Problématiques

Approximation des régimes quasi-stationnaires :

Quelle définition ?

Quelle différence avec le régime stationnaire ?

Quelles conséquence sur le champ électromagnétique ?

Pourquoi l'induction est-elle traitée dans cette approximation ?

Analyse

  • Le champ électromagnétique est défini par les 4 équations de Maxwell.
    • Dans le cas stationnaire, E et B sont découplés
    • Dans l'ARQS, E et B sont couplés, c'est l'origine des phénomènes d'induction.
  • L'ARQS a déjà été défini en PCSI. C'est une approximation dans le cas de régimes "lentements variables", c'est à dire pour des fréquences max de l'ordre du MHz pour un circuit de l'ordre du mètre (conditions expérimentales des TP avec générateur "basse fréquence").
  • l'ARQS est en fait un ARQS magnétique, dans la mesure où, bien que le régime ne soit pas stationnaire, le calcul de B à partir des courants est identique au cas stationnaire.

ARQS “Magnétique”

Certaines pierres et en particulier celles en provenance de la ville de magnésie (en Ionie, une région de la Grèce antique) ont la propriété d’attirer le fer. Ces pierres furent baptisées magnes (nom duquel dérive le terme magnétisme) et ce n’est qu’au moyen-âge qu’elles reçurent le nom d’aimant.

Propagation du champ électromagnétique dans le vide

Équation de propagation

Les champs électrique et magnétique vérifient l’équation de d’Alembert.

Vitesse de propagation

La vitesse de propagation du champ électromagnétique dans le vide s’identifie avec la vitesse de la lumière dans le vide.

En quoi consiste l’approximation ?

L' ARQS consiste à négliger la propagation des champs électromagnétiques, plus précisément à négliger le retard de propagation entre la source et le point d’observation.

En régime sinusoïdal, le retard de propagation doit être très inférieur à la période de variation (temporelle) des sources. L’approximation revient à ce que la distance source - point d’observation soit très inférieure à la longueur d'onde.

En régime quelconque, la condition devient : retard de propagation c’est à dire dimension de l'espace d'étude divisée par c, négligeable devant le temps caractéristique de variation des sources.

Lien avec l’ARQS de l’électrocinétique

Simplification des équations de maxwell

L’ARQS consiste à faire un développement à l’ordre 1 en 1/c ce qui permet de supprimer le terme en 1/c2 de l’équation de Maxwell-Ampère.

Les deux champs électrique et magnétique existent et sont encore couplés.

Mais la détermination du champ magnétique à partir des courants est identique au cas de la magnétostatique car l'approximation revient à négliger le terme de courant de déplacement.

Attention : le champ électrique ne se calcule pas comme le champ électrostatique : les variations temporelles de champ magnétique sont sources de champ électrique : phénomène d'induction.

Simplification de l’équation de conservation de la charge

L’équation est similaire à celle du régime stationnaire.

Le vecteur densité de courant est à flux conservatif donc le courant est identique en tout point d'un fil.

Lois de base

Le phénomène d’induction : dans un circuit placé dans un champ magnétique apparaît un courant induit

  • si le champ magnétique est variable avec t

  • ou si le circuit n’est pas fixe.

  • Loi de Lenz (1833) dite loi de modération : les effets du courant induit s'opposent à la cause qui lui a donné naissance.

  • Induction de Neumann : circuit fixe dans champ magnétique variable.

Le courant induit crée un champ magnétique qui s’oppose aux variations du champ initial.

  • Induction de Lorentz : circuit mobile dans champ magnétique stationnaire.

Les forces de Laplace dues au courant induit s’opposent au mouvement du circuit.

  • Loi de Faraday (1834)

Une fem induite apparaît dans un circuit siège d’un phénomène d’induction : elle est égale à l’opposé de la dérivée par rapport au temps du flux magnétique à travers le circuit.

Circuits fixes dans un champ variable

Auto-induction

  • Un circuit seul dans l'espace et parcouru par un courant i crée un champ magnétique dans tout l'espace. Le flux de ce champ à travers le circuit lui-même (flux propre) est proportionnel à i. Le coefficient de proportionnalité est l'inductance propre L (ou coefficient d' autolnduction) du circuit, exprimée en henry.

  • L ne dépend que de la géométrie du système et L> 0.

  • Si l'intensité varie, le champ magnétique créé varie ainsi que son flux, d'où l'apparition d'une f.e.m induite dite d' autoinduction que l’on calcule avec la loi de Faraday.

  • Lien avec l' électrocinétique : schématisation par une bobine d'inductance L.

  • Bilan énergétique de l’établissement d’un courant dans un circuit.
  • Établir un courant i dans un circuit n'est pas gratuit d'un point de vue énergétique : il faut un apport égal à 1/2 L i2.
  • Cette énergie est stockée par le circuit et peut être récupérée : il s'agit donc d'une énergie potentielle.
  • Cette énergie est en fait une énergie magnétique emmagasinée dans le champ magnétique créé par ce circuit (montré dans le chapitre magnétostatique pour la bobine).

