La propagation linéaire d'une onde

Problématique

  Comment est-il possible d'interpréter le phénomène de dispersion d'une onde dans le cas de l'atténuation d'une onde sonore à travers un mur ou dans le cas de l'atténuation d'une onde lumineuse à travers un verre teinté ? Comment est-il possible d'interpréter ce phénomène de dispersion de la lumière à travers un prisme ?

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Analyse du problème

• L'atténuation d'une onde peut être liée :
  • A la nature sphérique de l'onde (amplitude en 1/r)
  • A une perte énergétique (terme de dérivée simple par rapport au temps qui rend l'équation non réversible)
• La dispersion d'un prisme provient du fait que les lois de Descartes dépendent de la longueur d'onde, donc du fait que l'indice dépend de la longueur d'onde (longueur d'onde dite dans le vide), donc du fait que la vitesse de propagation de la lumière dans le verre dépend de la fréquence de l'onde lumineuse.

La propagation d'une onde

Attention aux oreilles !

Un onde se propage dans un milieu qui le lui permet car la propagation résulte de la mise en mouvement d’une particule dans le temps mais aussi dans l’espace  par rapport au milieu. Cela est possible uniquement si la source est dans un état vibratoire. On peut caractériser la propagation d’une onde par sa vitesse de propagation à l’aide la formule suivante : [ c = lambda times f ] Avec :

• c la célérité de l’onde ;
• λ la longueur d’onde ;
• f la fréquence de l’onde.

Remarque : La vitesse de la lumière est de 300 000 km.s^-1 et la célérité d’une onde sonore est de 344 m.s^-1

Propagation d'une onde dans l'air

L'été est une période agréable pour les concerts

Lorsque l'onde se propage dans un milieu fluide compressible, il est possible d'observer une variation de pression qui va alors se propager sous la forme d'une onde. L'air nous entourant étant un milieu fluide compressible, il est alors possible de ressentir ces ondes sous la forme de son que l'on perçoit grâce aux tympans. Cependant, pour qu'elle soit perceptible, il faut que la variation de pression, parce que son amplitude est faible par rapport à la pression atmosphérique, soit suffisamment rapide et répétée. Il est possible de considérer tout objet vibrant, tel qu'un instrument de musique ou encore un haut-parleur, comme étant une source sonore qui est donc, comme son nom l'indique, la source des vibration de l'air. La perturbation va alors se propager, même si les particules oscillent très peu (soit quelques micromètres autour d'une position stable), d'une façon analogue aux perturbations de l'eau lorsqu'une pierre y tombe : on peut observer des vagues qui s'éloignent peu à peu du point de perturbation bien que l'eau reste au même endroit. En effet, l'eau ne se déplace que verticalement et ne suit pas les vagues (il est possible d'observer ce phénomène en plaçant un objet flottant près de la perturbation : il ne restera à la même position). On peut alors dire que, dans les fluides, l'onde sonore correspond à une onde longitudinale. Ainsi, les particules observées vibrent de façon parallèle à la direction de déplacement de l'onde. Une onde sonore peut également être transmise par un solide vibrant. En effet, la vibration va se propager au sein du solide comme dans les fluides : il y aura de faibles oscillation autour de la position d'équilibre des atomes constituant le solide. La conséquence est alors une contrainte du matériau qui, équivalente à la pression dans un fluide, est très difficile à mesurer. C'est donc la rigidité du matériau qui permettra la transmission des ondes de contraintes transversales. Il peut être intéressant de noter que, la vitesse de propagation du son, également appelée célérité, varie selon différentes propriétés du milieu comme :

• La nature du milieu ;
• La température du milieu ;
• Et la pression du milieu.

Ainsi, dans un gaz parfait, on peut obtenir la vitesse de propagation d'une onde sonore avec la relation suivante : [ c = frac  { 1 } { sqrt { rho chi _{S} } } ] Avec :

• ρ correspondant à la masse volumique du gaz ;
• Et χ_S correspondant à la compressibilité isentropique du gaz.

Il est également possible d'observer une diminution de la vitesse du son lorsque :

• La densité du gaz augmente, on appelle cela l'effet d'inertie ;
• La compressibilité du gaz, c'est à dire sa capacité à changer de volume selon la pression qu'il subit, augmente.

