Définition

Il n'est pas équivalent d'écrire : L=1,5 cm et L=1,50 cm. La première écriture signifie que la mesure de longueur a été effectuée avec un instrument permettant d'apprécier le millimètre, la deuxième écriture signifie que la mesure a été effectuée avec un instrument permettant d'apprécier le dixième de millimètre. Tous ces chiffres ont donc une signification. Les chiffres significatifs nous informent sur la valeur de la grandeur mesurée et sur la précision de cette mesure.

A quoi servent les chiffres ? Les chiffres sont présents partout dans nos vies.

Recherche des chiffres significatifs

Dans l'écriture scientifique d'un nombre (a.10^n) tous les chiffres servant à écrire le nombre décimal a sont significatifs. Rappelons que a est supérieur ou égal à 1 et strictement inférieur à 10. Attention, dans l'écriture d'un nombre sans utiliser l'écriture scientifique les zéros situés avant la virgule ne sont pas significatifs alors que les zéros situés en fin de nombre sont significatifs

Chiffres significatifs et présentation du résultat d'un calcul

  • Lorsqu'on effectue un produit ou un quotient, le résultat ne doit pas être exprimé avec plus de chiffres significatifs que la donnée qui en comporte le moins.

Exemple: 1,52 x 2,3 = 3,496 mais on écrira: 1,52 x 2,3 = 3,5 car 2,3 ne comporte que deux chiffres significatifs alors que 1,52 en comporte trois.

  • Lorsqu'on effectue une somme ou un différence, le résultat ne doit pas être exprimé avec plus de décimales que la donnée qui en comporte le moins.

Exemple : 200,1 + 50,25 = 250,35 mais on écrira 200,1 + 50,25 = 250,3 (ou 250,4) car 200,1 ne comporte qu'une décimale (1) alors que 50,25 en comporte deux (2 et 5) On pourrait écrire le résultat sous la forme 2,503.102, c'est ce qu'on appelle l'écriture scientifique.

L'écriture scientifique

L'écriture scientifique est une technique utilisée pour représenter les nombre décimaux en les exprimant d'une certaine façon. L'écriture scientifique est de la forme a x 10n. Dans cette écriture, le nombre a est un nombre décimal compris entre 1 et 10 exclu. Ce nombre est appelé mantisse. Le petit n est un entier relatif que l'on appelle l'exposant. Le chiffre avant la virgule est donc unique et non nul. Il est parfois suivi de décimales, d'autant que la précision sera élevée. Astuce : Le nombre 0 ne peut-être représenté avec la notation scientifique. La notation scientifique peut aussi aider les opérations car on peut facilement multiplier les mantisses ou additionner les exposants. Une autre notation peut aussi se retrouver, notamment dans les calculatrices scientifiques ou sur les ordinateurs. La lettre e comme exposant remplace le 10n. Par exemple 4e−3 = 4 × 10−3 = 0,004.

Comment utiliser l'écriture scientifique ? L'écriture scientifique sert dans de nombreuses matières : que ce soit en mathématiques, en physique ou en biologie.

Utilité

Il arrive régulièrement d'avoir recours à la notation scientifique quand on veut encadrer les valeurs utilisées avec une marge d'erreur. On utilise alors les chiffres significatifs. Par exemple, 1,2350 × 10signifie que la valeur est comprise entre 1 234 950 et 1 236 050.

Lien entre l'écriture scientifique et les ordres de grandeur

Grâce à l'écriture scientifique, on peut facilement déterminer l'ordre de grandeur d'un nombre. L'ordre de grandeur est donc de l'exposant lorsque la mantisse est inférieure à 5 ou l'exposant +1 quand la mantisse est supérieure ou égale à 5. Les ordres de grandeur sont des puissances de 10 qui servent à exprimer des nombres très grands. Ils sont donc là pour aider à représenter une grandeur avec un nombre simple qui relève d'une approximation. Il représente la puissance de 10 la plus proche du nombre exact. Dans le cadre où une grandeur sera multipliée par 10, il conviendra de dire qu'elle a augmenté d'une grandeur. L'utilisation des ordres de grandeur facilite aussi les comparaisons entre différents éléments tels que des planètes ou encore des rayons d'atomes. Elle permet aussi de savoir quel type d'appareil de mesure choisir pour réaliser des expériences. L'ordre de grandeur vous permettra aussi de vérifier la cohérence de vos calculs. L'ordre de grandeur de la distance Terre-Lune est de 108m, car la distance Terre-Lune est de 384 000 km. L'ordre de grandeur d'une molécule d'eau est de 10-10m, car sa taille est de 0.4 nm. Des préfixes ont été ajoutées aux unités de base du Système International afin de pouvoir plus facilement manier de grands nombres. La plupart du temps, ces préfixes sont utilisés en lieu et place des ordres de grandeur. On parlera d'un kilo pour exprimer une grandeur d'ordre 103 ou d'un méga pour exprimer une grandeur d'ordre 106. Nous comptons 20 préfixes aux unités de grandeur. Ces derniers sont apparus pour la plupart au cours du 20e siècle mais certains existent depuis le 18e siècle ! C'est souvent dans le domaine de l'informatique que vous entende parler de ces ordres de grandeur. En effet, si l'on parle d' 1 examètre, on préférera utiliser l'appellation de 105,7 années lumières. Cependant, si vous utilisez des clés USB ou des disques durs, vous aurez souvent entendu parler que ces derniers ont des capacités qui se mesurent en gigabits ou encore térabits.

