Dans ce chapitre, le système S est formé d'un solide (S non déformable) ou de plusieurs solides (S est alors en général globalement déformable). Toutefois les notions abordées étant souvent valables également pour les milieux continus déformables, nous les réutiliserons dans le cours de mécanique des fluides. Après de nombreux rappels de mécanique des systèmes de PCSI, nous abordons l'étude des véhicules à roues.

Grandeurs cinétiques

Centre d'inertie

Comment reconnaître les différents types de symétrie ? Selon si l'objet a un axe de symétrie ou non, la localisation du centre d'inertie peut changer

  • G centre d'inertie (ou centre de masse) : barycentre des masses
  • On passe naturellement d'une somme discrète pour un système de points matériels à une somme continue (intégrale) pour un système continu.
  • Conséquences liées aux propriétés générales des barycentres :
    • Si le solide possède un centre de symétrie, G est confondu avec ce point.
    • Si le solide possède un axe de symétrie, G est situé sur cet axe.
    • Le centre d'inertie de N solides est égal au centre d'inertie des N points matériels fictifs confondus avec les centres d'inertie de ces solides affectés de leurs masses.
  • Cas où S est un unique solide en translation dans R : la connaissance des coordonnées de G en fonction du temps suffit à décrire le mouvement du solide qui est donc assimilable à un point matériel.

Définition des grandeurs cinétiques

  • On passe naturellement d'une somme discrète pour un système de points matériels à une somme continue (intégrale) pour un système continu.

Référentiel barycentrique

  • Définition : référentiel barycentrique de S (relativement au référentiel R) : Rb est le référentiel lié à G et en translation par rapport à R.
  • Attention : Rb n'est galiléen que si G a dans R un mouvement rectiligne et uniforme.
  • La quantité de mouvement barycentrique est nulle.
  • Cas où S est un unique solide en translation dans R : Rb est confondu avec le référentiel du solide.
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Actions mécaniques

Description des actions

Les actions mécaniques sur un système sont décrites par

  • la résultante : somme des forces s'exerçant en un point (tension d'un fil, tension d'un ressort ...), volumiques (poids, force d'inertie d'entraînement ...) et surfaciques (pression, forces de viscosité).
  • le moment résultant en un point A : somme des moments en A des mêmes actions.

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Exemples

Qu'est-ce-qu'un couple ? On peut trouver des exemple de cas de couple dans les moteurs de voiture.

  • Actions mécaniques intérieures : résultante et moment résultant nuls, en plus pour le solide unique : travail et puissance des actions mécaniques intérieures nuls.
  • Actions de pesanteur : résultante et moment sont ceux d'une unique force mg appliquée en G.
  • Couple, exemple du couple de torsion
  • Actions de contact avec un support
    • pour un solide en translation assimilable à un point matériel : déjà vu en dynamique du point matériel.
    • pour une roue qui roule en glissant ou pas (non assimilable à un point matériel !) : les lois de Coulomb sont identiques à celles vues pour le point matériel : loi de Coulomb du frottement de glissement statique quand la vitesse de glissement est nulle et loi de Coulomb du frottement de glissement dynamique quand la vitesse de glissement est non nulle.
  • Actions mécaniques intérieures d'un système : résultante et moment nuls même si le système est déformable.

Lois de la dynamiques des systèmes

Dans R galiléen

Loi de la quantité de mouvement (ou de la résultante cinétique)

  • Dans R galiléen, la dérivée par rapport au temps de la quantité de mouvement de S est égale à la résultante des actions extérieures qui s'exercent sur le solide.
  • Conséquence : le mouvement de G dans R est celui d'un point matériel fictif confondu avec G, de masse celle du système et soumis à Fext.

Lois du moment cinétique

  • Loi du moment cinétique en un point : dans R galiléen, la dérivée par rapport au temps du moment cinétique de S en un point fixe A est égale au moment résultant en A des actions mécaniques extérieures sur S.
  • Par projection sur un axe fixe contenant A, on obtient la version scalaire de la loi par rapport à un axe.