Pour calculer la vitesse du son dont l'unité est, rappelons-le, le mètre par seconde, il est possible d'utiliser l'expression suivante : [ c _ { text { air } } = 330 + 0,6 times T ] avec T la température en degré Celsius. Mais il est possible d'être plus précis en utilisant les degrés Kelvin. On doit alors se servir de l'expression suivante : [ c _ { text { air } } = 20 times sqrt { T } ] Notons que, de façon générale, la vitesse du son dans l'eau est de 1 500 m.s^-1. Mais il existe de nombreux milieux où les ondes sonores peuvent se propager de façon encore plus rapide. On peut alors prendre l'exemple de l'acier au sein duquel les ondes se propage une vitesse comprise entre 5 600 et 5 900 m.s^-1. Cependant, une onde sonore est incapable de se propager dans le vide puisqu'il faut nécessairement la présence de matière déformable pour que la vibration puisse se propager.

Variation de l'énergie de l'onde pendant sa propagation

Les gros événements climatiques sont des événements, très souvent, de haute énergie.

L’onde, lorsqu’elle se propage, s’accompagne d’une modification temporaire des propriétés du milieu comme la position, la vitesse et la distance entre les particules constitutives du milieu modifié. Ainsi, l’énergie, qu’elle soit potentielle ou cinétique, varie lorsque le signal est atteint. Notez tout de même que la variation d’énergie est temporaire et se déplace de proche en proche : elle ne dure que le temps de passage de l’onde

Les ondes

Une onde est une déformation ou une vibration qui se propage dans un milieu défini. Il existe trois types différents d’ondes :

• Mécanique : Les ondes magnétiques nécessitent une matière qui se déforme afin de se propager. Ce matériau a la capacité recouvrer son état initial grâce aux forces de restauration qui inversent la déformation.
• Électromagnétique : Les ondes électromagnétiques quant à elles n’ont pas besoin de support pour se déplacer : elles correspondent à des oscillation périodiques de champs électriques et magnétiques qui peuvent alors se déplacer dans le vide.
• Gravitationnelle : Les ondes gravitationnelles n’ont plus de support pour se déplacer puisque ce sont les déformations de la géométrie de l’espace-temps qui se propagent.

L'onde sonore

Une onde sonore est une onde mécanique, elle possède donc de l'énergie cinétique et de l'énergie potentielle.

• L'énergie cinétique : Tout corps en mouvement en possède une. Elle peut être macroscopique : elle dépend alors de la vitesse du corps en mouvement, et donc du référentiel d'étude microscopique : elle est liée à l'agitation moléculaire. Une augmentation de l'énergie cinétique microscopique se traduit par une augmentation de la température.
• L'énergie potentielle : Elle dépend de la position relative des différentes parties du système: seul un systèmes déformable pourra posséder, à l'échelle macroscopique, de l'énergie potentielle.

La réfraction : la loi de Snell-Descartes

La réfraction peut être facilement observée dans la vie de tous les jours.

La réfraction de la lumière correspond au changement de direction du rayon lumineux lorsque celui-ci traverse une surface séparant deux milieux d'indices de réfraction différents.

En effet, la loi de Snell-Descartes de la réfraction exprime le changement de direction d'un faisceau lumineux lors de la traversée d'une paroi qui sépare deux milieux différents. Il faut d'abord savoir que chaque milieu est caractérisé par sa capacité à « ralentir » la lumière. On modélise cette caractéristique par son indice de réfraction n qui s'exprime sous la forme : [n = frac { c } { v } ] Où v est la vitesse de la lumière dans ce milieu et c est la vitesse de la lumière dans le vide (souvent arrondie à 3.10⁸ m.s^-1 Il est important de savoir que :

• Le rayon lumineux est dit incident avant d'avoir rencontré la surface réfractante (appelée dioptre), il est dit réfracté après avoir rencontré cette dernière.
• Le point de rencontre du rayon incident et du dioptre est appelé point d'incidence.
• Le plan contenant le rayon incident et la normale au dioptre, au point d'incidence est dit plan d'incidence.
• L'angle orienté i₁ pris entre la normale au point d'incidence et le rayon incident est dit angle d'incidence.
• L'angle orienté i₂ pris entre la normale au point d'incidence et le rayon réfracté est dit angle de réfraction.
• Les angles i₁ et i₂ sont positifs si ils sont orientés dans le sens trigonométrique (sens inverse des aiguilles d'une montre), négatifs sinon.

On prend n₁ l'indice de réfraction du milieu dans lequel se propage le rayon incident et n₂ celui du milieu dans lequel se propage le rayon réfracté. Pour pouvoir énoncer la loi de la réfraction, il faut que le rayon réfracté, le rayon incident et la normale (au dioptre) soient dans un même plan qui est appelé le plan d'incidence et que le rayon incident et le rayon réfracté soient situés de part et d'autre de la normale. Lorsque n₁ > n₂ (et respectivement n₁ < n₂) le rayon réfracté (et respectivement : incident) se rapproche plus rapidement du dioptre que le rayon incident (ou réfracté). Cependant, il existe un cas particulier où le rayon réfracté (ou incident) se retrouve mathématiquement sur le dioptre (sa limite) : il y a alors réflexion totale.

