ACTIONS DE CONTACT DANS UN FLUIDE EN MOUVEMENT

Ce chapitre traite la partie 2 du bloc mécanique des fluides (partie 2.2) du programme de PC. Il s’intéresse aux actions subies par les fluides : statiques tout d’abord (rappels de PCSI) puis en mouvement.

I. FORCES DE PRESSION DANS UN FLUIDE STATIQUE

Les notions qui suivent constituent des rappels de PCSI

1. Définition de la pression à l'échelle mésoscopique

  • Un fluide est statique (au repos) si son champ des vitesses est identiquement nul.

  • Soit un élément de surface matériel dS en contact avec un fluide. On constate expérimentalement que le fluide qui est en contact avec la surface exerce sur cette surface une force, appelée force de pression

    • normale à la surface, quelle que soit l'orientation de la surface,

    • orientée du fluide vers la surface,

    • de norme proportionnelle à dS.

  • La norme de cette force par unité de surface est appelée pression : elle ne dépend que de la position du point où a été placée la surface.

  • Si dS est une surface fictive dans le fluide, la force de pression s’exerce sur le fluide de l’autre côté de dS et son expression est identique.

2. Équivalence volumique des forces de pression

  • Échelle mésoscopique :

    • la résultante des forces de pression qui s'exercent sur un petit élément de volume mésoscopique d’un fluide est proportionnel à cet élément de volume : ceci permet de considérer que les forces surfaciques de pression sont équivalentes à un force volumique.

    • La densité volumique de force équivalente aux forces de pression est égale à l' opposé du gradient de pression.

  • Échelle macroscopique : la résultante des forces de pression qui s'exercent sur un volume non élémentaire du fluide peut se calculer

    • soit par intégrale des forces surfaciques de pression, sur toute la surface qui délimite le système,

    • soit par intégrale des forces volumiques équivalentes, sur tout le volume du système.

3. Cas particulier d'un champ de pression uniforme

  • L'équivalent volumique des forces de pression est nul.

  • La résultante des forces de pression sur n'importe quel volume fermé est nulle.

II. FORCES DE PRESSION ET DE VISCOSITÉ DANS UN FLUIDE EN MOUVEMENT

1. Définition de la pression et de la viscosité à l'échelle mésoscopique

  • Soit un élément de surface mathématique dS pris sur un tube de courant dans un fluide. La résultante des actions de contact que le fluide d'un côté de dS exerce sur le fluide de l'autre côté de dS est proportionnelle à dS. Cette résultante par unité de surface est appelée contrainte.

  • La résultante des actions de contact  se décompose en

    • une composante normale dite force de pression, identique à la force de pression introduite précédemment,

    • et une composante tangentielle dite force de viscosité, qui traduit le frottement entre les couches de fluide.

2. Force de viscosité dans un fluide newtonien

  • Hypothèse : écoulement unidimensionnel de la forme v=vx(y)ux appelé écoulement de cisaillement.

  • Pour certains fluides dits newtoniens : La norme de la force de viscosité qui s'exerce sur une surface élémentaire est proportionnelle à cette surface et à la dérivée de vx(y) par rapport à y. Le coefficient de proportionnalité, caractéristique du fluide newtonien, est un coefficient positif appelé viscosité (dynamique) : η (éta).

  • Le sens de cette force de viscosité tend à homogénéiser le champ des vitesses : la couche de fluide la plus lente freine la couche la plus rapide.

  • La viscosité s'exprime en poiseuille (symbole Pl) dans le système international.

  • Ordres de grandeur

fluide

air

eau

huile

glycérine

miel

η en Pl

10-5

10-3

10-1

1

10

  • Remarque : pour des fluides non newtoniens, la viscosité n’est pas constante : elle dépend de la déformation que subit le fluide ou qu’il a subi antérieurement. Exemples : la maizena, le dentifrice, des peintures ...

3. Équivalent volumique des forces de viscosité dans un fluide newtonien

  • Dans le cas de l’écoulement de cisaillement d’un fluide newtonien, on montre que les forces surfaciques de viscosité sont équivalentes à des forces volumiques de densité volumique égale au produit de la viscosité par le laplacien-vecteur de la vitesse.