Lois de l'énergie cinétique et de la puissance cinétique

Enoncés

  • Dans R galiléen, la variation de l'énergie cinétique de S entre deux instants est égale à la somme des travaux des actions mécaniques intérieures et extérieures qui s'exercent sur S entre les mêmes instants.
  • Dans R galiléen, la puissance cinétique dEc/dt de S est égale à la somme des puissances des actions intérieures et extérieures qui s'exercent sur S.

Travail et puissance de quelques actions mécaniques

  • Actions de pesanteur : puissance et travail égaux à ceux de la résultante mg appliquée en G.
  • Actions mécaniques intérieures : travail et puissance nuls pour un unique solide.
  • Actions de contact d'une roue :
    • Expression de la puissance des actions de contact.
    • La puissance et le travail des actions de contact sont nuls si la roue roule sans glisser.
    • La puissance et le travail des actions de contact sont négatifs si la roue roule en glissant.

Loi de l'énergie mécanique et de la puissance mécanique

Action mécanique conservative, énergie potentielle

Quel est le lien entre énergie potentielle et énergie mécanique ? L'énergie potentielle augmente avec l'altitude.

  • Même définition qu'en mécanique du point : une action mécanique est conservative s'il existe une fonction Ep (des variables décrivant l'état de S) appelée énergie potentielle telle que le travail de cette action mécanique entre deux états de S soit égal à l'opposé de la variation de Ep. Concrètement : le travail ne dépend pas du chemin suivi entre les deux états.

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Énergie mécanique

  • L'énergie mécanique d'un système est la somme de son énergie cinétique et des énergies potentielles de toutes les actions conservatives, qu'elles soient intérieures ou extérieures.

Énoncés des lois

  • Dans R galiléen, la variation de l'énergie mécanique de S entre deux instants est égale à la somme des travaux des actions mécaniques non conservatives intérieures et extérieures entre les mêmes instants.
  • Dans R galiléen, la puissance mécanique dEm/dt de S est égale à la somme des puissances des actions mécaniques non conservatives intérieures et extérieures.
  • Cas particulier du solide : simplification puisque les actions intérieures ne travaillent pas.
  • Conservation de l'énergie : si S est soumis à des actions conservatives ou qui ne travaillent pas.

Étudier un mouvement

Comment déterminer la trajectoire d'un objet en mouvement ? Il est important de connaître la trajectoire de la fusée avant son lancement.

Pour étudier le mouvement d’un système on a toujours besoin de se fixer un référentiel : c’est un objet par
rapport auquel on étudiera le mouvement de notre système.

Définition : La trajectoire d’un point matériel est l’ensemble des positions successives occupées par ce point au cours du temps. Elle dépend du référentiel choisi.

En simplifiant, on peut définir le référentiel comme quelque chose correspondant au milieu au sein duquel on étudie le mouvement.

En effet, si on choisi de prendre l'exemple du voyageur assit dans un train en marche alors le référentiel vas changer selon l'observateur :

  • par rapport à un observateur sur le quai, le voyageur est en mouvement
  • par rapport à un observateur dans le train, le voyageur est immobile.

Ainsi, il est possible de conclure que, pour décrire le mouvement d’un mobile, il faut choisir un repère d’espace ou référentiel.

La trajectoire correspond à l’ensemble de toutes les positions successives qu’occupe un point du mobile au cours du temps. La trajectoire peut-être curviligne, c'est à dire en vague, circulaire, donc en forme de rond, ou rectiligne.

  • mouvement rectiligne : la trajectoire est une droite
  • mouvement circulaire : la trajectoire est un arc de cercle
  • mouvement curviligne : la trajectoire est une courbe quelconque, plane ou non.