Exemples

L'écriture scientifique de 0,0015 est 1,5 . 10 -3. L'écriture scientifique de 15390,5 est 1,53905 . 10 4. L'écriture scientifique de 0,004 s’écrit 4 × 10−3. Voici un petit tableau explicatif pour vous aider :

Ecriture décimaleEcriture scientifique
10-50,00 001
2,58 x 10-20,0 258
4216
1031 000
1,56 x 1020156 000 000 000 000 000 000

Pour une plus grande précision, il faut choisir les bonnes unités

Les conventions d'écriture pour les unités

Comment travailler malgré la barrière de la langue ? Les unités et le système international ont permis de rendre le travail possible entre des chercheurs venant de pays différents et parlant des langues différentes.

Par convention, les noms d'unités sont des noms communs on les écrit alors en minuscules : par exemple, on écrit « kelvin » et non « Kelvin », « ampère » et non « Ampère ». Pourtant, ces unités ont pour origine les noms propres des savants qui les ont inventées. De plus, puisque ces unités sont des noms communs, il peuvent prendre la marque du pluriel, (par exemple, on écrit un volt mais aussi deux volts). Cependant, les symbole prennent une majuscule (sauf convention contraire) si le nom de ces unités dérivent du nom d'une personne. Par exemple, on écrit "V" pour volt, provenant d'Alessandro Volta, "A" pour ampère provenant d'André-Marie Ampère et "Pa" pour pascal provenant de Blaise Pascal. Si le symbole ne dérive pas d'un nom propre, le symbole commence par une minuscule. C'est le cas des mètres qui s'écrit "m" mais aussi pour la mole qui s'écrit "mol". Cependant, il peut exister quelques exceptions adoptées lors des conférences générales des poids et mesures. Ces exceptions ont été adoptées pour éviter toute confusion, c'est le cas du litre qui se symbolisme par "L". Il en a été décidé ainsi pour éviter tout confusion avec la lettre "l" et le chiffre "1". L'unité du degré Celsius n'est pas une exception. Il ne faut pas oublier que son écriture correcte est le "degré Celsius" qui se symbolise par "°C". Les caractères ° et C sont indissociables puisque l'unité commence par le degré et que Celsius est un qualificatif. En effet, il existe différents degrés différents comme le degré Fahrenheit.

Les unités pour la logique

La dimension d'une grandeur traduit la nature physique de cette grandeur. Si deux grandeurs présentent la même dimension, alors elles sont dites homogènes. Bien évidemment, seule la comparaison de deux valeurs de grandeurs physiques homogènes a un sens ! Par exemple, il est insensé de comparer une énergie à une masse puisque ce sont des grandeurs de natures différentes. Les unités permettent donc de quantifier la mesure d'une grandeur physique.

Grandeurs du système international

L'ensemble des unités associées aux dimensions fondamentales constitue le système international d'unités. Il s'agit du système MksA (mètre, kilogramme, seconde, Ampère), mais le Kelvin, le mole et le candela font aussi partie de ce système. Ces unités sont appelées unités légales. Elles sont universelles et connues de par le monde entier.

Il est important de savoir que toutes les autres dimensions se déduisent de ces sept dimensions fondamentales par produit ou division de ces dimensions.

Dans certains sujets d'exercices, les grandeurs ne sont pas exprimées dans le système international mais avec des grandeurs usuelles. Il est facile de les comprendre et elles sont parfois utilisées dans la vie de tous les jours, mais il est essentiel de toujours effectuer les calculs avec les grandeurs exprimées dans l'unité internationale pour éviter les erreurs. Par exemple, la pression est souvent exprimée en Bar. Or, dans le système international, la pression s'exprime en Pascal !

Les unités usuelles ont un lien avec les unités du système international

Voici quelques correspondances entre les modèles usuel et international qui pourront faciliter vos conversions :

  • 1 bar = 100 000 Pa
  • 1 L = 0,001 m3
  • 0°C = 273,15 K
  • 1 g/L = 1 000 g/m3
  • 1 are = 100 m²

Voilà pourquoi il est très important de savoir convertir les unités ! Attention donc pendant vos exercices

Méthode simple pour retrouver une unité

Si, lors d'un exercice, vous vous retrouvez face à une formule dont vous ignorez l'unité du résultat, ne paniquez pas ! Il est très simple de retrouver l'unité avec ce qu'on appelle une analyse dimensionnelle.

Une analyse dimensionnelle consiste à décomposer les grandeurs physiques mises en jeu dans une formule afin de retrouver l'unité de la grandeur cherchée.

Voici un exemple simple : [ v = frac { triangle d } { triangle t } ] En décomposant les grandeurs physique en leur unité, on obtient : [ v = frac { m } { s } ] On peut donc en déduire que l'unité de la vitesse est le m/s, soit m.s−1

Ce qu'il ne faut pas oublier pour réussir son exercice de physique-chimie

Comment réussir les calculs ? Afin de s'entraîner et de devenir efficace dans les exercices mathématiques, il est important de s'exercer et d'effectuer de nombreux exercices.

Homogénéité et relations mathématiques

Il faut savoir, avant de procéder à une analyse dimensionnelle que :

  • Deux grandeurs de valeurs égales ont nécessairement la même dimension,
  • Les termes d'une somme ont nécessairement la même dimension,
  • La dimension d'un produit de facteur est le produit des dimensions des facteurs.

Il faut aussi procéder systématiquement à une analyse dimensionnelle des grandeurs définies par les formules car cela permet :

  • De comprendre la signification physique des termes apparaissant dans les expressions et équations littérales,
  • De détecter une erreur de calcul,
  • De déterminer l'expression approchée d'une grandeur sans résoudre exactement le problème.

Surtout, n'hésitez pas à vous prêter régulièrement à ce type d'exercice pour qu'il se fasse de la façon la plus naturelle, fluide et rapide qu'il soit lors des examens. Pratiquez chez vous et montrer le résultat à votre enseignant pour qu'il puisse vérifier ce que vous faîtes !

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Joy

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