Problématique

Instrument de musique à corde pincée ou frappée : comment déterminer la vibration de la corde en fonction de son excitation ?

Le clavecin est un instrument à corde pincée très utilisé durant les XVIIe et XVIIIe siècles

Analyse du problème

  • Corde tendue : les deux grandeurs naturelles qui décrivent la vibration de la corde sont la vitesse et la tension, soit (vz ,Tz) dans le cas particulier unidimensionnel.
  • La corde étant fixée en deux points, il est naturel de rechercher la solution sous la forme d'une superposition d'ondes stationnaires, ces deux points constituant des nœuds.

Accorder un instrument de musique

Le battement

D'un point de vue physique, un battement est une modulation périodique d'un signal. Ce dernier est constitué d'une superposition de deux signaux de deux fréquences différentes mais proches. En effet, l'oreille humaine ne peut entendre deux sons différents que si leurs fréquences sont au moins éloignées de 0,5 Hertz à 5 Hertz. Pour que les battements soient audibles par l'oreille, il faut que plusieurs conditions soient réunies telles que :

  • Le battement doit être assez rapide (si la période est supérieure à 5 secondes alors le battement ne s'entendra pas) ;
  • Le battement ne doit pas être trop rapide sinon on pourra en distinguer les deux composantes ;
  • Les deux intensités des deux ondes doivent être environ égales afin que l'une ne se superpose pas à l'autre et la masque.

Les ondes mécaniques formées par les instruments de musique sont des ondes sinusoïdales. La fréquence de ces ondes définit la hauteur de la musique. Ces ondes sont aussi périodiques. Si l'on analyse de manière mathématique ces ondes musicales, on remarque que la somme de deux sinusoïdes est égale à la moyenne des fréquences de ces deux ondes sinusoïdales.

La période d'une onde musicale

Gardez le rythme !

La période d'une onde représente la durée d'une vibration complète, jusqu'au retour à la position initiale. Elle se note T et a une durée en secondes. Avec T correspondant à la durée d'un motif de base (Rappel pour les conversions : 1 ms = 1 x 10-3 s).

La fréquence des ondes

La fréquence caractérise le nombre de vibrations en une seconde. Calculée en Hertz de symbole Hz, on l'obtient par le calcul suivant : [ f = frac { 1 } { T } ] A titre d’exemple, la voix humaine produit des sons d'une fréquence allant de 50 Hz à 1000 Hz.

L'amplitude d'une onde

L'amplitude correspond à la variation de la pression du milieu dans lequel se propage l'onde dans le cas d'une onde acoustique. Pour une onde électromagnétique, son amplitude est sa tension maximale. Amplitude : L'amplitude, c'est la tension maximale, elle se note Umax. Son unité est le Volt (V).

La longueur d'onde

La longueur d'onde est caractérisée par la plus petite distance entre deux points de l'onde situés au même endroit. sur l'axe des ordonnées. Représentant la distance parcourue par l'onde durant sa période, il s'agit de son équivalent spatial.

Rappel sur les ondes

Une onde correspond à une déformation ou une vibration qui se propage dans un milieu défini. Il existe trois types différents d’ondes :

  • Mécanique : Les ondes magnétiques nécessitent une matière qui se déforme afin de se propager. Ce matériau a la capacité recouvrer son état initial grâce aux forces de restauration qui inversent la déformation.
  • Électromagnétique : Les ondes électromagnétiques quant à elles n’ont pas besoin de support pour se déplacer : elles correspondent à des oscillation périodiques de champs électriques et magnétiques qui peuvent alors se déplacer dans le vide.
  • Gravitationnelle : Les ondes gravitationnelles n’ont plus de support pour se déplacer puisque ce sont les déformations de la géométrie de l’espace-temps qui se propagent.

La périodicité d'une onde

Un phénomène périodique est un phénomène qui se reproduit indéfiniment identique à lui-même à intervalles de temps égaux.

A tout phénomène périodique, est donnée sa période T et s'exprime en secondes. C'est la plus petite durée au bout de laquelle le phénomène se reproduit.

Fréquence : On peut noter fréquence f ou N et s'exprime en Hertz (Hz). C'est le nombre de fois que le phénomène se reproduit en une seconde.

