Introduction

Dans une maison, il y a énormément d'appareils électriques qui fonctionnent parfois à longueur de journée. Il peut alors être intéressant de regarder les puissances de chaque appareil afin d'évaluer sa consommation mais également la puissance souscrite auprès de votre fournisseur d'électricité afin de choisir le bon abonnement et ainsi ne pas payer trop cher inutilement ou encore faire disjoncter les appareils dans votre logement ! Voici pour commencer un petit exemple avec des appareils que l'on trouve régulièrement dans une maison :

Puissance électrique des appareils ménagers

 Puissance moyenne
Machine à laver3000 W
Sèche linge3000 W
Fer à repasser1000 W
Machine à coudre100 W

Problématique

En électronique, les courants faibles (circuits de commande) posent des problématiques de traitement du signal En électrotechnique, courants forts (circuits de puissance) posent des problématiques énergétiques (pertes, transfert, conversion) Donc la problématique abordée ici est l'expression de la valeur moyenne <p(t)> absorbée par un dipôle en régime sinusoïdal ?</p(t)>

Notion physique de la puissance

La puissance, en physique, permet d'indiquer la vitesse à laquelle un travail est fourni. Cela correspond alors à la quantité d'énergie par unité de temps fournie par un système à un autre système. On peut donc conclure que la puissance correspond à une grandeur scalaire et à un débit d'énergie. Ainsi, si deux systèmes de puissances différentes fournissent le même travail, et donc la même énergie, ce sera le plus puissant des deux systèmes qui sera donc le plus rapide. On peut exprimer la capacité d'un système à fournir un travail en un temps donné à l'aide du rapport suivant : [ P = frac { W } { t } ] On peut déduire de cette formule, que l'intégrale de la puissance fournie par rapport au temps représente alors le travail fourni par le système. En ce qui concerne la notation est les unités, dans le SIU, le système international d'unité, une puissance s'exprime en watts, en joules par seconde ou encore en kg.m2.s-3. Autrefois, on utilisait encore le cheval-vapeur. Cette unité comparait alors la traction d'une machine à vapeur à celle d'un cheval de trait.

Le Système International d'Unités

Un signal sinusoïdal est un signal dont l’amplitude qui, lorsqu'elle est observée à un endroit précis, correspond à une fonction sinusoïdale du temps.

L'ensemble des unités associées aux dimensions fondamentales constitue le système international d'unités. Il s'agit du système MksA (mètre, kilogramme, seconde, Ampère), mais le Kelvin, le mole et le candela font aussi partie de ce système. Ces unités sont appelées unités légales. Elles sont universelles et connues de par le monde entier.

Il est important de savoir que toutes les autres dimensions se déduisent de ces sept dimensions fondamentales par produit ou division de ces dimensions.

Dans certains sujets d'exercices, les grandeurs ne sont pas exprimées dans le système international mais avec des grandeurs usuelles. Il est facile de les comprendre et elles sont parfois utilisées dans la vie de tous les jours, mais il est essentiel de toujours effectuer les calculs avec les grandeurs exprimées dans l'unité internationale pour éviter les erreurs.

Généralités physiques

Vitesse de transformation

Puisque la puissance est une grandeur physique, celle-ci reflète alors la notion de changement matériel dans l'univers mais également le temps nécessaire afin que ce changement s'effectue. Ainsi, la puissance est différent du travail puisque celui-ci prend uniquement en compte le changement et non pas la durée nécessaire à ce changement. De ce fait, pour un même travail effectué lorsqu'une charge pesante est transportée en haut d'un escalier, la puissance sera différente selon si le porteur de la charge effectue cette tâche en courant ou en marchant. En effet, dans le cas où le porteur transporte sa charge en courant, la puissance nécessaire à l'exécution de cette action est beaucoup plus grande. Ceci est encore plus vrai lorsque le délai d'accomplissement de ce travail est plus faible. On peut également illustrer cela en se basant sur l'exemple de la combustion complète d'un kilogramme de charbon. En effet, celle-ci libère plus d'énergie que l'explosion d'un kilogramme de TNT : l'explosion de TNT produit environ 4,7 mégaJoules par kilogramme alors que la combustion du charbon produit entre 15 et 30 mégaJoules par kilogramme. La principale différence entre ces deux réaction est la différence de puissance : puisque l'explosion est un phénomène beaucoup plus rapide que la combustion, la puissance de la première réaction est beaucoup plus supérieure que celle de la deuxième pour un même poids de réactif même si l'énergie intrinsèque du charbon est supérieure à celle de la TNT.