  • On admet la généralisation du résultat précédent à tout écoulement incompressible d’un fluide newtonien.

4. Interprétation microscopique qualitative de la viscosité

  • L'expression de la norme de la force de viscosité rappelle par sa forme les lois de Fick et de Fourier qui traduisent des phénomènes de diffusion. L’analyse qui suit justifie cette observation.

  • En dehors de l'échelle microscopique, le fluide apparaît comme un milieu continu de matière, et on ne perçoit que des mouvements d'ensemble de matière : mouvements de convection définis par le champ eulérien des vitesses. C'est avec cette vision du fluide qu'il faut considérer les particules de fluide comme fermées.

  • A l'échelle microscopique, les vitesses des molécules fluctuent par rapport aux vitesses moyennes du champ des vitesses, à cause de l’agitation thermique.  En conséquence, les particules de fluide ne sont en fait pas fermées. Les échanges de molécules de vitesses différentes, entre particules de fluide voisines, entraînent des transferts (ou transports) de quantité de mouvement donc des forces surfaciques supplémentaires :

    • les composantes normales sont les forces de pression,

    • les composantes tangentielles sont les forces de viscosité : une couche de fluide plus rapide qu’une autre gagne des molécules plus lentes et en cède des plus rapides d’où le freinage.

  • Dans un fluide en mouvement, on observe donc :

    • un phénomène de transport de quantité de mouvement par convection, associé au mouvement d'ensemble de la matière décrit par le champ des vitesses

    • et un phénomène de transport de quantité de mouvement par diffusion, qui se fait de proche en proche à l'échelle microscopique et sans mouvement macroscopique de matière.

    • Un phénomène de transport, ou phénomène de transfert, ou encore diffusion est un phénomène au cours duquel une grandeur (scalaire ou vectorielle) est transportée de proche en proche par le biais des molécules : ici transfert de quantité de mouvement mais aussi transfert de charge (conduction électrique), transfert thermique (conduction thermique), diffusion de particules …

III. TRAÎNÉE D’UNE SPHÈRE SOLIDE EN MOUVEMENT RECTILIGNE UNIFORME DANS UN FLUIDE NEWTONIEN

1. Position du problème

  • Écoulement étudié :  l'écoulement engendré par le mouvement rectiligne à la vitesse V d'une sphère dans un fluide newtonien au repos, en se plaçant dans le référentiel de la sphère.

  • On étudie expérimentalement la force de traînée, force parallèle à la vitesse qui s'exerce sur la sphère à cause du mouvement. C’est donc une résultante de forces surfaciques de contact.

  • La trainée est étudiée pour différentes valeurs du rayon de la sphère, de la masse volumique du fluide et de la vitesse. On visualise simultanément les écoulements correspondants.

2. Grandeurs sans dimension caractéristiques de l’écoulement

a. Coefficient de traînée

  • Pour un déplacement de la sphère selon Ox, on définit le coefficient de traînée Cx par le rapport force subie/(pression cinétique x maître couple.

  • Le coefficient Cx est sans dimension.

b. Nombre de Reynolds

  • On définit le nombre de Reynolds par Re=L.V/ν avec ν=η/μ  viscosité cinématique.

  • L : dimension typique de l'obstacle (diamètre de la sphère ici).

  • Le nombre de Reynolds est sans dimension.

3. Résultats expérimentaux

  • Il est remarquable de constater que l'étude expérimentale permet de dégager une loi de comportement universelle (indépendante du fluide et du rayon de la sphère), à condition d'exprimer le coefficient de traînée Cx en fonction du nombre de Reynolds Re en échelle logarithmique. De plus les observations sont les mêmes si la sphère est remplacée par un obstacle quelconque grace aux définitions générales de Cx et Re.

  • Si Re faible (Re<1), donc faible vitesse, petit obstacle, forte viscosité.

