I/ La bobine en convention récepteur

A) Représentation symbolique

Une bobine est constituée d'un enroulement serré de fil conducteur enrobé d'un matériau isolant. Ce fil conducteur présente le plus souvent une résistance r de faible valeur.

Une bobine de résistance r est équivalente à l'association en série d'une bobine de résistance nulle et d'un conducteur ohmique de résistance r, nous utiliserons la représentation symbolique suivante:

B) Etude expérimentale

On réalise le montage ci-dessous.

L'ordinateur permet de tracer les courbes uL=f(t) et i=f(t) (car ). On obtient le graphique suivant:

C) Inductance de la bobine

Pendant une demi-période le courant i est de la forme i=a.t+b et de ce fait, . La tension aux bornes de la bobine étant elle aussi constante, elle peut s'écrire . Le coefficient k dépend de la bobine. On posera k=L. L s'appelle inductance de la bobine et s'exprime en Henrys (H), d'où:

   avec      uL: tension aux bournes de la bobine en volts (V).
L: inductance de la bobine en henrys (H).
di/dt: dérivée par rapport au temps de l'intensité du courant traversant la bobine en ampères par seconde (A.s-1).

D) Tension aux bornes de la bobine

Si la résistance de la bobine n'est pas négligeable, celle-ci peut-être considérée comme l'association série d'un conducteur ohmique et d'une bobine de résistance nulle.

La tension aux bornes de la bobine s'écrit alors:

 avec    uL: tension aux bornes de la bobine en volts (V).
L: inductance de la bobine en henrys (H).
r: résistance de la bobine en ohms (W).
i: intensité du courant traversant la bobine en ampères (A).
di/dt: dérivée par rapport au temps de l'intensité du courant traversant la bobine en ampères par seconde (A.s-1).

Remarques

  • Dans le cas où la bobine est une inductance pure, sa résistance est nulle et la tension à ses bornes s'écrit .
  • En régime permanent, le courant est constant (i=cte), la tension aux bornes de la bobine s'écrit uL=ri: la bobine se comporte comme un conducteur ohmique.

II. Réponse d'un dipôle RL à un échelon de tension

A) Etude expérimentale

On réalise le montage ci-contre:

L'ordinateur permet de tracer la courbe i=f(t) (car ). On obtient le graphique suivant:

Interprétation:

  • Interrupteur fermé: Le courant s'installe progressivement: la bobine s'oppose à l'apparition de celui-ci.
  • Interrupteur ouvert: Le courant diminue progressivement: la bobine s'oppose à la disparition de celui-ci.

Conclusion: Une bobine s'oppose aux variations de l'intensité du courant dans le circuit où elle se trouve.

B) Réponse en courant

a. Equation différentielle

D'après la loi d'additivité des tensions:

 

uR + uL = E

  =>   =>

b. Solution de l'équation différentielle

Remarque préalable: en régime permanent, le courant est constant.

 

i = cte

  =>   =>

Vérifions que i=A+Be-t/t est solution de l'équation différentielle.

di/dt = -B/t.e-t/t. L'équation différentielle s'écrit alors:

 
A+Be-t/t + L/R.(-B/t.e-t/t) = E/R   =>  A + B.(1 - L/Rt).e-t/t = E/R

Cette équation est vérifiée quelquesoit le paramètre t, d'où le système:

 

A = E/R

1 - L/Rt = 0

  =>

A = E/R

t = L/R

On en déduit que l'intensité du courant s'écrit i = E/R + B.e-t/t avec t = L/R.

 

D'autre part, à t = 0, i = 0

  => 0 = E/R + B.e0
  =>  B = -E/R
  =>  i = E/R - E/R.e-t/t
  =>
i = E/R.(1 - e-t/t)

Définition: La grandeur t=L/R est appelée constante de temps du circuit. Son unité est la seconde (s).

Remarque: analyse dimentionnelle

 

uR = R.i

  => [R] = [U].[I]-1
uL = L.di/dt   => [L] = [U].[T].[I]-1
 
[L/R]  = [L]

[R]
  =>
[L/R]  = [U].[T].[I]-1

[U].[I]-1
  => [L/R] = [T]

L/R est homogène à un temps.

Remarque: La constante de temps fournit un ordre de grandeur de la durée de la réponse d'un circuit RL.

C) Réponse en tension

 

uL = L.di/dt

  => uL = L.E/R.(1/t.e-t/t) avec t=L/R
  =>
uL = E.e-t/t

Remarque: Détermination de uL à partir de la loi des tensions:

 

uL + uR = E

  => uL = E - uR
  => uL = E - R.i
  => uL = E - R.E/R.(1 - e-t/t)
  => uL = E.e-t/t

D) Détermination de la constante de temps

  • Après une durée t, l'intensité est égale à 63% de sa valeur maximale.
  • Après une durée 5t, l'intensité est égale à 99% de sa valeur maximale.
Apparition du courant lors de la fermeture du circuit Disparition du courant lors de l'ouverture du circuit
   

III/ Énergie emmagasinée dans une bobine

Une bobine d'inductance L traversée par un courant i emmagasine l'énergie magnétique:

       
   avec      EL: énergie emmagasinée par la bobine en joules (J).
L: inductance de la bobine en henrys (H).
i: intensité du courant traversant la bobine en ampères (A).

 

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Olivier

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