Comment se déroule le déplacement d'un objet rigide ?

Rappel

Comment envoyer une fusée dans l'espace ? Les calculs de trajectoire sont très utilisés en astronomie. Sans eux, il aurait été impossible de poser le pied sur la lune.

Définitions

  • Un solide est un objet quelconque, il est indéformable si tous ces points restent fixes les uns par rapport aux autres, quelque soit l'action qu'on lui exerce.
  • Dans le cadre de notre programme, on considère que tous les solides indéformables se ramènent à un point. On parle de solide ponctuel.
  • Référentiel : c'est un objet considéré comme immobile qui permet l'étude du mouvement. On munit ce référentiel de trois axes et d'un origine et d'une horloge. Cela donne un repère d'espace et de temps et le mouvement étudié sera relatif à ce référentiel.
  • Mouvement : il est défini par la trajectoire de ce solide dans ce référentiel et sa vitesse.
  • Trajectoire d'un solide : L'ensemble des positions occupées au cours du mouvement. C'est une courbe orientée.
  • Coordonnées cartésiennes : Dans un repère quelconque, les coordonnées représentent les distances par rapport à l'origine des projections orthogonales de ce point sur les trois axes.

Les différents mouvements

Pour étudier le mouvement d’un système on a toujours besoin de se fixer un référentiel : c’est un objet par rapport auquel on étudiera le mouvement de notre système.

Définition : La trajectoire d’un point matériel est l’ensemble des positions successives occupées par ce point au cours du temps. Elle dépend du référentiel choisi.

En simplifiant, on peut définir le référentiel comme quelque chose correspondant au milieu au sein duquel on étudie le mouvement. En effet, si on choisi de prendre l'exemple du voyageur assit dans un train en marche alors le référentiel vas changer selon l'observateur :

  • par rapport à un observateur sur le quai, le voyageur est en mouvement
  • par rapport à un observateur dans le train, le voyageur est immobile.

Ainsi, il est possible de conclure que, pour décrire le mouvement d’un mobile, il faut choisir un repère d’espace ou référentiel. La trajectoire correspond à l’ensemble de toutes les positions successives qu’occupe un point du mobile au cours du temps. La trajectoire peut-être curviligne, c'est à dire en vague, circulaire, donc en forme de rond, ou rectiligne.

  • mouvement rectiligne : la trajectoire est une droite
  • mouvement circulaire : la trajectoire est un arc de cercle
  • mouvement curviligne : la trajectoire est une courbe quelconque, plane ou non.

Deux types de mouvement sont très importants dans l’étude des systèmes :

  • la translation : Dans un mouvement de translation, chaque segment de droite, appartenant au mobile, reste parallèle à lui-même, au cours du déplacement et tous les points du mobile ont des trajectoires identiques de même longueur.
  • la rotation : Dans un mouvement de rotation, tous les points du mobile décrivent des cercles ou des arcs de cercles centrés sur une droite fixe que l'on appelle axe de rotation. On peut notamment illustrer ce mouvement avec l'exemple des aiguilles d’une horloge.
    • Si la trajectoire est une droite, la translation est rectiligne, comme dans le cas d'un ascenseur.
    • Si la trajectoire est une courbe, la translation est curviligne, comme dans le cas d'un téléphérique.
    • Si la trajectoire est un cercle ou un arc de cercle, la translation est circulaire, comme dans le cas d'une grande roue.

Définition : Une translation correspond à une droite passant par 2 points quelconques du solide qui reste parallèle au cours du mouvement Définition :Une rotation correspond à un mouvement où tous les points décrivent des cercles dont les centres sont alignés et tous les plans sont parallèles.

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Vitesse d'un point

La vitesse est une grandeur physique qui est définie par une évolution face au temps. La vitesse ne définit pas qu’uniquement la vitesse de déplacement mais peut aussi correspondre à la vitesse de réaction chimique ou encore une vitesse de séchage par exemple. En règle générale, une vitesse est égale à la division de la mesure d’une variation telle qu’une longueur, un volume ou encore un poids par la mesure du temps écoulé au cours de cette variation. L’exemple le plus simple est celui de la vitesse de déplacement. Il s’agit d’une distance divisée par un temps comme les mètres par seconde ou les kilomètres par heure. Dans tout ce qui suit, nous considérerons un point M qui se déplace le long d'une courbe et le mouvement de ce point commence à l'instant T0=0 seconde au point d'origine O, il passe par A à l'instant T1 et pour le point B à l'instant T2.

Temps, instant, date, durée

Comment calculer le temps ? Le temps n'est pas une unité fixée. Par exemple, à proximité d'un trou noir, le temps s'écoule moins vite que sur la Terre.