Deux types de mouvement sont très importants dans l’étude des systèmes :

  • la translation : Dans un mouvement de translation, chaque segment de droite, appartenant au mobile, reste parallèle à lui-même, au cours du déplacement et tous les points du mobile ont des trajectoires identiques de même longueur.
  • la rotation : Dans un mouvement de rotation, tous les points du mobile décrivent des cercles ou des arcs de cercles centrés sur une droite fixe que l'on appelle axe de rotation. On peut notamment illustrer ce mouvement avec l'exemple des aiguilles d’une horloge.
    • Si la trajectoire est une droite, la translation est rectiligne, comme dans le cas d'un ascenseur.
    • Si la trajectoire est une courbe, la translation est curviligne, comme dans le cas d'un téléphérique.
    • Si la trajectoire est un cercle ou un arc de cercle, la translation est circulaire, comme dans le cas d'une grande roue.

Définition : Une translation correspond à une droite passant par 2 points quelconques du solide qui reste parallèle au cours du mouvement

Définition :Une rotation correspond à un mouvement où tous les points décrivent des cercles dont les centres sont alignés et tous les plans sont parallèles.

L'exemple de la chute libre

On appelle chute libre le mouvement que prend un objet sous la seule action de son poids.
Un tel mouvement ne peut avoir lieu que dans le vide.
On peut admettre que dans l’air, la chute est " libre " si l’on peut négliger :

  • les frottements
  • la poussée d’Archimède (il faut que la masse volumique de l’objet soit grande devant celle de l’air).

On a donc une variation du vecteur vitesse du centre d’inertie G de la bille : la valeur de la vitesse varie, la direction reste constante.

On peut monter que pour une hauteur de chute h ( en partant sans vitesse initiale), on a les deux relations suivantes ou v représente la vitesse :

    \[ \begin{cases} h = \frac { 1 } { 2 } \times g \times t ^ { 2 } \\ v = g \times t \end{cases} \]

La poussée d’Archimède

La poussée d'Archimède est un phénomène physique qui décrit le comportement de tout corps plongé dans un fluide qu'il soit liquide ou gazeux soumis à un champ de gravité.

Elle est nommée ainsi en l'honneur d'Archimède de Syracuse, un très grand scientifique grec de 200 avant J.-C.

Elle est causée par l'augmentation de la pression du fluide avec la profondeur. Comme la pression exercée sur la partie basse du corps est supérieure à celle exercée sur la partie haute, le corps est poussé verticalement vers le haut.

Voici la formulation d'origine de cette loi physique :

Tout corps plongé dans un fluide au repos, entièrement mouillé par celui-ci ou traversant sa surface libre, subit une force verticale, dirigée de bas en haut et opposée au poids du volume de fluide déplacé ; cette force est appelée poussée d'Archimède.

Pour que le théorème s'applique il faut que le fluide immergeant et le corps immergé soient au repos. Il faut également qu'il soit possible de remplacer le corps immergé par du fluide immergeant sans rompre l'équilibre.

Voici l'équation qui en résulte :

    \[ \overrightarrow { P } _ { A } = M _ { f } \overrightarrow { g } \]

Avec :

  • Mf< la masse du fluide contenu dans un volume V et déplacé ;
  • g la valeur du champ de pesanteur, de 9,81 N/kg à la surface de la Terre.

Cas du solide en rotation autour d'un axe fixe

Grandeurs cinétiques

  • On admet que le moment cinétique par rapport à l'axe de rotation est égal au produit de la vitesse angulaire de rotation et d'une grandeur caractéristique du solide et de son placement par rapport à l'axe. C'est le moment d'inertie du solide par rapport à l'axe, noté J.
  • Expression de l'énergie cinétique en fonction de J et ω.

Formulation adaptée de la loi du moment cinétique

  • J dω/dt = Mext
  • Le mouvement du solide en rotation est décrit par une seule variable donc cette équation suffit à le déterminer.

Aspect énergétique

  • Puissance d'une action mécanique pour un solide en rotation, cas du couple de torsion
  • Loi de l'énergie cinétique
  • Loi de puissance cinétique : sa dérivation redonne la loi du moment cinétique scalaire
  • Loi de l'énergie mécanique

Liaison pivot

  • Définition : lorsqu'un solide est lié à un axe de sorte que son seul mouvement relatif soit une rotation autour de cet axe, la liaison est appelée liaison pivot.
  • Une liaison pivot est parfaite si le moment des actions de contact par rapport à l'axe de rotation est nul. Concrètement, c'est le cas d'une liaison sans frottement.
  • Attention, la résultante des actions de contact d'une liaison pivot n'est pas nulle !

