CINÉMATIQUE DES FLUIDES

Ce chapitre débute le bloc 2 : mécanique des fluides dans la partie  mécanique du programme de PC. Il introduit les outils indispensables à la description des fluides en mouvement.

I. QU’EST-CE QU’UN FLUIDE ?

Les notions qui suivent constituent des rappels de PCSI !

  • Définition d'un fluide : ensemble de molécules très nombreuses, mobiles les unes par rapport aux autres.

  • On distingue :

    • les liquides : faiblement compressibles donc possèdent un volume propre.

    • les gaz : fortement compressibles, occupent tout le volume qui leur est offert.

  • Libre parcours moyen : c'est la distance moyenne parcourue par une molécule entre deux chocs.

Ordre de grandeur : quelques centaines de nanomètres pour un gaz dans des conditions ordinaires de pression et température, quelques nanomètres pour un liquide.

  • Le fluide est étudié comme un milieu continu :

    • On n'étudie pas individuellement le mouvement de chaque molécule.

    • Les grandeurs physiques définies dans le fluide sont des moyennes sur des éléments de volume dτ mésoscopiques (typiquement (10 μm)3)

      • petits devant les dimensions macroscopiques pour que les grandeurs physiques ainsi définies soient locales

      • mais de dimensions très supérieures au libre parcours moyen afin que le nombre de chocs dans l'élément de volume soit suffisamment grand pour pouvoir définir les grandeurs thermodynamiques telles que pression et température.

    • La distance moyenne entre les molécules étant inférieure au libre parcours moyen, les valeurs moyennes sur les éléments de volume mésoscopiques dτ se font sur un très grand nombre de molécules. 

À l’échelle mésoscopique, le fluide est alors un milieu continu.

  • En particulier, on définit la masse volumique, masse moyenne de dτ et la vitesse moyenne des molécules de dτ.

II. CHAMP DES VITESSES DANS UN FLUIDE

1. Description de Lagrange : celle de la mécanique du point

  • Pour décrire le fluide, on le découpe en éléments de volume mésoscopiques, qui avancent en même temps que le fluide, comme une brindille emportée par le courant d’une rivière.

  • On appelle particules de fluide ces éléments de volume physiquement fermés à l'échelle mésoscopique.

  • La description lagrangienne consiste à définir les grandeurs physiques en des points M attachés à la matière : c'est la description utilisée en mécanique du point !

  • Tout point M attaché à la matière donc à une particule de fluide a des coordonnées x(t), y(t) et z(t) fonctions du temps.

  • On connaît la définition du vecteur vitesse d'un point : c'est la dérivée par rapport au temps du vecteur position ( mécanique du point !).

  • Le vecteur vitesse d'une particule de fluide est défini, comme toutes les grandeurs physiques dans le fluide, en valeur moyenne sur l'élément de volume mésoscopique. Il se confond donc avec la vitesse de son centre d'inertie, d'après les relations barycentriques.

  • La description lagrangienne est adaptée à l’écriture des théorèmes de la mécanique. Conformément au programme, cette description ne sera pas utilisée.

2. Description d’Euler : en terme de champs

  • Pour décrire le fluide, on le découpe en éléments de volume mésoscopiques fixes dans le référentiel d'étude donc physiquement ouverts si le fluide est en mouvement.

  • La description eulérienne consiste donc à définir les grandeurs physiques en des points fixes du référentiel : c'est la description utilisée en électromagnétisme, en terme de champs scalaires ou vectoriels, c’est à dire des fonctions de la position et du temps.

  • Soit M un point de l'espace (fixé !), de coordonnées x, y et z. Les variables x, y , z et t sont indépendantes.

  • La description eulérienne est bien adaptée pour effectuer des analogies avec l'électromagnétisme (établissement d'équations locales faisant intervenir la divergence et le rotationnel).

  • Conformément au programme, c’est cette description qui sera utilisée dans la suite mais il ne faudra pas perdre de vue la réalité de la mécanique lagrangienne.

3. Champ eulérien des vitesses

  • En description eulérienne, le vecteur vitesse d’un point M à un instant t n' a pas d'intérêt puisqu'il est fixe !

  • Définition : le champ eulérien des vitesses est défini en M à l'instant t par le vecteur vitesse de la particule de fluide qui se trouve au point  M à l'instant t.

  • Définition : Les lignes de courant sont les lignes de champ du champ des vitesses. Elles sont donc tangentes en chacun de leurs points à v(M,t) au même point. Un tube de champ, c’est à dire un ensemble de lignes de champ, est appelé tube de courant.

  • Attention : Dans le cas général, une ligne de courant ne s'identifie pas à la trajectoire d'une particule. La trajectoire d'une particule est l'ensemble des positions occupées par la particule au cours du temps. Les lignes de courant correspondent à une photo instantanée du champ des vitesses.

  • Exemple

III. DÉRIVÉE PARTICULAIRE D’UN CHAMP

1. Définition

  • La dérivée particulaire (ou dérivée totale , ou dérivée matérielle) d'une grandeur physique définie par le champ G(M,t) est la dérivée par rapport au temps de cette grandeur considérée comme attachée à la particule de fluide en M à t (masse volumique ou vitesse par exemple).

  • Notations

2. Dérivée particulaire d’un champ scalaire : masse volumique

  • Pour dériver G(x,y,z,t), il faut tenir compte du fait que le champ peut varier au cours du temps en chaque point de l'espace et du fait que la particule voit une variation du champ à cause de son déplacement pendant dt.

