Problématique

Comment interpréter les paliers de diffusion d'une courbe intensité-potentiel d'une électrode ? Est-il utile de remuer son café pour répartir le sucre dans toute la tasse ?

Analyse du problème

  • Comme dans le cas d'un transfert de charge ou de masse, le transfert de particule se caractérise par son débit (débit de particule).
  • Comme dans le cas d'un transfert de charge ou de masse, lorsque ce transfert est réparti dans l'espace, on peut montrer que le débit s'exprime comme le flux d'un vecteur densité de courant (densité de courant particulaire).
  • Comme dans le cas du transfert thermique par diffusion qui se fait dans le sens des températures décroissantes, le transfert de particules par diffusion se fait dans le sens d'une densité particulaire décroissante.
  • Comme dans le cas de la diffusion de la température, l'évolution spatio-temporelle de la densité particulaire est décrite par deux équations :
    • Une équation bilan de conservation des particules,
    • Une loi phénoménologique qui décrit le transfert par diffusion (Loi de Fick).

La diffusion de particules

Lorsque vous vous préparez une tasse de thé bien chaud, vous pouvez assister à la diffusion du thé dans l'eau.
En effet, on peut observer ce phénomène partout dans notre vie de tous les jours, il suffit d'être attentif.

Lorsque l'on parle de diffusion en physique des particules, on parle très souvent de l'interaction qui existe entre deux particules qui sont en mouvement l'une par rapport à l'autre. Ainsi, on peut considérer que la diffusion des ondes correspond à un cas particulier du domaine de la diffusion dans lequel la particule incidente correspond à la particule qui est associée à l'onde, dans le cas d'une onde électromagnétique on parlera du photon. Ainsi, les diffusions élastique ou inélastique simple peuvent, de la même manière, être assimilées à la diffusion des ondes si on se place dans une approche ondulatoire de la matière. Il peut être intéressant de savoir que l'on utilise souvent la diffusion de particules dans les accélérateurs de particules dans le but de sonder la structure interne des atomes ou des hadrons. Il est possible de classer les diffusions en trois catégories :

  • La diffusion élastique correspond à une diffusion dans laquelle les particules cible et incidente conservent leurs propriétés physiques ainsi que leur énergie intrinsèque ;
  • La diffusion inélastique correspond à une diffusion dans laquelle les particules cible et incidente ne conservent pas leurs propriétés physiques voire même celles-ci changent d'état, c'est à dire d'excitation ;
  • La diffusion profondément inélastique correspond à une diffusion inélastique de haute énergie avec un fort transfert d'impulsion.

Ainsi, selon l'énergie et les particules qui sont considérées, il est possible de simplifier les calculs de section efficace. C'est pour cela que l'on définit également des sous-catégories de diffusion qui sont les suivantes :

  • La diffusion de Rutherford correspond à une diffusion élastique d'une particule chargée sur un atome ;
  • La diffusion de Mott correspond à une diffusion similaire à la diffusion de Rutherford. Cependant, la diffusion de Mott prend en compte le spin de la particule incidente.

La loi de Fick

La loi de Fick, établie par Adolf Fick en 1855, correspond à une loi qui décrit la diffusion de la matière au sein d'un milieu binaire. Analogue à la l'équation de la chaleur de Joseph Fourrier, la loi de Fick relie le flux de matière au gradient de concentration. On peut alors retrouver logiquement cette loi au sein des systèmes qui décrivent un transport, de masse, d'énergie ou autre, à chaque fois qu'il est possible de séparer les échelles microscopiques d'un phénomène décrit par une équations cinétique et les échelles du milieu continu macroscopique. Bien que cette loi soit, au départ, empirique, elle a été justifié puis généralisé dans un milieu muticomposant sous le nom de "équations de Stefan-Maxwell" en 1871.

Forme générale de la loi

Il est fortement conseillé de connaître et comprendre cette loi et toutes les autres que vous allez étudier au cours de votre années scolaires car elles vous seront très utiles lors du concours d'entrée dans les grandes écoles.

La loi de Fick permet d'exprimer une relation linéaire entre le flux de matière et le gradient de concentration de celle-ci : [ J _ { j } = - rho times D _ { i j } times Delta c _ { j } ] Avec :

  • Jj correspondant au flux massique exprimé en kg.m-2.s-1 ;
  • ρ correspondant à la masse volumique exprimée en kg.m-3 ;
  • Dij correspondant au coefficient de diffusion binaire exprimé en m2.s-1 ;
  • Et cj correspondant à la fraction massique qui est une grandeur sans unité.

