times R } = i _ 2 left ( 0 ^ + right) = i _ 3 left( 0 ^ + right) ] et [ s left ( 0 ^ + right) = R times i left( 0 ^ + right) = frac { E } { 3 } ] Quand t tend vers l’infini positif, on a [ frac { text { d } i _ 1 } { text { d } t } = 0 ] et [ frac { text { d } i _ 4 } { text { d } t } = 0 ] donc les tensions aux bornes des bobines sont nulles. On a donc s et uL de l’infini qui sont égaux à 0. Or, on sait que uL est égal à Ri2 et donc que i2 de l’infini est égal à 0. De même, on sait que s ( t ) est égal à Ri3 et donc que i3 de l’infini est égal à 0. La loi des mailles permet alors d’obtenir qu’en infini on a : E = Ri + uL + s et donc que i de l’infini est égal au rapport de E sur R. Or, puisque i2 et i3 sont nuls, on sait que, pour l’infini, i4 = i1 = i = E/R [ begin{cases} E = R times i + u _ L + s \ i = i _ 1 + i _ 2 & text { avec } u _ L = L times frac{ text { d } i _ 1 } { text { d } t } = R times i _ 2 \ i = i _ 4 + i _ 3 & text { avec } s = L times frac{ text { d } i _ 4 } { text { d } t } = R times i _ 3 end{cases} ] Or la première expression donne [ 0 = R times frac{ text { d } } { text { d } t } times left( i _ 4 + i _ 3 right) + u _ L cdot + s cdot = frac { R } { L } times s + s cdot + s cdot + u _ L cdot ] Or [ i _ 1 + i _ 2 = i _ 3 + i _ 4 ] ce qui signifie que [ int frac { u _ L } { L } times text { d} t + frac { u _ L } { R } = frac { s } { R } + int frac { s times text { d} t } { L } ]   D’où [ frac { 1 } { L } times u _ L + frac { u _ L cdot } { R } = frac { s cdot } { R } + frac { s } { L } ] [ frac { 1 } { L } times left( E – R times left( i – 4 + i _ 3 right) – s right) + frac { u _ L cdot } { R } = frac { s cdot } { R } + frac { s } { L } ] En dérivant à nouveau ce résultat, on obtient : frac { 1 } { L } times left( - R times frac { s ] { L } + R times frac { s cdot } { R } – s cdot } right) + frac { u _ L cdot cdot } { R } = frac { s cdot cdot } { R } + frac { s cdot } { L } ] Or, [ u _ L cdot = - frac { R } { L } times s – 2 times s cdot ] Donc [ u _ L cdot cdot = - frac { R } { L } times s cdot – 2 times s cdot cdot ] Finalement, on obtient donc [ - frac { R } { L ^ 2 } times s - frac { 2 } { L } times s cdot + frac { 1 } { R } times left( - frac { R } { L } times s cdot – 2 s cdot cdot right) = frac { s cdot cdot } { R } + frac { s cdot } { L } ] et si on multiplie cette expression par R, on obtient [ frac { R ^ 2 } { L ^ 2 } times s + frac { 4 times R } { L } times s cdot + 3 times s cdot cdot = 0 ] On a donc une équation caractéristique du type [ 3 times r ^ 2 + frac { 4 } { tau } times r + frac { 1 } { tau ^ 2 } = 0 ] On a [ triangle = frac { 16 } { tau ^ 2 } - frac { 12 } { tau ^ 2 } = frac { 2 } { tau } ^ 2 > 0 ] L’équation possède donc deux racines qui sont : [ r _ 1 text { et } r _ 2 = frac { - frac { 4 } { tau } pm frac { 2 } { tau } } { 6 } ] donc les solutions sont [ - frac { 1 } { 3 times tau } text { ou } - frac { 1 } { tau } ] Donc [ s left( t right) = A times e ^ { - frac { t } { 3 times tau } } + B times e ^ { - frac { t } { tau } } ] BF : La bobine se comporte de façon identique à un fil, de ce fait, H = 0. HF : La bobine se comporte de façon identique à un interrupteur ouvert diviseur de tension, on a donc [ s = frac { frac { R } { 2 } } { 3 times R } { 2 } } times e ] et H = 1/3 On peut donc dire que le filtre est un passe-haut. Soit [ z ‘ _ e = R + R / / L ] alors [ H = frac { z _ { R / / L } } { R + z _ { R / / L } + z _ { R / / L } } ] [ H = frac { 1 } { R times G _ { R / / L } + 2 } ] or [ G _ { R / / L } = frac { 1 } { R } + frac { 1 } { k times L times omega } ] Donc [ H = frac { 1 } { 3 + frac { R } { j times L times omega } } ] On obtient donc le même résultat que le filtre précédent.

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Joy

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