Variables d'effort et de flux

En général, on considère la puissance comme étant le produit d'une variable d'effort -qui peut correspondre à une force, un couple, une pression ou encore à une tension- qui est alors nécessaire à la mise en mouvement contre la résistance exercé par le système, par une variable de flux -qui peut correspondre à une vitesse, une vitesse angulaire, un débit ou encore à l'intensité du courant- qui sera entretenue malgré l'existence de cette résistance. Afin d'illustrer ce propos, on peut prendre l'exemple de la puissance nécessaire afin d'imposer un déplacement à un véhicule. En effet, cette puissance correspond alors au produit de la force de traction exercée par la vitesse de déplacement. De ce fait, la puissance d'un moteur rotatif correspond au produit du couple qu'il transmet au travers de la vitesse de rotation qu'il est capable d'entretenir malgré la résistance. Autre exemple, l'ampoule électrique est capable de convertir l'énergie électrique en lumière et en chaleur. Ainsi, la puissance consommée correspond au produit de la tension électrique par l'intensité du courant qui traverse cette ampoule. On peut définir la puissance moyenne Pm avec le quotient l'énergie E par la durée τ de ce phénomène : [ P_m = frac { E } { tau } ] La puissance instantanée correspond quant à elle à la dérivée de l'énergie fournie par rapport au temps : [ P_m = frac{ text { d } E } { text { d } tau } ] On obtient donc : [ P_m = frac{ 1 } { tau } int _ { 0 }^{ tau } P left( t right) d t]

La puissance électrique

La puissance électrique, très souvent notée P, possède pour unité le watt, de symbole W. Elle correspond au produit de la tension électrique, donc en volts, aux bornes de laquelle on branche l'appareil avec l'intensité du courant électrique, donc en ampères, qui va donc traverser l'appareil. Notez que ceci est vrai pour les appareils qui sont purement résistifs.

Le courant alternatif correspond à un courant électrique périodique qui change de sens deux fois par période. Il faut également savoir que ce courant transporte des quantités d'électricité alternativement égales dans un sens et dans l'autre. Ainsi, il est facile d'en déduire qu'un courant alternatif présente une composante continue nulle.

Le régime continu

Lorsque la tension et le courant sont continu, on définit la puissance avec la formule suivante : [ P = U times I ] Avec U et I des valeurs constantes de la tension aux bornes du dipôle et de l'intensité du courant à travers le dipôle. Notons que si l'on considère R comme étant la résistance du dipôle, on a : [ U = R times I ] On obtient donc en définitive la formule de calcul de la puissance suivante : [ P = R times I ^ 2 = frac { U ^ 2 } { R } ] Il est possible de modéliser un dipôle actif linéaire, donc un électromoteur, avec un modèle équivalent de Thévenin même si ce modèle, très sommaire, ne permet pas de rendre compte des éventuelles chutes de tension en charge ou encore des puissances électriques mises en jeu dans un domaine de validité qu'il faut nécessairement préciser. Ainsi, convention générateur, la puissance fournie par le dipôle à l'extérieur peut s'exprimer de la façon suivante : [ P _ text{ fournie } = U times I = left( E - R times I right) times I ] [ P _ text{ fournie } = E times I - R times I ^2 ] La puissance fournie par le dipôle actif correspond alors à la puissance fournie par un générateur idéal de tension, noté E, qui va donc délivrer un courant, noté I, dont une partie est dissipée par effet Joule, représenté par -RxI2 . Si on se concentre sur le cas des moteurs électriques, ExI est un terme représentant la puissance électromécanique que l'on note Pem.

