L'accordement d'une guitare correspond au réglage des fréquences et donc des vibrations des cordes.

Les battements

Définition

D'un point de vue physique, un battement est une modulation périodique d'un signal. Ce dernier est constitué d'une superposition de deux signaux de deux fréquences différentes mais proches.

En effet, l'oreille humaine ne peut entendre deux sons différents que si leurs fréquences sont au moins éloignées de 0,5 Hertz à 5 Hertz.

Les propriétés des battements

Les ondes mécaniques formées par les instruments de musique sont des ondes sinusoïdales. La fréquence de ces ondes définit la hauteur de la musique.

Ces ondes sont aussi périodiques.

Si l'on analyse de manière mathématique ces ondes musicales, on remarque que la somme de deux sinusoïdes est égale à la moyenne des fréquences de ces deux ondes sinusoïdales.

La période d'une onde musicale

La période d'une onde représente la durée d'une vibration complète, jusqu'au retour à la position initiale. Elle se note T et a une durée en secondes.

T : la durée d'un motif de base (Rappel pour les conversions : 1 ms = 1 x 10-3 s).

La fréquence des ondes

La fréquence caractérise le nombre de vibrations en une seconde. Calculée en Hertz de symbole Hz, on l'obtient par le calcul suivant :

    \[ f = 1 / T \]

A titre d’exemple, la voix humaine produit des sons d'une fréquence allant de 50 Hz à 1000 Hz.

L'amplitude d'une onde

L'amplitude correspond à la variation de la pression du milieu dans lequel se propage l'onde dans le cas d'une onde acoustique. Pour une onde électromagnétique, son amplitude est sa tension maximale.

Amplitude : L'amplitude, c'est la tension maximale, elle se note Umax. Son unité est le Volt (V).

La longueur d'onde

La longueur d'onde est caractérisée par la plus petite distance entre deux points de l'onde situés au même endroit. sur l'axe des ordonnées. Représentant la distance parcourue par l'onde durant sa période, il s'agit de son équivalent spatial.

Rappels

Comment accorder une guitare ?
Accorder un instrument signifie faire correspondre le son émis par la corde lorsqu'on souhaite jouer une note. Si l'on joue sur un instrument qui n'a pas reçu ce "paramétrage", on dit alors que l'instrument est désaccordé. Les sons émis par ses cordes ne seront donc pas du tout en rapport avec les notes habituelles de la gamme et la musique peut qui en sort peut être fortement dénaturée.

La périodicité d'une onde

Un phénomène périodique est un phénomène qui se reproduit indéfiniment identique à lui-même à intervalles de temps égaux.

A tout phénomène périodique, est donnée sa période T et s'exprime en secondes. C'est la plus petite durée au bout de laquelle le phénomène se reproduit.

Fréquence : On peut noter fréquence f ou N et s'exprime en Hertz (Hz). C'est le nombre de fois que le phénomène se reproduit en une seconde.

    \[ f = \frac { 1 } { T } \]

La double périodicité des ondes mécaniques périodiques progressives

Prenons pour exemples deux points : M1 et M2.

M1 et M2 vont reproduire le mouvement de la source. Ils vont vibrer à la même fréquence.

Un point du milieu de propagation va se retrouver dans le même état vibratoire au bout d'une durée : T source.

Les trois points M , M' et M'' se retrouvent au même instant dans le même état vibratoire, on dit qu'ils vibrent en phase. Ces points on les retrouve à intervalle d'espace régulier dans un milieu. On parle donc de périodicité spatiale.

Longueur d'onde : La distance séparant deux points consécutifs du milieu vibrant en phase est appelée longueur d'onde. On la note λ et s'exprime en mètre.

Longueur d'onde : Elle correspond à la distance parcourue par l'onde dans le milieu matériel pendant une période de vibrations de la source.

    \[ \lambda = v \times T \]

Conditions nécessaires

Pour que les battements soient audibles par l'oreille, il faut que plusieurs conditions soient réunies.

Les voici :

  • Le battement doit être assez rapide (si la période est supérieure à 5 secondes alors le battement ne s'entendra pas) ;
  • Le battement ne doit pas être trop rapide sinon on pourra en distinguer les deux composantes ;
  • Les deux intensités des deux ondes doivent être environ égales afin que l'une ne se superpose pas à l'autre et la masque.
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Calculs sur les battements

Prenons pour exemple le signal suivant :

    \[ s ( t ) = s i n ( \omega _ { 1 } t + \phi _ { 1 } + s i n ( \omega _ { 2 } t + \phi _ { 2 } ) \]

On peut caractériser chacune des composantes par sa pulsation, qui se note ω.

D'où :

    \[ s ( t ) = s i n ( \omega _ { 1 } t + \phi _ { 1 } + s i n ( \omega _ { 2 } t + \phi _ { 2 } ) \]

    \[ s ( t ) = 2 s i n ( \frac { ( \omega _ { 1 } + \omega _ { 2 } ) t } { 2 } + \frac { \phi _ { 1 } + \phi _ { 2 } } { 2 } ) \[ c o s ( \frac { ( \omega _ { 1 } - \omega _ { 2 } ) t } { 2 } + \frac { \phi _ { 1 } - \phi _ { 2 } } { 2 } ) \]

Accorder un instrument

Un instrument musical n'émet jamais une unique fréquence. Il émet des fréquences harmoniques. Cela signifie qu'il y a une fréquence fondamentales et plusieurs fréquences harmoniques qui lui sont associées.