Induction mutuelle

L'induction est un phénomène physique que nous utilisons tous les jours dans notre cuisine. En effet, il est courant que les plaques de cuisson utilisent l'induction afin de faire chauffer les ustensile tels que les casseroles, les poêles, etc.

  • Soit un ensemble de deux circuits parcourus par des courants i1 et i2. Le flux du champ créé par le circuit 1 à travers le circuit 2 est proportionnel à i1. Le flux du champ crée par le circuit 2 à travers le circuit 1 est proportionnel à i2.

  • ADMIS : le coefficient de proportionnalité est le même dans les deux cas : M coefficient d’inductance mutuelle ou inductance mutuelle.

  • M>0 ou M<0.

  • La variation d'un courant dans l'un des circuits induit une f.e.m d'induction mutuelle dans l'autre circuit. Les équations des circuits électriques sont donc couplées.

  • Bilan énergétique de l’établissement d’un courant dans les deux circuits

  • Établir les courants i1 et i2 dans deux circuits n'est pas gratuit d'un point de vue énergétique : il faut un apport égal à 1/2 L1 i12 + 1/2 L2i22+ M i1i2
  • Expression en fonction des flux.

  • Cette énergie est stockée par les circuits et peut être récupérée : il s'agit donc d'une énergie potentielle.

  • On admet que cette énergie est en fait une énergie magnétique emmagasinée dans le champ magnétique créé par les circuits.

  • Elle est donc positive. On en déduit donc la relation M2 < L1L2. Physiquement, cette inégalité traduit le fait qu'une partie des lignes de champ créées par un circuit ne traverse pas l'autre. A la limite, si les circuits sont très éloignés, aucune ligne de champ créée par un circuit ne traverse l'autre, on a M = 0.

  • Dans le cas idéal d'un "couplage total", toutes les lignes de champ créées par un circuit traversent l'autre. On admet que l'on a alors  M2 = L1L2.

  • Exemple d’application : le transformateur parfait, loi des tensions

Circuit mobile dans un champ stationnaire, conversion électromécanique de puissance

Pour comprendre le principe : rail de Laplace

  • Description du dispositif

  • Analyse physique

  • Calcul de la fem induite : utilisation de la loi de Faraday

  • Système d’équations couplées

    • Équation électrique

    • Équation mécanique

  • Bilan énergétique

    • Technique : multiplication du PFD par la vitesse, multiplication de la loi de maille par l'intensité électrique.

    • Conversion de puissance mécanique en puissance électrique : Plaplace + Pind = 0.

Il y a couplage électromécanique parfait. Ce résultat est général pour tout circuit mobile dans un champ magnétique stationnaire.

Application au haut-parleur électrodynamique

  • Description du haut-parleur

  • Analyse physique

  • Système d’équations couplées

    • Équation mécanique

    • Équation électrique (e étant calculé grâce à la propriété de couplage parfait)

  • Les deux équations différentielles précédentes sont couplées, elles peuvent se découpler comme dans l’exemple du rail de Laplace. Mais on utilise ici la notation complexe.

  • Détermination de l'impédance équivalente du haut-parleur : elle est constituée d'une impédance dite "électrique" et d'une impédance dite "motionnelle" (qui contient les caractéristiques mécaniques du haut-parleur).

  • Bilan énergétique

Convertisseurs électromécaniques en rotation

  • Spire rectangulaire

  • Moteur à courant continu

Courants de Foucault

  • Ce sont les courants induits dans les conducteurs non filiformes.

  • Effets de ces courants :

  • Échauffement du conducteur, d'après la loi de Joule. C’est le principe du chauffage à induction.

  • Freinage du conducteur s'il est en mouvement, d'après la loi de Lenz. C’est le principe du freinage électromagnétique des poids lourds.

a) Couplage entre E et B

b) Loi de Faraday

Forme générale de la loi de Faraday

Lien avec la loi de Faraday de l’induction vue en PCSI

Attention : la circulation du champ électrique n’est pas conservative dans le cas général donc le champ électrique n’est plus lié à un potentiel scalaire par E=-gradV.

Validation

  • Conditions expérimentales pour se placer dans l'ARQS
    • dans l'air
    • dans un conducteur
  • intéraction spire/aimant
  • Inductances propre et mutuelle

Rappels

Le champ électrostatique

Il est possible de définir un champ électrostatique à partir d'un champ électrique et d'un champ magnétique. Nous vous expliquerons pourquoi dans les paragraphes suivant.

