Problématique

Comment procède-t-on lorsque l'on souhaite étudier la vibration de l'une des cordes d'un instrument à corde ?

Le violon correspond à un instrument à corde frottée.

Analyse du problème

  • Emission d'un son par un instrument à cordes : vibration de la corde se poursuit par une vibration de la caisse de résonance puis par une vibration de l'air
  • Plusieurs modes d'excitation de la corde pour la faire vibrer :
    • corde pincée comme la guitare et le clavecin
    • corde frappée comme le piano
    • corde frottée comme le violon ou le violoncelle
  •  Quelles que soient ces excitations, quelles sont les équations qui expriment la vibration de la corde ?
    • La corde est un système complexe (mouvements à 3D des points de la corde, solide déformable)
  • Pourquoi est-il nécessaire d'utiliser un modèle simple?
    • Le cours sur les ondes  contient différents exemples de différents domaines de la physique

Il est donc nécessaire d'avoir un formalisme et d'une méthodologie communs à tous les exemples

La propagation de l'onde de la corde jusqu'au tympan

Lorsque vous êtes soumis à un environnement très bruyant, pensez à protéger vos oreilles. Elles sont très importantes et tout aussi fragiles.

Il existe trois types différents d’ondes :

  • L'onde mécanique : Les ondes magnétiques nécessitent une matière qui se déforme afin de se propager. Ce matériau a la capacité recouvrer son état initial grâce aux forces de restauration qui inversent la déformation.
  • L'onde électromagnétique : Les ondes électromagnétiques quant à elles n’ont pas besoin de support pour se déplacer : elles correspondent à des oscillation périodiques de champs électriques et magnétiques qui peuvent alors se déplacer dans le vide.
  • L'onde gravitationnelle : Les ondes gravitationnelles n’ont plus de support pour se déplacer puisque ce sont les déformations de la géométrie de l’espace-temps qui se propagent.

Le son correspond a une vibration mécanique d'un fluide qui va alors se propager, grâce à la déformation élastique du fluide, en prenant la forme d'ondes longitudinales. Les Hommes, mais également beaucoup d'autres animaux, peuvent ressentir cette vibration grâce au sens que nous appelons : l'ouïe. On peut alors dire que le son correspond à une onde mécanique progressive.

Une onde mécanique progressive correspond a un phénomène de perturbation locale dans un milieu matériel. Ainsi, pour une onde mécanique, on ne peut observer de déplacement de matière mais un transport d’énergie.

Les ondes sonores audibles sont caractérisées par des fréquences allant de 20 Hz à 20 kHz, ce qui correspond à des longueurs d'onde allant de 0,017 m à 17 m. Un onde se propage dans un milieu qui le lui permet car la propagation résulte de la mise en mouvement d’une particule dans le temps mais aussi dans l’espace  par rapport au milieu. Cela est possible uniquement si la source est dans un état vibratoire. On peut caractériser la propagation d’une onde par sa vitesse de propagation à l’aide la formule suivante : [ c = lambda times f ] Avec :

  • c la célérité de l’onde ;
  • λ la longueur d’onde ;
  • f la fréquence de l’onde.

Remarque : La vitesse de la lumière est de 300 000 km.s-1 et la célérité d’une onde sonore est de 344 m.s-1

Propagation de l'onde sonore dans l'air

Un peu d'air frais pour apporter de la fraîcheur, mais également le son ambiant

Lorsque l'onde se propage dans un milieu fluide compressible, il est possible d'observer une variation de pression qui va alors se propager sous la forme d'une onde. L'air nous entourant étant un milieu fluide compressible, il est alors possible de ressentir ces ondes sous la forme de son que l'on perçoit grâce aux tympans. Cependant, pour qu'elle soit perceptible, il faut que la variation de pression, parce que son amplitude est faible par rapport à la pression atmosphérique, soit suffisamment rapide et répétée.

Le tympan correspond à une membrane fibreuse qui va séparer l'oreille externe de l'oreille moyenne. Son rôle est de capter les vibrations provoquées par les sons qui parviennent dans le conduit auditif externe pour ensuite les transmettre à la chaîne ossiculaire.