Voici un tableau qui reprend les fréquences en Hertz des notes fondamentales de la gamme :

NoteFréquence en Hertz
Do32,70
36,71
Mi41,20
Fa43,65
Sol49,00
La55,00
Si61,74
Avez-vous l'oreille musicale ?
En réalité, à une note de musique ne correspond pas une seule fréquence. On parlera de la fréquence fondamentale mais derrière celle-ci se cache près d'une dizaine d'autres fréquences qui correspondent aux harmoniques de ces notes. Inutiles de toutes les apprendre, ces dernières étant des multiples des fondamentales, vous pourrez les retrouver facilement.

Les battements peuvent très bien s'entendre lorsque l'on accorde un instrument. Prenons le cas d'une guitare. Au moment où l'on resserre la corde, on entend les vibrations de fréquences différentes, ce sont les battements.

Accorder un instrument signifie donc régler ses cordes afin que leur fibration corresponde à la fréquence de la note en question.

Aujourd'hui, pour accorder les instruments on utilise des accordeurs automatiques qui sont capables de mesurer la fréquence émise par l'instrument. Avant ces appareils, il fallait régler les cordes à l'oreille, en essayant de se rapprocher au plus proche du son attendu.

Exercice sur les fréquences harmoniques et composées

Le son émis par un violoncelle

Les instruments de musique sont de formes et de dimensions très variées ; ils sont aussi constitués de matériaux très divers. Cependant, tous fonctionnent sur le même principe : les sons qu'ils produisent sont le résultat d'une vibration qui se transmet jusqu'à l'oreille.
On peut les classer en trois familles qui sont les cordes, les vents et les percussions.
Dans le cas des instruments à cordes, il existe deux techniques de production du son : corde frottée et corde pincée.

Dans cet exercice, on étudie le son produit par une corde vibrante, puis on compare les sons produits par l'une des cordes d'un violoncelle, la corde appelée "corde de sol", selon qu'elle est frottée ou pincée en utilisant un archet. Cette corde de longueur utile L = 69,0 cm est fixée à ses deux extrémités sur l'instrument.

On précise qu'aucune connaissance musicale préalable n'est nécessaire pour résoudre cet exercice.

Le son produit par la corde frottée

Connaissez-vous un violoncelliste célèbre ?
Voici un violoncelle, il s'agit d'un instrument dit à cordes frottées car il faut frotter ses cordes avec un archet afin de produire du son et donc de la musique. Comme tous les instruments à cordes, le violoncelle à besoin d'être accordé avant de pouvoir y jouer.

Le violoncelliste frotte la corde avec son archet pour la mettre en vibration. Ainsi excitée, la corde peut vibrer selon plusieurs modes.

1.1. Comment appelle-t-on les modes de vibration de la corde de longueur L ?

1.2. Observation de la corde vibrante à la lumière du jour.

1.2.1. Décrire l'aspect de la corde vibrant dans son mode fondamental quand on l'observe à la lumière du jour et l'illustrer par un schéma sans souci d'échelle.

1.2.2. Calculer la longueur d'onde λ1 correspondant au mode fondamental.

1.3. Le son produit par la corde est étudié à l'aide d'un microphone branché à un oscilloscope numérique. L'oscillogramme correspondant est donné à la figure 7 ci-dessous.

1.3.1. Exploiter cet oscillogramme pour déterminer la fréquence f1 du mode fondamental.

1.3.2. A quelle qualité physiologique du son est associée cette fréquence ?

1.4. Décrire la méthode qui permet de retrouver la fréquence du mode fondamental en utilisant un stroboscope.

1.5. Déduire des réponses aux questions 1.2. et 1.3. la célérité v de la vibration le long de cette corde.

1.6. On réalise une analyse spectrale du son produit par cette corde vibrant sur toute sa longueur. Le spectre de fréquences est représenté à la figure 8 ci-dessous. Sur ce spectre sont repérés cinq pics notés (a), (b), (c), (d), et (e). On note f2 et f3 les fréquences des deux harmoniques immédiatement supérieures à la fréquence fondamentale f1.

1.6.1. Ecrire la relation existant entre f2 et f1 d'une part ; entre f3 et f1 d'autre part.

1.6.2. Retrouver parmi ces cinq pics, celui qui correspond au mode fondamental de fréquence f1 et préciser ceux qui correspondent à f2 et f3.

1.7. Pour jouer la note à l'octave supérieure, le violoncelliste excite la corde avec l'archet tout en appuyant franchement en son milieu, ce qui revient à diviser la longueur L de la corde par deux.
On rappelle que la fréquence du son produit est inversement proportionnelle à la longueur de la corde.
Donner, en fonction de f1, l'expression de la fréquence f ' du fondamental du son produit lorsque le violoncelliste joue la note à l'octave supérieure.

Correction

Voici les bonnes réponses à l'exercice ci-dessus.

1.2.1. Un seul fuseau

1.2.2. λ1 = 138,0 cm

1.3.1. La période du signal s'étale sur 4 divisions, or la base de temps est 2,5 ms.div-1 donc :

    \[ T _ { 1 } = 10 \times 10 ^ { - 3 } s \Rightarrow f _ { 1 } = 100 \text { Hz} \]

1.3.2. Cette fréquence est associée à la hauteur du son.

1.4. La fréquence du mode fondamental est la fréquence d'éclairage la plus grande pour laquelle on observe une immobilité apparente.
En pratique on augmente la fréquence progressivement.

1.5. v ≈ 138 m.s-1

1.6.1.  f2= 2 × f1 et f3 = 3 × f1

1.6.2.  Le fondamental correspond à la fréquence la plus basse, donc au pic a. f2 et f3 correspondent respectivement aux pics b et c.

1.7.  f' = 2 f1

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Clément

Freelancer et pilote, j'espère atteindre la sagesse en partageant le savoir que j'ai acquis lors de mes voyages au volant de ma berline. Curieux scientifique, ma soif de découverte n'a d'égale que la durée de demie-vie du bismuth 209.