Définition

On dit d'un écoulement qu'il est incompressible dans le cas où sa masse volumique est constante au cours d'un mouvement. Sa dérivée particulaire du champ scalaire est alors de massa volumique nulle. Son nombre de Mach est également assez faible, en moyenne près de 0,3.

Masse volumique

La masse volumique, également connue sous le nom de densité volumique de masse est un grandeur en physique qui caractériser la masse d'un liquide par unité de volume.

Comment calculer un masse volumique ? Une façon simple de calculer une masse volumique est de prendre une certaine quantité de liquide, 1L par exemple, et de peser cette quantité. Vous obtiendrez ainsi des grammes par litres, notés g.L-1.

Dérivée particulaire

La dérivée particulaire ou dérivée convective se note ainsi : [frac{ text {d} kappa } {text {d} y } = frac{ partial kappa }{ partial t } + ( overrightarrow { v } cdot overrightarrow { triangledown } ) kappa]

Nombre de Mach

Le nombre de Mach est un nombre sans un unité. Noté Ma, il est l'expression du rapport de la vitesse locale d'un fluide à la vitesse du son. Le nombre de Mach est régulièrement utilisé en aviation pour définir la vitesse maximale d'un avion supersonique.

Les notions en mécanique des fluides

La mécanique des fluides

La mécanique des fluide est une matière de la physique qui consiste en l'étude des différents fluides qui peuvent être sous forme liquide, gazeuse ou de plasma.

Le plasma est un état de la matière, au même titre que l’état gazeux, l’état liquide ou encore l’état solide. Il se constitue en grandes parties de particules ionisées. Il a été introduit comme quatrième état de la matière en 1928 par le physicien américain Irving Langmuir. On peut le rencontrer sur Terre sous de très hautes températures. Le cœur des flammes, la foudre ou encore les étoiles sont sous l’état de plasma

De quoi se constitue un éclair ? Les éclairs sont ni solide ni liquides. Ils sont sous la forme de plasma. Ces arc électriques de très haute puissance peuvent être dangereux et il faut se mettre à l'abri en cas d'orage, sans jamais rester sous la pluie ni sous des arbres ou à l'entrée d'une grotte.

La mécanique des fluides s'articule autour de deux grandes études : l'étude de l'hydrostatique et celle de la dynamique des fluides.

Dynamique des fluides

La dynamique des fluides est l'étude des fluides en mouvement. Cette dernière caractérise les fluides qu'ils soient liquides ou gazeux en leur donnant diverses propriétés :

  • Vitesse d'un fluide ;
  • Viscosité d'un fluide ;
  • Densité d'un fluide ;
  • Pression d'un fluide ;
  • Température d'un fluide.

Hydrostatique

L'hydrostatique est l’étude des fluides immobiles. Elle est également nommée statique des fluides. C'est le savant Archimède qui l'a mise au point. Elle définit l'étude de nombreux phénomènes physiques de la mécanique des fluides avec notamment les notions de pression dans un fluide, du cas particulier où ce dernier serait incompressible également. C'est grâce à cette discipline qu'on a pu mettre au point le baromètre qui permet de mesurer la pression atmosphérique. Aujourd'hui, on utilise l'hydrostatique pour de nombreuses applications :

  • Mesure de la pression de l'air et de l'eau ;
  • Mesure de la masse volumique ;
  • Météorologie et climatologie.

La viscosité

On appelle viscosité l'ensemble des phénomènes de résistance à l'écoulement qui peuvent se produire dans la masse d'une matière dans le cas d'un écoulement que l'on considère comme étant uniforme et sans turbulence. De façon logique, plus le viscosité sera élevée, plus la capacité que possède le fluide à s'écouler facilement va diminuer. De plus, lorsque la viscosité est élevée, l'énergie qui sera dissipée par l'écoulement sera importante. La viscosité de cisaillement, qui peut être comprise comme une résistance à l'écoulement des différentes couches d'un fluide les unes sure les autres, englobe plusieurs grandeurs physiques qui permettent de la caractériser :

  • La viscosité dynamique qui est la grandeur la plus utilisée. En effet, on se réfère généralement à cette grandeur lorsque l'on parle de viscosité sans précision. Elle permet de faire le lien entre la contrainte de cisaillement et le gradient transversal de la vitesse d'écoulement dans la matière. C'est donc pour cela que l'on appelle cette grandeur vitesse dynamique.
  • La viscosité cinématique, cette grandeur peut être déduise de la vitesse dynamique ;
  • La seconde viscosité qui caractérise la résistance du fluide à des variations de volume ;
  • Et pour finir, la viscosité de volume qui correspond à la combinaison de la viscosité dynamique et la seconde viscosité.