Il est possible de considérer tout objet vibrant, tel qu'un instrument de musique ou encore un haut-parleur, comme étant une source sonore qui est donc, comme son nom l'indique, la source des vibration de l'air. La perturbation va alors se propager, même si les particules oscillent très peu (soit quelques micromètres autour d'une position stable), d'une façon analogue aux perturbations de l'eau lorsqu'une pierre y tombe : on peut observer des vagues qui s'éloignent peu à peu du point de perturbation bien que l'eau reste au même endroit. En effet, l'eau ne se déplace que verticalement et ne suit pas les vagues (il est possible d'observer ce phénomène en plaçant un objet flottant près de la perturbation : il ne restera à la même position). On peut alors dire que, dans les fluides, l'onde sonore correspond à une onde longitudinale. Ainsi, les particules observées vibrent de façon parallèle à la direction de déplacement de l'onde. Une onde sonore peut également être transmise par un solide vibrant. En effet, la vibration va se propager au sein du solide comme dans les fluides : il y aura de faibles oscillation autour de la position d'équilibre des atomes constituant le solide. La conséquence est alors une contrainte du matériau qui, équivalente à la pression dans un fluide, est très difficile à mesurer. C'est donc la rigidité du matériau qui permettra la transmission des ondes de contraintes transversales. Il peut être intéressant de noter que, la vitesse de propagation du son, également appelée célérité, varie selon différentes propriétés du milieu comme :

  • La nature du milieu ;
  • La température du milieu ;
  • Et la pression du milieu.

Ainsi, dans un gaz parfait, on peut obtenir la vitesse de propagation d'une onde sonore avec la relation suivante : [ c = frac  { 1 } { sqrt { rho chi _{S} } } ] Avec :

  • ρ correspondant à la masse volumique du gaz ;
  • Et χS correspondant à la compressibilité isentropique du gaz.

Il est également possible d'observer une diminution de la vitesse du son lorsque :

  • La densité du gaz augmente, on appelle cela l'effet d'inertie ;
  • La compressibilité du gaz, c'est à dire sa capacité à changer de volume selon la pression qu'il subit, augmente.

Pour calculer la vitesse du son dont l'unité est, rappelons-le, le mètre par seconde, il est possible d'utiliser l'expression suivante : [ c _ { text { air } } = 330 + 0,6 times T ] avec T la température en degré Celsius. Mais il est possible d'être plus précis en utilisant les degrés Kelvin. On doit alors se servir de l'expression suivante : [ c _ { text { air } } = 20 times sqrt { T } ] Notons que, de façon générale, la vitesse du son dans l'eau est de 1 500 m.s-1. Mais il existe de nombreux milieux où les ondes sonores peuvent se propager de façon encore plus rapide. On peut alors prendre l'exemple de l'acier au sein duquel les ondes se propage une vitesse comprise entre 5 600 et 5 900 m.s-1. Cependant, une onde sonore est incapable de se propager dans le vide puisqu'il faut nécessairement la présence de matière déformable pour que la vibration puisse se propager.

Caractériser une onde sonore et le comparer à d'autres ondes sonores

Le décibel

Le décibel, en acoustique environnementale, permet d'indiquer le niveau de bruit. En effet, cette grandeur permet d'exprimer le rapport de puissance existant enter la pression acoustique et une valeur de référence qui a été choisie comme correspondant à un son imperceptible. D'une façon générale, le niveau sonore en champ libre, ce qui signifie sans obstacle sur le trajet de l'onde, est inversement proportionnel au carré de la distance, c'est-à-dire à la distance multipliée par elle-même.

La pression acoustique

La pression acoustique correspond à une grandeur physique qui stimule l'audition humaine. La plage de pression qui donne un niveau sonore perceptible par l'Homme est comprise entre un rapport de un et plusieurs millions. Attention cependant, la percepteur du volume sonore est, de façon approximative, logarithmique. Cela signifie alors qu'une augmentation définie du volume correspondra à multiplier la pression par un facteur qui est identique. C'est pourquoi on ne convertit que très rarement la mesure du bruit, qui est de façon générale, correspondant à la pression acoustique en décibel.