Exemples

  • pendule pesant (exercice)
  • pendule de torsion (exercice)

Mouvement d'un véhicule à roues

Contexte de l'étude

  • Conformément au programme, l'étude porte sur les véhicules à roues en translation rectiligne et uniforme dans le référentiel terrestre, galiléen en l'absence de glissement.
  • 2 cas
    • véhicule tracté (ou poussé !) : une force Fm est exercée sur le véhicule de sorte qu'il ait ce mouvement de translation uniforme sans glissement : remorque, charrette, cadi, poussette, landau, char romain …
    • véhicule à roues motrices : un couple est exercé sur les roues de sorte que le véhicule ait ce mouvement de translation uniforme : voiture, moto, vélo …

Description qualitative du mouvement

  • Attention : globalement ce n'est pas l'étude d'un solide mais d'un ensemble déformable de plusieurs solides : S = « véhicule » S0 (sans ses roues) + n roues en liaison pivot avec S0. On supposera ces liaisons parfaites.
  • Le véhicule est étudié dans RT galiléen.
  • S0 a un mouvement de translation rectiligne uniforme dans R.
  • Les roues ont dans le référentiel du « véhicule » (confondu avec Rb) un mouvement de rotation autour d'un axe fixe.
  • IMPORTANT : Rb est galiléen !

Étude dynamique du mouvement des roues

  • Étude dans le référentiel barycentrique d'une roue (confondu avec Rb de S donc galiléen).
  • Dans Rb galiléen, la roue a un mouvement de rotation autour d'un axe fixe.
  • Calcul de la vitesse du point de contact de la roue par composition des mouvements.
  • Condition de non glissement : V=rω.
  • Si V est constant, la rotation des roues est uniforme dans le cas du roulement sans glissement.
  • Bilan des actions mécaniques.
  • Utilisation de lois de la dynamique dans Rb galiléen :
    • loi de la quantité de mouvement mal adaptée car résultante des actions de liaison pivot non connue.
    • le mieux : loi du moment cinétique adapté aux mouvements de rotation autour d'axe fixe.

Étude du véhicule complet

Véhicule tracté : pas de roue motrice

  • Exemple traité : remorque (2 roues non motrices) en translation rectiligne uniforme sur une route horizontale sans glissement.
  • But : Calculer la force Fm à exercer sur le véhicule et comparer au cas où les roues sont bloquées pour comprendre l'intérêt du roulement.
  • Calcul d'une force donc loi de la quantité de mouvement dans RT adaptée : la résultante des actions de contact roues → remorque est inconnue donc on applique la loi au véhicule complet (ces actions sont alors intérieures).
  • Bilan des actions mécaniques (on utilise l'étude du 3 : T1 et T2 nulles)
  • Condition de roulement sans glissement : ω12=V/r.
  • Conclusion : La force à exercer sur le véhicule pour le maintenir en translation rectiligne uniforme est opposée à la force de frottement fluide exercée par l'air.
  • Alternative : méthode énergétique
  • Intérêt du roulement ? Calcul de Fm avec roues bloquées : Fm doit aussi compenser les forces de frottement de glissement.

Véhicule à roues motrices

  • Exemple traité : moto (2 roues dont 1, la roue arrière, est motrice) en translation rectiligne uniforme sur une route horizontale sans glissement.
  • But : calculer le couple moteur et la puissance nécessaires quand la moto roule sans glisser à vitesse constante.
  • L'étude dynamique des roues (cf 3.) fournit une première expression du couple moteur.
  • Pour déterminer la réaction tangentielle sur la roue motrice, on utilise la loi de quantité de mouvement sur le véhicule complet (d'où actions de contact roues → moto intérieures)
  • La force de frottement exercée par la route sur la roue motrice compense la force de frottement de l'air ce qui permet le mouvement.
  • Point de vue énergétique : la puissance fournie par le moteur compense la puissance perdue à cause du frottement de l'air.