Au cours du temps les réactifs disparaissent donc leur concentration diminue. Or nous avons déjà vu que la concentration des réactifs est un facteur cinétique. Plus la concentration des réactifs est faible plus la réaction est lente. Donc, en général, au cours du temps la vitesse de réaction diminue.

  • Si, pour un même intervalle de temps, la distance parcourue par le mobile est de plus en plus grande, sa vitesse augmente. On dit alors du mouvement qu'il est accéléré.
  • Si, pour un même intervalle de temps, la distance parcourue par le mobile est constante. On dit que le mouvement est uniforme.
  • Si, pour un même intervalle de temps, la distance parcourue est de plus en plus petite, sa vitesse diminue. On dit donc que le mouvement est ralenti.

La date d'un événement est la même pour tout le monde, elle est liée au repère universel de temps. L'instant est défini dans le repère du référentiel par rapport à une date donnée. Par convention, chaque instant est relatif à une date. La durée est l'intervalle entre deux instants. On peut la noter Δt ou τ = t2-t1.

Abscisse curviligne et abscisse angulaire

Dans les cas les plus simples, la trajectoire est droite, dans ces cas l'abscisse est facile à trouver. Il s'agit de la distance parcourue le long de la droite entre le point M et l'origine. Dans les cas généraux, la trajectoire est une courbe. La mesure de l'abscisse est moins évidente, on l'appelle abscisse curviligne. Définition : l'abscisse curviligne notée 's' est définie comme la mesure algébrique de l'arc AB c'est à dire la distance parcourue le long de cet axe. Algébrique veut dire que s possède un signe :

  • positif dans le sens du mouvement.
  • négatif dans l'autre.

Dans le cas des trajectoires circulaires, il est commode d'établir un lien entre l'abscisse curviligne et l'angle parcouru. Cet angle étant mesuré par rapport à l'axe de rotation. θ est l'angle parcouru par le point au court du mouvement mesuré en radian. On l'appelle abscisse curviligne.

Vitesse moyenne

La vitesse moyenne se calcule grâce au quotient de la distance L parcourue par la durée T mise à la parcourir. On a donc [ V _ { m } = frac { L } { T } ] où la longueur de l’arc AB est notée L

  • La vitesse moyenne d'un point est le rapport entre la distance parcourue et la durée du parcours.

Cette expression permet d'écrire la vitesse moyenne pour tout type de mouvement.

Vitesse instantanée

La vitesse instantanée est une grandeur inaccessible par le calcul direct tant que l'on ne sait pas dériver une fonction. Pour savoir déterminer une approximation de la vitesse instantanée on choisit deux points qui encadrent le point d'étude. Ces deux points sont séparés d'un intervalle de temps égal à 2τ et on divise la distance les séparant par cette valeur. Cette méthode nous oblige à matérialiser par un point les positions successives du mobile à intervalle de temps régulier. Remarque : Plus τ est petit, meilleure est l'approximation. La vitesse instantanée correspond à la vitesse du mobile à l’instant t. Elle peut être assimilé à la vitesse moyenne du mobile durant un intervalle de temps très court dt. On a donc [ V = frac { text { d } L } { text { d } T } ] Le vecteur vitesse d’un point mobile M se déplaçant sur une trajectoire est caractérisé par :

    • sa direction : celle de la tangente à la trajectoire en M
    • son sens : celui du mouvement
    • sa valeur : valeur de la vitesse instantanée à l’instant t
    • son origine : le point M

Notons qu'il est possible de la calculer grâce à la formule suivante [ V _ { m } left( t right) 2 = frac { M _  { 1 } times M _ { 2 } } { 2 times text { d } L } ]

  • Lors d'un mouvement rectiligne uniforme, me vecteur vitesse d’un point mobile est constant. Sa valeur, sa direction et son sens restent les mêmes à chaque instant..
  • Lors d'un mouvement rectiligne varié, le vecteur vitesse garde la même direction mais les distances parcourues par le point mobile pendant des durées égales sont différentes.
  • La vitesse angulaire moyenne se définit ainsi : Soit un point M décrivant une trajectoire circulaire de rayon R. Un rayon du cercle balaie un angle pendant la durée t.