L'intensité acoustique

Afin de déterminer les chemins de propagation des sons dans un environnement, les études acoustiques utilisent fréquemment l'intensité acoustique. Cette grandeur correspond à la représentation de la puissance acoustique qui est transmise dans une direction définie. S'établissant généralement à partir d'un gradient de pression, on utilise logiquement un réseau de capteurs ou encore en ensemble de capteurs de vitesse acoustiques que l'on couple à un capteur de pression. Attention toutefois aux confusions. En effet, parler d'une intensité acoustique n'induit pas toujours que l'on parle d'un niveau sonore. Il suffit pour démontrer cela de prendre l'exemple d'une onde stationnaire : son intensité est nulle alors que la pression acoustique ne l'est pas et l'on entend pourtant un son.

Une onde dite stationnaire correspond à la propagation simultanée et dans des sens opposés de plusieurs ondes de même fréquence et de même amplitude dans un même milieu. Ainsi, on observera une figure dont certains points sont fixes, appelés nœuds de pression, dans le temps. Il est alors possible d’observer une vibration stationnaire et d’intensité différente en chaque point observé au lieu de pouvoir observer une onde qui se propage.

La puissance acoustique

Afin de comparer deux sources de bruit, il est nécessaire d'utiliser la puissance acoustique qui s'exprime en dB SWL. Il est possible d'obtenir la valeur de cette grandeur en plaçant la source que l'on souhaite tester dans une chambre réverbérante afin que les sons soient mélangés dans toutes les directions. Mais il est également possible d'obtenir cette valeur en effectuant une série de mesures tout autour de la source sonore à tester.

Les instruments produisent un son

Un instrument musical n'émet jamais une unique fréquence. Il émet des fréquences harmoniques. Cela signifie qu'il y a une fréquence fondamentales et plusieurs fréquences harmoniques qui lui sont associées.

Rappel : D'un point de vue physique, un battement est une modulation périodique d'un signal. Ce dernier est constitué d'une superposition de deux signaux de deux fréquences différentes mais proches. En effet, l'oreille humaine ne peut entendre deux sons différents que si leurs fréquences sont au moins éloignées de 0,5 Hertz à 5 Hertz.

Les battements peuvent très bien s'entendre lorsque l'on accorde un instrument. En effet, si on choisit de prendre pour exemple le cas d'une guitare, au moment où l'on resserre la corde, on entend les vibrations de fréquences différentes, ce sont les battements. Accorder un instrument signifie donc régler ses cordes afin que leur fibration corresponde à la fréquence de la note en question. Aujourd'hui, pour accorder les instruments on utilise des accordeurs automatiques qui sont capables de mesurer la fréquence émise par l'instrument. Avant ces appareils, il fallait régler les cordes à l'oreille, en essayant de se rapprocher au plus proche du son attendu. En réalité, une note de musique ne correspond pas une seule fréquence. On parlera de la fréquence fondamentale mais derrière celle-ci se cache près d'une dizaine d'autres fréquences qui correspondent aux harmoniques de ces notes. Inutiles de toutes les apprendre, ces dernières étant des multiples des fondamentales, vous pourrez les retrouver facilement.

Réalisation d'un exercice type concours

  1. Le modèle
  2. Mise en équation : 2 équations couplées
    • Couplage des deux variables "par l'inertie"
    • Couplage des deux variables "par l'élasticité"
    • Découplage des équations
  3. Équation de d'Alembert 1D

Validation du résultat

N'oubliez et ne négligez jamais l'étape de la relecture avant de rendre votre copie. Cela vous permettra peut-être de ne pas perdre de façon bête quelques points potentiellement cruciaux.

  • Réversibilité de l'équation
  • Ordres de grandeur de la tension
  • Ordre de grandeur de la célérité
  • Ordre de grandeur des déplacements
  • Nécessité de retenir l'une des équations couplées pour définir plus tard les impédances des ondes

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Joy

Freelancer et étudiante en Sciences de la Vie et de la Terre, je suis un peu une grande sœur qui épaule et aide les autres pour observer et comprendre le monde qui nous entoure et ses curieux secrets !

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