Deux type de diffusion

La conduction

La conduction thermique, également appelée diffusion thermique, correspond à un mode de transfert thermique qui est provoqué par la présence d'un gradient de température entre deux régions qui composent un même milieu ou alors entre deux milieux qui sont en contact direct. Il va alors y avoir, contrairement à la convection, un transfert d'énergie thermique sans déplacement global de matière à l'échelle macroscopique. Il est alors possible d'interpréter ce mode de transfert thermique comme étant la transmission de proche en proche de l'agitation thermique. Autrement dit, un atome, voire une molécule, va céder une partie de son énergie cinétique à un atome, ou une molécule, qui est à son voisinage.

La convection

Il est possible d'observer un phénomène de convection dans sa cuisine. En effet, lorsque vous faites bouillir de l'eau, l'eau chaude, moins dense, va monter pour prendre la place de l'eau froide qui va alors descendre puis chauffer et monter ainsi de suite.

La convection thermique correspond à un transfert d'énergie thermique au sein d'un fluide qui est en mouvement ou entre un fluide en mouvement et une paroi solide. Ainsi, le transfert d'énergie peut se réaliser grâce à deux modes de transfert élémentaire qui se combinent : ce sont l'advection et la diffusion.

Le coefficient de diffusion

Le coefficient de diffusion correspond à une grandeur caractéristique du phénomène de diffusion de la matière. Ce coefficient permet ainsi de mesurer le rapport entre le flux molaire qui est provoqué par la diffusion moléculaire et le gradient de concentration de l'espèce chimique que l'on considère ou, de façon plus générale, de la variable d'effort qui entraîne cette diffusion.

Mesure du coefficient de diffusion

Afin de déterminer le coefficient de diffusion à travers une plaque d'épaisseur d, il est possible d'utiliser la propriété de la diffusion de plus en plus lente comme la racine carrée du temps, en considérant le temps t d'arrivée d'une variation brutale de concentration des particules diffusantes. Ainsi, on va obtenir le coefficient de diffusion D avec la relation suivante : [ D = frac { 1,37 times d ^ { 2 } } { pi ^ { 2 } times t } ]

Champs et interactions particulaires

Le champ électrique

En physique, on appelle champ électrique tout champ vectoriel créé par des particules électriquement chargées. Plus exactement, lorsque nous sommes en présence d'une particule chargée, les propriétés locale de l'espace défini sont alors modifié ce qui permet de définir la notion de champ. En effet, si une autre charge se trouve être dans le dit champ, elle subira ce qu'on appelle l'action de la force électrique qui est exercée par la particule malgré la distance. On dit alors du champ électrique qu'il est le médiateur de la dite action à distance. Si on se veut plus précis, on peut définir dans un référentiel galiléen défini, une charge q définie de vecteur vitesse v qui subit de la part des autres charges présentes, qu'elles soient fixes ou mobiles, une force qu'on définira de force de Lorentz. Cette force se décompose ainsi : [ overrightarrow { f } = q left ( overrightarrow { E } + overrightarrow { v } wedge overrightarrow { B } right) ] avec :

  • [ overrightarrow { E } ] le champ électrique. Celui-ci décrit dans ce cas la partie de la force de Lorentz qui est indépendante de la vitesse de la charge
  • [ overrightarrow { B } ] le champ magnétique. Celui-ci décrit ainsi la partie de la force exercée sur la charge qui dépend du déplacement de cette même charge dans le référentiel choisi.

De plus, il est important de noter que les deux champs, électrique et magnétique, dépendent du référentiel d'étude. Avec cette formule, on peut alors définir le champ électrique comme étant le champ traduisant l'action à distance subie par une charge électrique fixe dans un référentiel défini de la part de toutes les autres charges, qu'elles soient mobiles ou fixes. Mais on peut également définir le champ électrique comme étant toute région de l'espace dans laquelle une charge est soumise à une force dite de Coulomb. On commence à parler de champ électrostatique lorsque, dans un référentiel d'étude, les charges sont fixes. Notons d'ailleurs que le champ électrostatique ne correspond pas au champ électrique comme décrit plus haut dans cet article puisqu'en effet, lorsque les charges sont en mouvement dans un référentiel, il faut ajouter à ce référentiel un champ électrique qui est induit par les déplacement des charges afin d'obtenir un champ électrique complet. Mais, le champ électrique reste dans la réalité un caractère relatif puisqu'il ne peut exister indépendamment du champ magnétique. En effet, si on observe la description correcte d'un champ électromagnétique, celui-ci fait intervenir un tenseur quadridimensionnel de champ électromagnétique dont les composantes temporelles correspondent alors à celle d'un champ électrique. Seul ce tenseur possède un sens physique. Alors, dans le cas d'un changement de référentiel, il est tout à fait possible de transformer un champ magnétique en champ électrique et inversement.