La vitesse angulaire moyenne peut se calculer grâce à l'expression suivante  [ omega _ { m } = frac { theta } { t } ]

  • La vitesse angulaire instantanée correspond à la vitesse angulaire à un instant donné. C’est le quotient du petit angle d θ balayé par un temps très court dt : [ omega = frac { delta theta } { delta L } ] avec ω en rad/sd et θ en raddt en s

Il est tangent à la trajectoire au point considéré donc perpendiculaire au rayon. Son sens est celui du mouvement. Sa valeur est celle de la vitesse linéaire instantanée en ce point. Le point M décrit un arc AB pendant la durée t. Le rayon OM = R balaie l’angle q. Donc l’arc AB est égal à rq. [ V = frac { text { AB } } { t } = frac { r times theta } { t } = r times omega ]

  • La période, notée T, est l’intervalle de temps séparant 2 passages du mobile au même point et dans le même sens : [ T = frac { 2 times pi } { omega } ]. La période s’exprime en seconde et la vitesse angulaire en rad/s
  • La fréquence, notée f, est le nombre de tours effectués par le mobile en une seconde : [ f = frac { 1 } { T } ]. La fréquence s’exprime en Hertz (Hz).

Vecteur vitesse

La valeur numérique de la vitesse ne suffit pas à définir le mouvement d'un point, il faut également connaître la direction et le sens de celle-ci. On associe donc à la vitesse un vecteur de longueur proportionnelle à la valeur numérique et dont la direction et le sens sont définis :

  • une direction tangente à la trajectoire
  • un sens identique à celui du mouvement

Pour construire un vecteur vitesse instantanée, on doit connaître les positions de deux points encadrant le point M séparés d'un intervalle de temps connu (2τ). Le vecteur vitesse s'écrit : [ V _ { M } = frac { overrightarrow { AB } } { 2 times tau } ]

L'accélération

Comment définir l'accélération ? L'accélération se calcule par la dérivée de la vitesse. C'est une unité qui définit comment augmente la vitesse.

L'accélération correspond à un phénomène attenant à l'augmentation de la vitesse. L'accélération est égale à la dérivée de la vitesse instantanée. C'est à dire que la fonction dérivée de la fonction qui détermine la position d'un point selon le temps est l'accélération. Il s'agit d'une grandeur physique qui s'exprime sous la forme de vecteur. Comme la vitesse, il s'agit d'une variation au cours du temps. La norme de ce vecteur est l'accélération. Selon le système international, l'accélération a pour unité le mètre par seconde carré qui se note m.s-2.

Les débuts de cette notion

C'est en 1700 qu'un père jésuite français, Pierre Varignon, commence à identifier l'existence de l'accélération dans ces calculs. En effet, ce mathématicien a été l'un des premiers à chercher à comprendre le principe de la vitesse.

Approche graphique

Lors d'un courbe d'accélération, quand la vitesse est maximale, l'accélération est minimale.

Calculs

On peut effectuer différents calculs sur l'accélération. Voici ceux que vous pourriez être amenés à effectuer.

Accélération moyenne

[ overrightarrow{ a }_{ moy } = frac { overrightarrow { v } _ { M / ( R ) }( t _ { 2 } ) -overrightarrow { v } _ { M / ( R ) } ( t _ { 1 } ) } {t _ { 2 } - t _ { 1 } } ]

Accélération instantanée

[ overrightarrow { a } = lim _ { Delta t rightarrow 0 } frac {Delta overrightarrow { v } } { Delta t } = frac { text{d} overrightarrow { v } }{text {d} t } ]

Les mouvements

La translation

Un solide est en translation lorsque tous ses points ont le même vecteur vitesse. On connaît les translations curvilignes, circulaires, rectilignes.

La rotation

Définition

Soit une droite (Δ) fixe dans un référentiel d'étude. Un solide a un mouvement de rotation autour de l'axe Δ lorsque tous ces points ont une trajectoire circulaire centrée sur (Δ). Pour tous les points Mi du solide, on a un centre de rotation Oi sur l'axe définissant un cercle de rayon ri = OiMi.

Vitesse angulaire

Pour les mouvements de rotation, il est commode d'utiliser l'abscisse angulaire θ qui est l'angle parcouru. On peut alors définir la vitesse angulaire ou comme le rapport entre le nombre de radians parcouru et le temps. On peut faire le lien entre la vitesse angulaire et la vitesse instantanée d'un point grâce à l'abscisse curviligne.

Le centre d'inertie

En physique, on appelle inertie d'un corps, dans un référentiel galiléen, une tendance de ce corps à conserver sa vitesse. En effet, lorsqu'il y a absence d'influences extérieures, on parle aussi de forces extérieures, alors tout corps que l'on considère comme ponctuel va perdurer dans un mouvement rectiligne uniforme. Notons que l'on appelle aussi l'inertie, principe d'inertie ou encore loi d'inertie. Puis, lorsque Newton est arrivé, on l'appelle également première loi de Newton. Elle s'énonce ainsi :

Un système isolé ou pseudo-isolé initialement au repos ou en mouvement rectiligne uniforme demeure dans son état.