Lien entre mouvement et énergie

L'énergie est une grandeur difficile à définir, on peut dire cependant que l'énergie caractérise l'état d'un système et exprime la potentialité à modifier l'état d'un autre système avec lequel il est en interaction. L'énergie peut alors se présenter sous différentes formes, dont :

  • L'énergie cinétique
    • Tout corps en mouvement en possède une. Elle peut être macroscopique : elle dépend alors de la vitesse du corps en mouvement, et donc du référentiel d'étude microscopique : elle est liée à l'agitation moléculaire. Une augmentation de l'énergie cinétique microscopique se traduit par une augmentation de la température.
  • L'énergie potentielle
    • Elle dépend de la position relative des différentes parties du système: seul un systèmes déformable pourra posséder, à l'échelle macroscopique, de l'énergie potentielle.

La vitesse dans le mouvement

La vitesse correspond à une grandeur physique qui est définie par une évolution face au temps.

La vitesse ne définit pas qu’uniquement la vitesse de déplacement mais peut aussi correspondre à la vitesse de réaction chimique ou encore une vitesse de séchage par exemple.

En règle générale, une vitesse est égale à la division de la mesure d’une variation telle qu’une longueur, un volume ou encore un poids par la mesure du temps écoulé au cours de cette variation.

L’exemple le plus simple est celui de la vitesse de déplacement. Il s’agit d’une distance divisée par un temps comme les mètres par seconde ou les kilomètres par heure.

Déterminer une vitesse

La vitesse est une grandeur qui permet d'exprimer la distance parcourue par le mobile pendant l’unité de temps. La vitesse moyenne est égale au quotient de la distance parcourue par le mobile par la durée de son parcours soit :

    \[ v = \frac {d} {t} \]

.

Avec :

  • La vitesse v exprimée en mètre par seconde (m/s) ;
  • la distance d exprimée en mètre (m) ;
  • Et le temps t exprimé en seconde (s).

Dans le système international (SI), la vitesse cinématique est le mètre par seconde et se note m/s ou m.s-1.

Or, dans le système usuel, on préférera, selon la situation et le mode de transport, le kilomètre par heure qui se note km/h ou km.h-1. En effet, dans la marine, on préférera plutôt le nœud, qui représente 0,5144 m/s.

On trouvera même dans certains cas, dans l'aviation par exemple, le nombre de Mach. Mach 1 est égale à la vitesse du son. Attention, cette vitesse dépend de la température.

Les différents types de vitesse

Rappel concernant l'évolution de la vitesse au cours du temps

Au cours du temps les réactifs disparaissent donc leur concentration diminue. Or nous avons déjà vu que la concentration des réactifs est un facteur cinétique. Plus la concentration des réactifs est faible plus la réaction est lente. Donc, en général, au cours du temps la vitesse de réaction diminue.

  • Si, pour un même intervalle de temps, la distance parcourue par le mobile est de plus en plus grande, sa vitesse augmente. On dit alors du mouvement qu'il est accéléré.
  • Si, pour un même intervalle de temps, la distance parcourue par le mobile est constante. On dit que le mouvement est uniforme.
  • Si, pour un même intervalle de temps, la distance parcourue est de plus en plus petite, sa vitesse diminue. On dit donc que le mouvement est ralenti.

La vitesse moyenne

La vitesse moyenne se calcule grâce au quotient de la distance L parcourue par la durée T mise à la parcourir. On a donc

    \[ V _ { m } = \frac { L } { T } \]

où la longueur de l’arc AB est notée L

La vitesse instantanée

La vitesse instantanée correspond à la vitesse du mobile à l’instant t. Elle peut être assimilé à la vitesse moyenne du mobile durant un intervalle de temps très court dt. On a donc

    \[ V = \frac { \text { d } L } { \text { d } T } \]

Le vecteur vitesse d’un point mobile M se déplaçant sur une trajectoire est caractérisé par :

    • sa direction : celle de la tangente à la trajectoire en M
    • son sens : celui du mouvement
    • sa valeur : valeur de la vitesse instantanée à l’instant t
    • son origine : le point M