Champ électrique

En physique, on appelle champ électrique tout champ vectoriel créé par des particules électriquement chargées. Plus exactement, lorsque nous sommes en présence d'une particule chargée, les propriétés locale de l'espace défini sont alors modifié ce qui permet de définir la notion de champ. En effet, si une autre charge se trouve être dans le dit champ, elle subira ce qu'on appelle l'action de la force électrique qui est exercée par la particule malgré la distance. On dit alors du champ électrique qu'il est le médiateur de la dite action à distance.

Si on se veut plus précis, on peut définir dans un référentiel galiléen défini, une charge q définie de vecteur vitesse v qui subit de la part des autres charges présentes, qu'elles soient fixes ou mobiles, une force qu'on définira de force de Lorentz. Cette force se décompose ainsi :

    \[ \overrightarrow { f } = q \left ( \overrightarrow { E } + \overrightarrow { v } \wedge \overrightarrow { B } \right) \]

avec :

  •     \[ \overrightarrow { E } \]

    le champ électrique. Celui-ci décrit dans ce cas la partie de la force de Lorentz qui est indépendante de la vitesse de la charge

  •     \[ \overrightarrow { B } \]

    le champ magnétique. Celui-ci décrit ainsi la partie de la force exercée sur la charge qui dépend du déplacement de cette même charge dans le référentiel choisi.

De plus, il est important de noter que les deux champs, électrique et magnétique, dépendent du référentiel d'étude.

Avec cette formule, on peut alors définir le champ électrique comme étant le champ traduisant l'action à distance subie par une charge électrique fixe dans un référentiel défini de la part de toutes les autres charges, qu'elles soient mobiles ou fixes.

Mais on peut également définir le champ électrique comme étant toute région de l'espace dans laquelle une charge est soumise à une force dite de Coulomb.

On commence à parler de champ électrostatique lorsque, dans un référentiel d'étude, les charges sont fixes. Notons d'ailleurs que le champ électrostatique ne correspond pas au champ électrique comme décrit plus haut dans cet article puisqu'en effet, lorsque les charges sont en mouvement dans un référentiel, il faut ajouter à ce référentiel un champ électrique qui est induit par les déplacement des charges afin d'obtenir un champ électrique complet.

Mais, le champ électrique reste dans la réalité un caractère relatif puisqu'il ne peut exister indépendamment du champ magnétique. En effet, si on observe la description correcte d'un champ électromagnétique, celui-ci fait intervenir un tenseur quadridimensionnel de champ électromagnétique dont les composantes temporelles correspondent alors à celle d'un champ électrique. Seul ce tenseur possède un sens physique. Alors, dans le cas d'un changement de référentiel, il est tout à fait possible de transformer un champ magnétique en champ électrique et inversement.

Le champ électromagnétique

Un champ électromagnétique est un champ constitué d'un champ électrique et d'un champ magnétique. On les retrouve notamment dans les micro-ondes qui pour chauffer nos plats excitent les molécules de ces derniers.

En physique, on appelle champ électromagnétique la représentation dans l'espace d'une force électromagnétique exercée par des particules chargées. Ce champ représente alors l'ensemble des composantes de la force électromagnétique qui s'appliquent à une particule chargée qui se déplace alors dans un référentiel galiléen.

On peut alors définir la force subit par une particule de charge q et de vecteur vitesse par l'expression suivante :

    \[ \overrightarrow { f } = q \left ( \overrightarrow { E } + \overrightarrow { v } \wedge \overrightarrow { B } \right) \]

avec :

    \[ \overrightarrow { E } \]

le champ électrique. Celui-ci décrit dans ce cas la partie de la force de Lorentz qui est indépendante de la vitesse de la charge

    \[ \overrightarrow { B } \]

le champ magnétique. Celui-ci décrit ainsi la partie de la force exercée sur la charge qui dépend du déplacement de cette même charge dans le référentiel choisi.

En effet la séparation de la partie magnétique et de la partie électrique de dépend que du point de vue pris selon le référentiel d'étude.

De plus, il peut être intéressant de savoir que les équations de Maxwell régissent les deux composantes couplées, c'est à dire électrique et magnétique, de sorte que toute variation d'une composante induira la variation de l'autre composante.

D'ailleurs, le comportement des champs électromagnétiques se trouve décrit de façon classique par les équations de Maxwell et de manière plus générale par l'électrodynamique quantique.

La façon la plus utilisée afin de définir le champ électromagnétique est celle du tenseur électromagnétique de la relativité restreinte.

Le champ électrostatique

On parle de champ électrostatique lors que les charges qui constitue le champ sont au repos dans le référentiel d'étude. Ce champ est donc déduit de l'expression de la loi de Coulomb, aussi appelée interaction électrostatique.

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Clément

Freelancer et pilote, j'espère atteindre la sagesse en partageant le savoir que j'ai acquis lors de mes voyages au volant de ma berline. Curieux scientifique, ma soif de découverte n'a d'égale que la durée de demie-vie du bismuth 209.

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