De ce fait, on peut considérer la viscosité comme correspondant à une quantité tensorielle bien qu'il reste possible que, selon les cas, on puisse exprimer cette grandeur sous la forme d'une grandeur scalaire.

La fluidité

La fluidité correspond à l'inverse de la viscosité dynamique

La viscosité cinématique

Il est possible d'obtenir la viscosité cinématique, noté ν, en divisant la discosité dynamique par la masse volumique, notée ρ, du fluide. On obtient alors la relation suivante : [ nu = frac { eta } { rho } ] Son unité, le mètre carré par seconde, noté n².s-1, correspondant, dans l'ancien système CGS comme étant le stokes ou centistokes notés respectivement St et cSt. La conversion est très rapide car : [ 1 text { St } = 1 text { cm } ^ 2 cdot text { s } ^ { - 1 } = 10 ^ { - 4 } text { m } ^ 2 cdot text { s } ^ {- 1 } ] et [ 1 text{ cSt } = 1 text { mm } ^ 2 cdot text { s } ^ { - 1 } = 10 ^ { - 6 } text{ m } ^ 2 cdot text { s } ^ { - 1 } ]

La seconde viscosité

La seconde viscosité correspond au second paramètre scalaire qui permet de caractériser de façon complète un fluide considéré comme étant newtonien. Elle est cependant omise dans la littérature puisque, pour la plupart des fluides usuels, il manque la caractérisation des fluides en ce qui concerne leur approximation newtonienne.

La viscosité de volume

La viscosité de volume correspond à une fonction linéaire des viscosités principale et seconde viscosité. On a ainsi : [ 3 times K = 3 times lambda + 2 times mu ]

La viscosité élongationnelle

On considère la viscosité élongationnelle comme étant une viscosité qui apparaît lorsqu'une contrainte élongationnelle s'applique au fluide étudié.

L'écoulement laminaire

Généralités

Quand on parle d'écoulement laminaire en mécanique des fluides, on évoque le mode d'écoulement d'un fluide dans le cas où l'ensemble du fluide s'écoule plus ou moins dans la même direction et cela sans que les différences locales ne se contrarient. On est alors en opposition au régime turbulent au cours duquel l'écoulement produit des tourbillons qui vont mutuellement se contrarier. Ainsi, lorsque l'on cherche à faire circuler un fluide dans un tuyau, on cherche à mettre en place un écoulement laminaire afin qu'il y ait moins de pertes de charge. Mais on cherche aussi à mettre en place un écoulement laminaire lorsque l'on cherche à faire voler un avion afin que le vol soit stable et prévisible à l'aide d'équations.

Comment se forment les rivières ? L'écoulement laminaire et son analyse permettent d'expliquer comment certains cours d'eau sont nés. En effet, l'eau suit des chemins différents en fonction du sol et de sa forme, ce qui mène à la création de rivières, de fleuves et autres.

L'écoulement laminaire d'un point de vue microscopique

Lorsque l'on observe un écoulement laminaire à l'échelle microscopique, on peut observer que deux particules de fluides qui sont voisines à un instant défini resteront voisines lors des prochains moments d'observation. De par cette observation, on peut décrire un champ de vitesse grâce à l'utilisation de techniques classiques d'analyse mathématique. Dans le cas où l'écoulement devient turbulent, celui-ci devient alors sans organisation apparente. Les techniques classiques d'analyse mathématique utilisées précédemment ne suffisent alors plus pour décrire le champ de vitesse.

