Problématique

Il y a nécessité de décrire les écoulements afin d'interpréter ou prévoir les effets mécaniques de ces écoulements (écoulement dans une canalisation, écoulement autour d'un objet fixe, écoulement relatif autour d'un objet qui avance dans un fluide) : on utilise un coefficient sans dimension, le nombre de Reynolds (1883), qui permet de prévoir le comportement du fluide dans une situation donnée, quelles que soient les caractéristiques de ce fluide.

  • Que représente ce nombre de Reynolds ?
  • Que permet-il de prévoir ?

Le nombre de Reynolds permet de calculer l'écoulement de certaines substances. On peut ainsi prévoir les trajectoires suivies par ces fluides.

Analyse

  • Un écoulement est souvent perturbé au voisinage d'obstacles, et moins perturbé loin de l'obstacle. Les forces de viscosité étant proportionnelles au gradient des vitesses des couches de fluide qui glissent les une sur les autres, elles n'interviendront qu'au voisinage de l'obstacle.
  • La force de viscosité exprime le transfert microscopique de quantité de mouvement des couches rapides vers les couches lentes, ce processus de diffusion étant décrit par une équation de diffusion. Un écoulement est également un transfert macroscopique de quantité de mouvement (transport par convection). Le nombre de Reynolds exprime la compétition entre ces deux modes de transfert (de transport).

Quelques notions

Transport de quantité de mouvement

On définit la quantité de mouvement en physique comme le produit de la masse par le vecteur vitesse. Son unité dans le Système International est le kg.m.s-1. L'ensemble des unités associées aux dimensions fondamentales constitue le système international d'unités. Il s'agit du système MksA (mètre, kilogramme, seconde, Ampère), mais le Kelvin, le mole et le candela font aussi partie de ce système. Ces unités sont appelées unités légales. Elles sont universelles et connues de par le monde entier. Il est important de savoir que toutes les autres dimensions se déduisent de ces sept dimensions fondamentales par produit ou division de ces dimensions.

Comment unifier les calculs ? Le système MksA a été créé dans le but d'unifier les mesures à travers le monde et de faciliter les calculs. C'est aussi grâce à ce système que l'on peut se transmettre des données à travers le monde sans être obligé d'utiliser des conversions.

Transport par convection

La convection représente le transfert de chaleur qui s'effectue entre un corps et un fluide. Cet échange s'effectue toujours du plus chaud vers le plus froid. Lors de la convection, la vitesse du fluide augmente, ce qui peut avoir des effets sur les écoulements laminaires.

L'écoulement laminaire

Quand on parle d'écoulement laminaire en mécanique des fluides, on évoque le mode d'écoulement d'un fluide dans le cas où l'ensemble du fluide s'écoule plus ou moins dans la même direction et cela sans que les différences locales ne se contrarient. On est alors en opposition au régime turbulent au cours duquel l'écoulement produit des tourbillons qui vont mutuellement se contrarier.

Comment se créent les rivières ? L'écoulement laminaire est souvent à l'origine de la création de rivières. En effet, l'eau qui s'écoule crée tout doucement un lit par érosion et plus tard l'eau suit toujours le même chemin, créant ainsi un cours d'eau.