Cas particulier : la réfraction atmosphérique

La réfraction atmosphérique correspond à un phénomène optique consistant en une trajectoire non rectiligne de la lumière lorsque celle-ci traverse l'atmosphère. Cela est principalement dû à une variation de la densité de l'air avec l'altitude.

L’atmosphère est la couche de gaz qui entoure la Terre. Cette dernière joue un rôle de protection en nous protégeant de ce qui se trouve au delà, dans l’espace, comme les rayons du soleil ou les corps étrangers. L’air que contient l’atmosphère est constitué à 78 % de diazote, de 21 % de dioxygène et le dernier pourcent représente une multitude d’autres gaz tels que le méthane, l’ozone, le dioxyde de carbone, l’argon, néon, krypton, xénon, etc.

Ainsi, pour tous les objets dits immergés dans l'atmosphère, le phénomène se renomme réfraction terrestre. Ce sont d'ailleurs ces réfractions terrestres qui conduisent aux mirages mais aussi aux effets de miroitement et d'ondulation en ce qui concerne les objets lointains. De ce fait, en astronomie d'observation, la réfraction atmosphérique peut provoquer des erreurs en ce qui concerne l'évaluation de la position angulaire réelle de l'astre qui est observé. En effet, cet astre sera observé plus haut dans le ciel qu'il ne l'est dans sa position réelle. C'est pour cela qu'il est nécessaire, voire obligatoire, d'observer une correction de hauteur, également appelé de réfraction atmosphérique. Cependant, il faut savoir que ce phénomène ne se contente pas d'affecter les rayons lumineux mais, de façon plus générale, il impacte toutes les ondes électromagnétiques. De fait de sa relation avec la longueur d'onde, on appelle cela le phénomène de dispersion, la lumière bleue sera plus fortement affectée par le phénomène que le serait la lumière rouge. C'est donc pour cela que, à cause de leur spectre, certain objets astronomiques peuvent voir les images en haute résolution s'étaler. Notons que la lumière verte peut, en partie, être interprété par la réfraction atmosphérique mais aussi par la dispersion. Un autre phénomène bien connu, l'observation du Soleil sous forme oblongue -donc légèrement aplati- lorsqu'il est à l'horizon, est un autre phénomène provoqué par la réfraction atmosphérique. Ce phénomène est d'ailleurs également observable pour la Lune. Notons cependant que la réfraction atmosphérique est beaucoup plus importante pour tout objets proche de l'horizon par rapport aux objets qui seront plus près du zénith. C'est pour cela que les astronomes, dans le but de limiter les effets de la réfraction atmosphérique, préfèrent l'observations des objets lorsqu'ils se situent à leur point culminant de leur trajectoire dans le ciel. Mais c'est également pour cela que les marins, afin de se guider, ne visent pas les étoiles proches de l'horizon mais plutôt celles qui se trouvent au moins à 20° au-dessus de cet horizon. Malgré tout, s'il n'est pas possible d'éviter les observations proches de l'horizon, il est tout à fait possible, sur certains instruments d'optique, de compenser les décalages observés à cause de la réfraction atmosphérique mais également ceux à cause de la dispersion. Il faut tout de même savoir que la réfraction atmosphérique dépend également de la pression atmosphérique et également de la température. C'est pour cela que les instruments permettant de corriger les effets précédemment cités causés par la réfraction atmosphérique et la dispersion se doivent d'être technologiquement complexe. De ce fait, leur coût élevé minimise leur expansion. Le problème est encore plus ancré dans le cas où la réfraction atmosphérique est non-homogène, principalement à cause de la présence de turbulences dans l'air. Ce sont ces mêmes turbulences qui provoquent d'ailleurs le phénomène de scintillation des étoiles.

Réalisation d'un sujet type examen

1. Méthode de résolution d'une équation linéaire aux dérivées partielles
   • Recherche sous une forme complexe avec ω réel et k(ω)
   • Vérification dans le cas de l'équation de d'Alembert
2. Absorption
3. Dispersion
   • Propagation d'une onde harmonique seule dans un milieu dispersif non absorbant
   • Propagation de deux ondes harmoniques dans un milieu dispersif non absorbant
   • Propagation d'un paquet d'onde dans un milieu dispersif non absorbant

Validation du résultat

• Vitesse de phase et de groupe d'une onde qui vérifie l'équation de d'Alembert.
• Dispersion et absorption d'un verre.
• Onde qui vérifie l'équation de diffusion
• Câble coaxial avec perte
• Paquet d'onde en mécanique quantique