Le champ électromagnétique

En physique, on appelle champ électromagnétique la représentation dans l'espace d'une force électromagnétique exercée par des particules chargées. Ce champ représente alors l'ensemble des composantes de la force électromagnétique qui s'appliquent à une particule chargée qui se déplace alors dans un référentiel galiléen. On peut alors définir la force subit par une particule de charge q et de vecteur vitesse par l'expression suivante : [ overrightarrow { f } = q left ( overrightarrow { E } + overrightarrow { v } wedge overrightarrow { B } right) ] avec : [ overrightarrow { E } ] le champ électrique. Celui-ci décrit dans ce cas la partie de la force de Lorentz qui est indépendante de la vitesse de la charge [ overrightarrow { B } ] le champ magnétique. Celui-ci décrit ainsi la partie de la force exercée sur la charge qui dépend du déplacement de cette même charge dans le référentiel choisi. En effet la séparation de la partie magnétique et de la partie électrique de dépend que du point de vue pris selon le référentiel d'étude. De plus, il peut être intéressant de savoir que les équations de Maxwell régissent les deux composantes couplées, c'est à dire électrique et magnétique, de sorte que toute variation d'une composante induira la variation de l'autre composante. D'ailleurs, le comportement des champs électromagnétiques se trouve décrit de façon classique par les équations de Maxwell et de manière plus générale par l'électrodynamique quantique. La façon la plus utilisée afin de définir le champ électromagnétique est celle du tenseur électromagnétique de la relativité restreinte.

Le champ électrostatique

On parle de champ électrostatique lors que les charges qui constitue le champ sont au repos dans le référentiel d'étude. Ce champ est donc déduit de l'expression de la loi de Coulomb, aussi appelée interaction électrostatique.

Le champ gravitationnel

En physique classique, on appelle champ gravitationnel, ou encore champ de gravitation, un champ qui est réparti dans l'espace et dû à la présence d'une masse qui est alors susceptible d'exercer une influence gravitationnelle sur tout les autres corps pouvant être présent à proximité immédiate ou non. On peut démontrer que le champ gravitationnel créé en un point quelconque par un corps ponctuel dérive d'un potentiel scalaire dit newtonien. En physique classique, le champ gravitationnel ou champ de gravitation est un champ réparti dans l'espace et dû à la présence d'une masse susceptible d'exercer une influence gravitationnelle sur tout autre corps présent à proximité (immédiate ou pas). L'introduction de cette grandeur permet de s'affranchir du problème de la médiation de l'action à distance apparaissant dans l'expression de la force de gravitation universelle. On peut interpréter le champ gravitationnel comme étant la modification de la métrique de l'espace-temps. L'approximation newtonienne est alors valable uniquement dans le cas où les corps présentent une vitesse faible par rapport à celle de la lumière dans le vide et si le potentiel gravitationnel qu'ils créent est tel que le quotient du potentiel gravitationnel sur le carré de la vitesse de la lumière dans le vide est négligeable. On peut approcher le champ électrique et le champ gravitationnel. En effet, l'expression du champ et du potentiel ne sont différents que d'une constante. De plus, les principaux théorèmes de calculs, celui de la superposition ou de Gauss par exemple, peuvent s'appliquer dans les deux cas. Ce qui les différencie alors est le caractère attractif, donc entre deux charges de signe opposé, ou répulsif, donc entre deux charges de même signe, du champ électrique tandis que le champ gravitationnel ne peut être qu'attractif.

Réalisation d'un exercice type concours

  1. Description des transferts de particules
    • Les deux modes de transfert
    • Comment quantifier ces transferts ?
    • Cas particulier du transfert conductif (diffusif)
  2. Bilan local de conservation des particules
    • Cas particulier 1D en cartésiennes
    • Cas particulier 1D en cylindriques
    • Cas particulier 1D en sphériques
    • Généralisation en 3D
  3. Équation de diffusion
    • Cas particulier 1D en cartésiennes
    • Cas particulier 1D en cylindriques
    • Cas particulier 1D en sphériques
    • Généralisation en 3D

Validation du résultat

Si, au cours de vos révisions, vous avez des doutes, n'hésitez pas à faire appel à un professeur qui saura vous guider.

  • Irréversibilité de l'équation de diffusion
  • Lenteur du phénomène de diffusion
  • Ordres de grandeur du coefficient de diffusion
  • Analogie avec les autres équations de conservation
  • Analogie avec l'équation de Maxwell-Gauss en régime stationnaire.
  • Manipulation des équations :
    • Ne pas hésiter à refaire les démonstrations dans le cas particulier étudié (système de coordonnées adapté, absence ou présence de source, stationnaire ou non)
    • Résolution élégante par analogie avec l' équation de Maxwell-Gauss.

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Joy

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