L'écoulement laminaire d'un point de vue macroscopique

Tout comme la notion de régime turbulent, la notion de régime laminaire est très fortement liée à la viscosité du fluide en mouvement. En effet, lorsque le liquide se situe dans une conduite ou autour d'un obstacle, alors, au voisinage d'une paroi sur laquelle la vitesse relative du fluide est nulle, on peut alors observer l'apparition de fortes variations de vitesse au sein desquelles la viscosité est impliquée. De façon plus précise, on peut dire que l'écoulement visqueux est caractérisé grâce à un nombre sans dimension que l'on appelle le nombre de Reynolds. Ce nombre permet alors de mesurer l'importance relative des forces inertielles qui sont liées à la vitesse et des forces de frottement qui sont liées à la viscosité. Ainsi, si ces dernières sont prépondérantes, alors on peut dire que le frottement, qui se produit entre deux couches de fluides, maintient leur cohésion : on obtient ainsi un écoulement laminaire. Dans le cas où le nombre de Reynolds augmente au-delà d'un certain seuil, alors l'écoulement est déstabilisé. Dans ce cas, il peut y avoir un régime turbulent qui va se mettre en place après qu'une phase de transition, plus ou moins importante, ait eu lieu.

Le nombre de Reynolds

Le nombre de Reynolds, noté Re, correspond à un nombre sans dimension qui est utilisé en mécanique des fluides. Cette grandeur permet alors de caractériser un écoulement, en particulier la nature de son régime. Il est ainsi possible de savoir si un écoulement est laminaire, transitoire ou turbulent.

L'écoulement laminaire dans le cas d'un corps profilé dans l'air

Puisque la viscosité de l'air est beaucoup plus faible que la viscosité de l'eau, on peut alors conclure que son effet est, par la même façon, plus faible et ne se limite qu'à la zone proche de la paroi dans laquelle on peut observer que la vitesse varie forcement. On appelle alors cette zone d'effet la couche limite. Ainsi, lorsque l'on se situe à une distance suffisante de la paroi, on peut observer que les variations deviennent suffisamment faible pour que l'on puisse négliger la viscosité. De ce fait, on peut considérer le fluide comme étant parfait lorsqu'il se situe autour de l'obstacle auquel on ajoute la couche limite. a cela il est possible d'ajouter que, au bord d'attaque d'une aile, puisque la vitesse relative est nulle, la viscosité reste sans effet. La couche limite laminaire fini par devenir une couche turbulente. Néanmoins, la partie de cette couche proche de la paroi constitue un film laminaire.

Analyse

  • La force de traînée est la force que le fluide exerce sur l'objet qui avance, et qui s'oppose à son mouvement.
  • La force de portance est la force que le fluide exerce sur un aile d'avion et qui permet de soulever l'avion.
  • On tend à minimiser le Cx d'un véhicule en le profilant afin de diminuer la force de traînée.
  • intérêt méthodologique de l'étude, que l'on a déjà vu dans le cours précédent :
    • Mise en évidence d'une corrélation entre nature de l'écoulement et actions mécaniques ;
    • Introduction de facteurs adimensionnés qui permettent de rendre compte du comportement général, quel que soit le fluide, et à toute échelle ;
    • Permet l'utilisation de maquettes.

Calculs mathématiques

Comment vérifier ses calculs ? N'hésitez pas à retenir ces astuces afin de vérifier vos calculs concernant les mouvements des fluides.

Soit ρ = ρ (M, t) la masse volumique en un point M à un instant t dans le cadre s'un écoulement incompressible : [ frac{ text {D} rho } { text {D} t } = 0 ] Avec [ frac{ text {D} rho } { text {D} t } ] dérivée particulaire.

Vérifier son travail

  • Ordre de grandeur du Cx
  • Forme optimale pour baisser le Cx
  • Crise de Traînée
  • Approche qualitative pour justifier l'écoulement laminaire à faible nombre de Reynolds
  • Appproche qualitative pour justifier la transition laminaire / turbulent

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Clément

Freelancer et pilote, j'espère atteindre la sagesse en partageant le savoir que j'ai acquis lors de mes voyages au volant de ma berline. Curieux scientifique, ma soif de découverte n'a d'égale que la durée de demie-vie du bismuth 209.

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