Le régime alternatif

Si la tension et le courant varient, on considère que la puissance instantanée consommée par un dipôle est représenté par le produit des valeurs instantanées du courant qui le traverse et de la tension à ses bornes. On obtient alors la formule suivante : [ p left(t right) = u left( t right) times i left( t right) ] Si on se considère en régime sinusoïdal, on peut exprimer la tension et l'intensité de la façon suivante : [begin{cases} i left( t right) = i _ 0 times cos left( omega t right) = I sqrt { 2 } times cos left( omega t right) \ u left( t right) = u _ 0 times cos left( omega t + phi right) = U sqrt { 2 } times cos left( omega t + phi right) end{cases} ] Avec :

  • U et I sont les valeurs efficaces de la tension et du courant
  • Et Φ est le déphasage de la tension par rapport au courant.

On obtient alors l'expression de la puissance suivante : [p left( t right) = Utimes I times cos left( phi right) + U times I times cos left( 2 times omega t + phi right) ] Il peut alors être intéressant de noter que le premier terme de la somme ci-dessus correspond à la puissance active alors que le second terme correspond à la puissance sinusoïdale de fréquence qui est double de celle du courant et de la tension. La position moyenne de cette puissance sinusoïdale est d'ailleurs égale à la puissance active. De plus, la valeur de cos(Φ) correspond quant à lui au facteur de puissance en régime sinusoïdal. On appelle ainsi puissance fluctuante une puissance sinusoïdale de fréquence double de celle du courant et de la tension. Cette puissance n'a, pour les convertisseurs électrothermique, aucun effet puisque l'inertie thermique du système permet de lisser et ce de façon totale les variations de puissance. Cependant, cela n'est pas vrai pour les conversion électromécanique puisque la machine électrique, qu'elle soit moteur ou génératrice, tourne avec une vitesse presque constante grâce à son inertie. De ce fait, à chaque instant elle consomme ou fournir, modulo des pertes, une puissance mécanique identique. Ainsi, la puissance fluctuante est responsable d'oscillations de couples qui sont, pour la majeure partie, absorbée par l'élasticité de l'arbre de transmission. C'est pour cela que, pour une machine de forte puissance, ces oscillations sont à éviter puisqu'elles risque de provoquer la destruction de cette machine. Ceci étant la raison par laquelle les alternateurs de centrales électrique ou encore les très gros moteurs se doivent d'être polyphasés. Dans les fait, ils sont généralement triphasés.

Analyse

  •  Vu en PCSI : P(t) = u(t) . i(t)  puissance électrique instantanée absorbée par un dipôle, en convention récepteur. En régime sinusoïdal, on s'intéresse à la puissance moyenne consommée.
  • On a vu que la puissance moyenne absorbée est nulle dans deux cas :
    • la bobine modélisée par une inductance pure,
    • le condensateur modélisé par une capacité pure.

Dans ces deux cas, le dipôle stocke et restitue périodiquement une énergie potentielle.

  • La puissance est le produit de deux grandeurs sinusoïdales de même pulsation et déphasées : on retrouvera donc les résultats de la détection synchrone.
  • Dans le cas d'une association de dipôles, la puissance n'est donc consommée que dans les dipôles purements résistifs, pas dans les dipôles purement réactifs.

Réalisation des exercices types

La fonction sinus correspond à une fonction qui permet de calculer le sinus d’un angle à partir de la valeur d'un angle défini. Une sinusoïde correspond ainsi à la forme que prend la courbe représentative de cette fonction.

  • Puissance moyenne en régime périodique
    • Cas d'un dipôle purement réactif : C pur ou L pur
    • Cas d'un dipôle purement résistif
  • Puissance en sinusoïdal
    • Aspect fréquentiel
    • Facteur de pussance
  • Puissance en notation complexe
    • Danger de la notation complexe
    • Référence courant / Référence tension
  • Synthèse graphique pour un RLC
    • Impédance en référence courant / Admittance en référence tension
    • Diagrammes de Fresnel en référence courant et référence tension

Validation de l'exercice type

  • Mise en œuvre des différentes approches dans le cas
    • d'une résistance pure,
    • d'une capacité pure
    • d'une inductance pure
  • Astuce pour éviter la formule avec Re(Z) ou Re(1/Z)
  • Relèvement du cos φ d'une installation électrique

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Clément

Freelancer et pilote, j'espère atteindre la sagesse en partageant le savoir que j'ai acquis lors de mes voyages au volant de ma berline. Curieux scientifique, ma soif de découverte n'a d'égale que la durée de demie-vie du bismuth 209.

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