Ainsi, lorsque l'on cherche à faire circuler un fluide dans un tuyau, on cherche à mettre en place un écoulement laminaire afin qu'il y ait moins de pertes de charge. Mais on cherche aussi à mettre en place un écoulement laminaire lorsque l'on cherche à faire voler un avion afin que le vol soit stable et prévisible à l'aide d'équations. Lorsque l'on observe un écoulement laminaire à l'échelle microscopique, on peut observer que deux particules de fluides qui sont voisines à un instant défini resteront voisines lors des prochains moments d'observation. De par cette observation, on peut décrire un champ de vitesse grâce à l'utilisation de techniques classiques d'analyse mathématique. Dans le cas où l'écoulement devient turbulent, celui-ci devient alors sans organisation apparente. Les techniques classiques d'analyse mathématique utilisées précédemment ne suffisent alors plus pour décrire le champ de vitesse. Tout comme la notion de régime turbulent, la notion de régime laminaire est très fortement liée à la viscosité du fluide en mouvement. En effet, lorsque le liquide se situe dans une conduite ou autour d'un obstacle, alors, au voisinage d'une paroi sur laquelle la vitesse relative du fluide est nulle, on peut alors observer l'apparition de fortes variations de vitesse au sein desquelles la viscosité est impliquée. De façon plus précise, on peut dire que l'écoulement visqueux est caractérisé grâce à un nombre sans dimension que l'on appelle le nombre de Reynolds. Ce nombre permet alors de mesurer l'importance relative des forces inertielles qui sont liées à la vitesse et des forces de frottement qui sont liées à la viscosité. Ainsi, si ces dernières sont prépondérantes, alors on peut dire que le frottement, qui se produit entre deux couches de fluides, maintient leur cohésion : on obtient ainsi un écoulement laminaire. Dans le cas où le nombre de Reynolds augmente au-delà d'un certain seuil, alors l'écoulement est déstabilisé. Dans ce cas, il peut y avoir un régime turbulent qui va se mettre en place après qu'une phase de transition, plus ou moins importante, ait eu lieu. Puisque la viscosité de l'air est beaucoup plus faible que la viscosité de l'eau, on peut alors conclure que son effet est, par la même façon, plus faible et ne se limite qu'à la zone proche de la paroi dans laquelle on peut observer que la vitesse varie forcement. On appelle alors cette zone d'effet la couche limite. Ainsi, lorsque l'on se situe à une distance suffisante de la paroi, on peut observer que les variations deviennent suffisamment faibles pour que l'on puisse négliger la viscosité. De ce fait, on peut considérer le fluide comme étant parfait lorsqu'il se situe autour de l'obstacle auquel on ajoute la couche limite. a cela il est possible d'ajouter que, au bord d'attaque d'une aile, puisque la vitesse relative est nulle, la viscosité reste sans effet. La couche limite laminaire fini par devenir une couche turbulente. Néanmoins, la partie de cette couche proche de la paroi constitue un film laminaire.

Le nombre de Reynolds

Le nombre de Reynolds, noté Re, correspond à un nombre sans dimension qui est utilisé en mécanique des fluides. Cette grandeur permet alors de caractériser un écoulement, en particulier la nature de son régime. Il est ainsi possible de savoir si un écoulement est laminaire, transitoire ou turbulent.

Exercices

La sonde de Pitot

Énoncé

Le tube de Pitot est une sonde très simple mais essentielle à la sécurité de tous les avions puisqu'elle donne une mesure de la vitesse v de l'air par rapport à l'avion. Le schéma ci-dessus représente la partie de tube face à l'écoulement. Un manomètre différentiel permet la mesure de p(A)-p(B). On néglige la pesanteur.

A quoi sert la sonde de Pitot ? La sonde de Pitot est très utilisée en aviation. Elle permet de donner une vitesse précise de l'aéronef par exemple. Elle délivre donc des informations sans lesquelles le vol et les passagers seraient grandement en danger. Il s'agit d'un élément incontournable des avions.

Questions

Justifier que la vitesse de l'air au point B est peu différente de v. Justifier que la vitesse de l'air en A est nulle. En déduire alors le lien entre la différence de pression entre les points A et B et v. Calculer la différence de pression mesurée si v = 300 km/h. Commenter.

Le flux sanguin

Énoncé

Un fluide de masse volumique μ et de viscosité dynamique η s’écoule en régime stationnaire et incompressible dans une conduite cylindrique d’axe Oz, de longueur L et de rayon R. Les effets de la pesanteur sont négligés. Du fait des symétries du problème, on cherche en coordonnées cylindriques un champ des vitesses et un champ de pression de la forme : v(M)  = v(r,z)uz et p(M) = p(r,z). Les expressions des opérateurs en coordonnées cylindriques sont fournies.

Questions

Montrer que v(r,z) ne dépend pas de z. Montrer que l'accélération d'une particule de fluide est nulle. En déduire que la pression p ne dépend pas de r. Déterminer p(z) et vz(r) en admettant que dv/dr est  borné. Représenter le profil des vitesses. En déduire l’expression du débit volumique Dv en fonction des pressions p(z=0) = p1 à l’entrée et p(z=L) = p2 à la sortie de la conduite. La loi obtenue est la loi de Poiseuille. Sachant que le débit du sang dans une veine de 1 cm de diamètre et de longueur 1 m vaut 80 cm3/s, la différence de pression entre les deux extrémités valant 0,10 bar, déterminer la viscosité du sang. Faire une analogie entre la loi de Poiseuille et la loi d'ohm. Pouvez-vous définir une résistance hydrolique ? Définir puis calculer un nombre de Reynolds associé à cet écoulement puis vérifier que l'écoulement est laminaire. On supposera que la masse volumique du sang est proche de celle de l'eau.

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Clément

Freelancer et pilote, j'espère atteindre la sagesse en partageant le savoir que j'ai acquis lors de mes voyages au volant de ma berline. Curieux scientifique, ma soif de découverte n'a d'égale que la durée de demie-vie du bismuth 209.

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