[ f = frac { 1 } { T } ]

La double périodicité des ondes mécaniques périodiques progressives

Prenons pour exemples deux points : M1 et M2. M1 et M2 vont reproduire le mouvement de la source. Ils vont vibrer à la même fréquence. Un point du milieu de propagation va se retrouver dans le même état vibratoire au bout d'une durée : T source. Les trois points M , M' et M'' se retrouvent au même instant dans le même état vibratoire, on dit qu'ils vibrent en phase. Ces points on les retrouve à intervalle d'espace régulier dans un milieu. On parle donc de périodicité spatiale. Longueur d'onde : La distance séparant deux points consécutifs du milieu vibrant en phase est appelée longueur d'onde. On la note λ et s'exprime en mètre. Autrement dit, la longueur d'onde correspond à la distance parcourue par l'onde dans le milieu matériel pendant une période de vibrations de la source.

La propagation du son dans l'air

Notre atmosphère est essentielle pour notre survie : elle nous permet de respirer, nous protège des rayons du Soleil, permet à la Terre d'avoir une température de surface correcte mais aussi nous protéger des objets qui la traversent.

Lorsque l'onde se propage dans un milieu fluide compressible, il est possible d'observer une variation de pression qui va alors se propager sous la forme d'une onde. L'air nous entourant étant un milieu fluide compressible, il est alors possible de ressentir ces ondes sous la forme de son que l'on perçoit grâce aux tympans. Cependant, pour qu'elle soit perceptible, il faut que la variation de pression, parce que son amplitude est faible par rapport à la pression atmosphérique, soit suffisamment rapide et répétée. Il est possible de considérer tout objet vibrant, tel qu'un instrument de musique ou encore un haut-parleur, comme étant une source sonore qui est donc, comme son nom l'indique, la source des vibration de l'air. La perturbation va alors se propager, même si les particules oscillent très peu (soit quelques micromètres autour d'une position stable), d'une façon analogue aux perturbations de l'eau lorsqu'une pierre y tombe : on peut observer des vagues qui s'éloignent peu à peu du point de perturbation bien que l'eau reste au même endroit. En effet, l'eau ne se déplace que verticalement et ne suit pas les vagues (il est possible d'observer ce phénomène en plaçant un objet flottant près de la perturbation : il ne restera à la même position). On peut alors dire que, dans les fluides, l'onde sonore correspond à une onde longitudinale. Ainsi, les particules observées vibrent de façon parallèle à la direction de déplacement de l'onde. Une onde sonore peut également être transmise par un solide vibrant. En effet, la vibration va se propager au sein du solide comme dans les fluides : il y aura de faibles oscillation autour de la position d'équilibre des atomes constituant le solide. La conséquence est alors une contrainte du matériau qui, équivalente à la pression dans un fluide, est très difficile à mesurer. C'est donc la rigidité du matériau qui permettra la transmission des ondes de contraintes transversales. Il peut être intéressant de noter que, la vitesse de propagation du son, également appelée célérité, varie selon différentes propriétés du milieu comme :

  • La nature du milieu ;
  • La température du milieu ;
  • Et la pression du milieu.

Ainsi, dans un gaz parfait, on peut obtenir la vitesse de propagation d'une onde sonore avec la relation suivante : [ c = frac  { 1 } { sqrt { rho chi _{S} } } ] Avec :

  • ρ correspondant à la masse volumique du gaz ;
  • Et χS correspondant à la compressibilité isentropique du gaz.

Il est également possible d'observer une diminution de la vitesse du son lorsque :

  • La densité du gaz augmente, on appelle cela l'effet d'inertie ;
  • La compressibilité du gaz, c'est à dire sa capacité à changer de volume selon la pression qu'il subit, augmente.

Pour calculer la vitesse du son dont l'unité est, rappelons-le, le mètre par seconde, il est possible d'utiliser l'expression suivante : [ c _ { text { air } } = 330 + 0,6 times T ] avec T la température en degré Celsius. Mais il est possible d'être plus précis en utilisant les degrés Kelvin. On doit alors se servir de l'expression suivante : [ c _ { text { air } } = 20 times sqrt { T } ] Notons que, de façon générale, la vitesse du son dans l'eau est de 1 500 m.s-1. Mais il existe de nombreux milieux où les ondes sonores peuvent se propager de façon encore plus rapide. On peut alors prendre l'exemple de l'acier au sein duquel les ondes se propage une vitesse comprise entre 5 600 et 5 900 m.s-1. Cependant, une onde sonore est incapable de se propager dans le vide puisqu'il faut nécessairement la présence de matière déformable pour que la vibration puisse se propager.