Notons qu'il est possible de la calculer grâce à la formule suivante

    \[ V _ { m } \left( t \right) 2 = \frac { M _  { 1 } \times M _ { 2 } } { 2 \times \text { d } L } \]

  • Lors d'un mouvement rectiligne uniforme, me vecteur vitesse d’un point mobile est constant. Sa valeur, sa direction et son sens restent les mêmes à chaque instant..
  • Lors d'un mouvement rectiligne varié, le vecteur vitesse garde la même direction mais les distances parcourues par le point mobile pendant des durées égales sont différentes.
  • Une trajectoire correspond à un cercle dont le plan est orthogonal à l’axe fixe est dont les centres appartiennent à.
  • La vitesse angulaire moyenne se définit ainsi : Soit un point M décrivant une trajectoire circulaire de rayon R. Un rayon du cercle balaie un angle pendant la durée t.

La vitesse angulaire moyenne peut se calculer grâce à l'expression suivante 

    \[ \omega _ { m } = \frac { \theta } { t } \]

  • La vitesse angulaire instantanée correspond à la vitesse angulaire à un instant donné. C’est le quotient du petit angle d θ balayé par un temps très court dt :

        \[ \omega = \frac { \delta \theta } { \delta L } \]

    avec ω en rad/sd et θ en raddt en s

Il est tangent à la trajectoire au point considéré donc perpendiculaire au rayon. Son sens est celui du mouvement. Sa valeur est celle de la vitesse linéaire instantanée en ce point.

Le point M décrit un arc AB pendant la durée t. Le rayon OM = R balaie l’angle q. Donc l’arc AB est égal à rq.

    \[ V = \frac { \text { AB } } { t } = \frac { r \times \theta } { t } = r \times \omega \]

  • La période, notée T, est l’intervalle de temps séparant 2 passages du mobile au même point et dans le même sens :

        \[ T = \frac { 2 \times \pi } { \omega } \]

    . La période s’exprime en seconde et la vitesse angulaire en rad/s

  • La fréquence, notée f, est le nombre de tours effectués par le mobile en une seconde :

        \[ f = \frac { 1 } { T } \]

    . La fréquence s’exprime en Hertz (Hz).

Lien entre vitesse et accélération

L'accélération correspond à un phénomène attenant à l'augmentation de la vitesse. L'accélération est égale à la dérivée de la vitesse instantanée. C'est à dire que la fonction dérivée de la fonction qui détermine la position d'un point selon le temps est l'accélération.

Il s'agit d'une grandeur physique qui s'exprime sous la forme de vecteur. Comme la vitesse, il s'agit d'une variation au cours du temps.
La norme de ce vecteur est l'accélération. Selon le système international, l'accélération a pour unité le mètre par seconde carré qui se note m.s-2.

Les débuts de cette notion

C'est en 1700 qu'un père jésuite français, Pierre Varignon, commence à identifier l'existence de l'accélération dans ces calculs. En effet, ce mathématicien a été l'un des premiers à chercher à comprendre le principe de la vitesse.

Approche graphique

Lors d'un courbe d'accélération, quand la vitesse est maximale, l'accélération est minimale.

Calculs

On peut effectuer différents calculs sur l'accélération. Voici ceux que vous pourriez être amenés à effectuer.

Accélération moyenne

    \[ \overrightarrow{ a }_{ moy } = \frac { \overrightarrow { v } _ { M / ( R ) }( t _ { 2 } ) -\overrightarrow { v } _ { M / ( R ) } ( t _ { 1 } ) } {t _ { 2 } - t _ { 1 } } \]

Accélération instantanée

    \[ \overrightarrow { a } = \lim _ { \Delta t \rightarrow 0 } \frac {\Delta \overrightarrow { v } } { \Delta t } = \frac { \text{d} \overrightarrow { v } }{\text {d} t } \]

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Joy

Freelancer et étudiante en Sciences de la Vie et de la Terre, je suis un peu une grande sœur qui épaule et aide les autres pour observer et comprendre le monde qui nous entoure et ses curieux secrets !