On appelle référentiel galiléen tout référentiel au sein duquel le principe d'inertie est vérifié. Même s'il n'existe aucun référentiel galiléen au sens strict. Il est cependant possible de considérer certains référentiels usuels comme galiléen si certaines conditions sont vérifiée :

  • Ainsi, le référentiel terrestre peut être considéré galiléen si on considère un mouvement dont la durée ne dépasse pas quelques minutes dans le but de s'affranchir du mouvement de rotation propre de la Terre.
  • Le référentiel géocentrique peut également être considéré comme étant galiléen si on considère un mouvement dont la durée ne dépasse quelques heures dans le but de s'affranchir du mouvement de rotation de la Terre autour du Soleil.
  • Le référentiel héliocentrique peut aussi être considéré comme étant galiléen car l'impact du mouvement de rotation du Soleil au sein de la galaxie est négligeable.

L'inertie d'un solide doit se comparer à la faculté de ce solide à s'opposer à la modification de ce mouvement. Cette inertie est exclusivement liée à la masse de l'objet. Par conséquent, lorsqu'on étudie le mouvement d'un objet dans le référentiel terrestre, il est plus simple ramener l'objet à un seul pont dont le mouvement est e lus simple : c'est le centre d'inertie (centre de gravité). Le centre d'inertie d'un objet de masse totale M est le point d'équilibre de la répartition massique de l'objet. En général, il se trouve sur les éléments de symétrie de l'objet (axe, centre, plan).

La chute libre

Qu'est-ce qu'une chute libre ? Une chute libre ne peut intervenir sur Terre. En effet, l'air présent dans l’atmosphère terrestre créer du frottement et empêche une chute libre.

On appelle chute libre le mouvement que prend un objet sous la seule action de son poids. Un tel mouvement ne peut avoir lieu que dans le vide. On peut admettre que dans l’air, la chute est "libre" si l’on peut négliger :

  • les frottements
  • la poussée d’Archimède (il faut que la masse volumique de l’objet soit grande devant celle de l’air).

On a donc une variation du vecteur vitesse du centre d’inertie G de la bille : la valeur de la vitesse varie, la direction reste constante. On peut monter que pour une hauteur de chute h ( en partant sans vitesse initiale), on a les deux relations suivantes ou v représente la vitesse : [ begin{cases} h = frac { 1 } { 2 } times g times t ^ { 2 } \ v = g times t end{cases} ]

La poussée d’Archimède

La poussée d'Archimède est un phénomène physique qui décrit le comportement de tout corps plongé dans un fluide qu'il soit liquide ou gazeux soumis à un champ de gravité. Elle est nommée ainsi en l'honneur d'Archimède de Syracuse, un très grand scientifique grec de 200 avant J.-C. Elle est causée par l'augmentation de la pression du fluide avec la profondeur. Comme la pression exercée sur la partie basse du corps est supérieure à celle exercée sur la partie haute, le corps est poussé verticalement vers le haut. Voici la formulation d'origine de cette loi physique :

Tout corps plongé dans un fluide au repos, entièrement mouillé par celui-ci ou traversant sa surface libre, subit une force verticale, dirigée de bas en haut et opposée au poids du volume de fluide déplacé ; cette force est appelée poussée d'Archimède.

Pour que le théorème s'applique il faut que le fluide immergeant et le corps immergé soient au repos. Il faut également qu'il soit possible de remplacer le corps immergé par du fluide immergeant sans rompre l'équilibre. Voici l'équation qui en résulte : [ overrightarrow { P } _ { A } = M _ { f } overrightarrow { g } ] Avec :

  • Mf< la masse du fluide contenu dans un volume V et déplacé ;
  • g la valeur du champ de pesanteur, de 9,81 N/kg à la surface de la Terre.

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Clément

Freelancer et pilote, j'espère atteindre la sagesse en partageant le savoir que j'ai acquis lors de mes voyages au volant de ma berline. Curieux scientifique, ma soif de découverte n'a d'égale que la durée de demie-vie du bismuth 209.

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Thomas Guerrier Dyoudelca Auteurs de commentaires récents
Guerrier Dyoudelca
Guerrier Dyoudelca
Invité
11 Sep.

Bonsoir
J’aimerais savoir comment prouver un solide indeformable est en mouvement

Thomas
Thomas
Éditeur
25 Sep.

Bonjour. Lorsqu’un solide est en mouvement, l’un de ces points décrit une trajectoire plus simple que celle des autres points : c’est le centre d’inertie de ce solide.