Le son produit par un instrument de musique

La musique est un excellent moyen de se libérer l'esprit.

Un instrument musical n'émet jamais une unique fréquence. Il émet des fréquences harmoniques. Cela signifie qu'il y a une fréquence fondamentales et plusieurs fréquences harmoniques qui lui sont associées. Les battements peuvent très bien s'entendre lorsque l'on accorde un instrument. En effet, si on choisit de prendre pour exemple le cas d'une guitare, au moment où l'on resserre la corde, on entend les vibrations de fréquences différentes, ce sont les battements. Accorder un instrument signifie donc régler ses cordes afin que leur fibration corresponde à la fréquence de la note en question. Aujourd'hui, pour accorder les instruments on utilise des accordeurs automatiques qui sont capables de mesurer la fréquence émise par l'instrument. Avant ces appareils, il fallait régler les cordes à l'oreille, en essayant de se rapprocher au plus proche du son attendu. En réalité, une note de musique ne correspond pas une seule fréquence. On parlera de la fréquence fondamentale mais derrière celle-ci se cache près d'une dizaine d'autres fréquences qui correspondent aux harmoniques de ces notes. Inutiles de toutes les apprendre, ces dernières étant des multiples des fondamentales, vous pourrez les retrouver facilement.

Le décibel

Le décibel, en acoustique environnementale, permet d'indiquer le niveau de bruit. En effet, cette grandeur permet d'exprimer le rapport de puissance existant enter la pression acoustique et une valeur de référence qui a été choisie comme correspondant à un son imperceptible. D'une façon générale, le niveau sonore en champ libre, ce qui signifie sans obstacle sur le trajet de l'onde, est inversement proportionnel au carré de la distance, c'est-à-dire à la distance multipliée par elle-même.

La pression acoustique

La pression acoustique correspond à une grandeur physique qui stimule l'audition humaine. La plage de pression qui donne un niveau sonore perceptible par l'Homme est comprise entre un rapport de un et plusieurs millions. Attention cependant, la percepteur du volume sonore est, de façon approximative, logarithmique. Cela signifie alors qu'une augmentation définie du volume correspondra à multiplier la pression par un facteur qui est identique. C'est pourquoi on ne convertit que très rarement la mesure du bruit, qui est de façon générale, correspondant à la pression acoustique en décibel.

L'intensité acoustique

Afin de déterminer les chemins de propagation des sons dans un environnement, les études acoustiques utilisent fréquemment l'intensité acoustique. Cette grandeur correspond à la représentation de la puissance acoustique qui est transmise dans une direction définie. S'établissant généralement à partir d'un gradient de pression, on utilise logiquement un réseau de capteurs ou encore en ensemble de capteurs de vitesse acoustiques que l'on couple à un capteur de pression. Attention toutefois aux confusions. En effet, parler d'une intensité acoustique n'induit pas toujours que l'on parle d'un niveau sonore. Il suffit pour démontrer cela de prendre l'exemple d'une onde stationnaire : son intensité est nulle alors que la pression acoustique ne l'est pas et l'on entend pourtant un son.

Une onde dite stationnaire correspond à la propagation simultanée et dans des sens opposés de plusieurs ondes de même fréquence et de même amplitude dans un même milieu. Ainsi, on observera une figure dont certains points sont fixes, appelés nœuds de pression, dans le temps. Il est alors possible d’observer une vibration stationnaire et d’intensité différente en chaque point observé au lieu de pouvoir observer une onde qui se propage.

La puissance acoustique

Afin de comparer deux sources de bruit, il est nécessaire d'utiliser la puissance acoustique qui s'exprime en dB SWL. Il est possible d'obtenir la valeur de cette grandeur en plaçant la source que l'on souhaite tester dans une chambre réverbérante afin que les sons soient mélangés dans toutes les directions. Mais il est également possible d'obtenir cette valeur en effectuant une série de mesures tout autour de la source sonore à tester.

Réalisation d'un exercice type

  1. Conditions aux limites
  2. Modes propres
  3. Résolution mathématique

Validation du résultat

  • Exemples de conditions limites
    • instrument à corde pincée
    • instrument à corde frappée
    • instrument à vent
  • Ordre de grandeur des fréquences

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Joy

Freelancer et étudiante en Sciences de la Vie et de la Terre, je suis un peu une grande sœur qui épaule et aide les autres pour observer et comprendre le monde qui nous entoure et ses curieux secrets !

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