  • Dérivée particulaire de la masse volumique

3. Dérivée particulaire d’un champ vectoriel : vitesse

  • Dérivée particulaire d’un champ vectoriel

  • Expression de l’accélération d’une particule de fluide : c’est bien-sûr la dérivée particulaire du champ des vitesse.

  • On distingue l’accélération locale (due aux variations à M fixé) et l’accélération convective (due au déplacement du fluide, c’est à dire la convection).

  • Expression de l’accélération en fonction du vecteur tourbillon.

IV. ÉQUATION LOCALE DE CONSERVATION DE LA MASSE

1. Débit volumique

  • Définition : le débit volumique Dv est le volume de fluide qui traverse une surface orientée par unité de temps.

  • Le débit volumique à travers une surface S est égal au flux du vecteur vitesse à travers cette surface. Le débit volumique dépend donc de la surface.

2. Débit massique, densité de courant

  • Définition : le débit massique Dm est la masse de fluide qui traverse une surface orientée par unité de temps.

  • Le débit massique à travers une surface S est égal au flux du vecteur densité de courant à travers cette surface. Le débit massique dépend donc de la surface.

3. Équation locale de conservation de la masse (équation de continuité)

  • Démonstration pour un problème unidimensionnel en géométrie cartésienne.

  • Généralisation (admise)

V. PROPRIÉTÉS DES ÉCOULEMENTS

1. Écoulement stationnaire

a. Définition

  • Dans un référentiel donné, un écoulement est stationnaire (ou permanent) si l'ensemble des champs définis dans le fluide sont indépendants du temps.

  • Attention : il ne faut surtout pas en déduire que l'accélération en tout point est nulle. C'est l'accélération locale qui est nulle.

b. Conséquences

  • Les lignes de courant sont confondues avec les trajectoires des particules de fluide (et uniquement dans ce cas).

  • Le vecteur densité de courant est à flux conservatif (analogie avec le champ magnétique ou le vecteur densité de courant électrique en ARQS !)

    • Le débit massique est donc conservé le long d'un tube de courant (donc en particulier dans une canalisation). Comme l’écoulement est stationnaire, il est aussi indépendant de t.

    • “Loi des noeuds” pour les débits massiques.

    • Le débit massique ne dépend pas de la surface, on peut définir le débit massique à travers un contour.

2. Écoulement incompressible

a. Définition

  • Un écoulement est incompressible si les particules de fluide conservent leur volume en se déplaçant, c'est à dire si la dérivée particulaire de la masse volumique est nulle.

  • Cette notion ne dépend pas du référentiel.

b. En pratique ?

  • L'écoulement d'un liquide (fluide incompressible) est forcément incompressible.

  • L'écoulement d'un gaz (fluide compressible) en régime stationnaire à des vitesses inférieures à la vitesse du son (écoulement subsonique) peut être considéré comme incompressible. (admis)

c. Conséquences

  • Dans un écoulement incompressible, la divergence du champ des vitesse est nulle en tout point.

  • Conséquences sur les lignes de courant :

    • Le champ des vitesses dans un écoulement incompressible est à flux conservatif, donc

      • le débit volumique est conservé le long d'un tube de courant. Attention il peut varier avec t.

      • “Loi des noeuds” en débit volumique.

      • La vitesse est plus élevée dans les zones où les lignes de courant se resserrent.

    • Les lignes de courant ne peuvent ni diverger d'un point, ni converger vers un point dans le cas d'un écoulement incompressible.

  • Interprétation physique de div v en terme de compressibilité :

    • Si une particule en un point M d'un écoulement se dilate, son volume augmente, donc le débit volumique à travers une surface élémentaire mathématique fixe qui entoure M est strictement positif. Par définition de l'opérateur divergence, la divergence en M de la vitesse est strictement positive.

    • En un point M où la divergence du vecteur vitesse est nulle, la particule ne se dilate pas et ne se comprime pas.

3. Vecteur tourbillon, écoulement irrotationnel

a. Interprétation qualitative du vecteur tourbillon

  • Exemples

  • ADMIS : le vecteur tourbillon décrit localement la rotation d’une particule de fluide en un point. En plus de tourner sur elle-même, une particule de fluide placée en M peut se translater (à la vitesse au point M) et se déformer.

b. Écoulement irrotationnel

  • Définition : Dans un référentiel donné, un écoulement est irrotationnel si le champ des vitesses est à rotationnel nul dans tout l' espace. Le vecteur tourbillon est donc nul dans tout l'espace.

  • L’écoulement non irrotationnel est dit tourbillonnaire. Au moins une particule de fluide tourne sur elle-même.

  • Conséquences sur les lignes de courant :

    • dans un écoulement irrotationnel, aucune ligne de courant ne se referme sur elle-même,

    • dans un écoulement tourbillonnaire, des lignes de courant enlacent les vecteurs tourbillon.

c. Potentiel des vitesses

  • Dans le cas d'un écoulement irrotationnel, on peut introduire un potentiel des vitesses.

  • Équation vérifiée par le potentiel des vitesses dans le cas d'un écoulement incompressible irrotationnel : équation de Laplace.

Vous avez aimé l’article ?

Aucune information ? Sérieusement ?Ok, nous tacherons de faire mieux pour le prochainLa moyenne, ouf ! Pas mieux ?Merci. Posez vos questions dans les commentaires.Un plaisir de vous aider ! :) (1,00/ 5 pour 1 votes)
Loading...

Vous avez aimé
cette ressource ?

Bravo !

Téléchargez-là au format pdf en ajoutant simplement votre e-mail !

{{ downloadEmailSaved }}

Votre email est invalide