La traînée est proportionnelle au coefficient de viscosité, au rayon de la bille et à la vitesse: loi de Stokes

  • Si 1<re<1000 :="" de="" e="" entre="" et="" la="" loi="" p="" pas="" simple=""> </re<1000>

  • Si Re élevé (Re>1000), donc vitesse élevée, grand obstacle, faible viscosité.

    • Le coefficient de traînée Cx est constant (de l'ordre de l'unité), donc la traînée est proportionnelle à la pression cinétique et au Cx. La viscosité n' intervient plus.

    • Le Cx dépend de la forme de l'objet, il est proche de 0,5 pour la sphère, proche de 1 pour un disque.

4. Distinction entre écoulement laminaire et écoulement turbulent

  • Définitions :

    • Écoulement laminaire : c'est un écoulement pour lequel les lignes de courant sont régulières. Les tubes de courant glissent les uns sur les autres.

    • Écoulement turbulent : c'est un écoulement pour lequel les particules de fluide ont un mouvement très désordonné dans le temps et dans l'espace.

    • L’existence de ces deux régimes d’écoulement a été mise en évidence par Reynolds en 1883 : expérience de Reynolds.

  • Dans l’écoulement autour de la sphère :

    • Si Re faible : l’écoulement est laminaire.

    • Puis quand Re augmente, des tourbillons apparaissent en aval de la sphère, qui grossissent et laisse place à un sillage turbulent

    • On considère que l’écoulement est turbulent à partir de Re de l’ordre de 2000.

  • Interprétation : le fluide doit réoccuper le volume laissé libre par la sphère au fur et à mesure qu'elle avance.

    • Pour une vitesse faible, un rayon faible, et une forte viscosité, bref Re faible, le fluide "colle" à l'arrière de la sphère. Le fluide remplit l'espace laissé libre par la sphère par diffusion de matière. L’écoulement est laminaire. Le transfert de quantité de mouvement par diffusion prédomine devant le transfert de quantité de mouvement par convection.

    • Pour une vitesse élevée, un rayon grand, et une faible viscosité bref Re élevé, le fluide "décolle" de la sphère. Il remplit alors l'espace laissé libre par des mouvements de convection de matière rapides et aléatoires d’où l’écoulement turbulent. Le transfert de quantité de mouvement par diffusion est négligeable devant le transfert de quantité de mouvement par convection.

  • Exemples :

    • ballon (diamètre 20 cm) de vitesse 40 m/s dans l’air : Re de l’ordre de 105 donc écoulement turbulent.

    • voiture : dimension caractéristique de l'ordre du mètre, vitesse de l'ordre de 50 km.h-1, Re de l’ordre de 105. L'écoulement est turbulent.

    • olive (diamètre 1 cm) dans l’huile, de vitesse 10-2 m/s : Re = 0,1 donc l’écoulement est laminaire.

IV. NOTIONS SUR LA TENSION SUPERFICIELLE

La tension superficielle explique de nombreux phénomènes familiers : bulles de savon, forme grossièrement sphérique des gouttes de pluie ...

1. Quelques notions théoriques

  • La tension superficielle est définie à l’interface entre un liquide et un gaz.

  • Elle est liée à l’anisotropie des interactions d’une molécule du liquide avec les molécules de liquide environnantes lorsque cette molécule est proche de l’interface.

  • Dans un liquide, une molécule est entourée d’autres molécules qui l’attirent dans toutes les directions.  Une molécule de la surface libre, par contre, n’est attirée que d’un côté : elle est donc attirée plus fortement vers le liquide. Les molécules de la surface libre se comportent donc comme une membrane élastique qui confine le liquide et tend à minimiser la surface libre pour un volume de liquide donné.

  • Pour agrandir une surface libre, il faut que plus de molécules viennent de l’intérieur du liquide pour s’y “installer” : de l’énergie doit être fournie au liquide pour amener une molécule à la surface, écarter les autres pour l’y placer. Cette énergie est proportionnelle à l’augmentation de surface donc l’énergie pour créer une interface de surface S est proportionnelle à cette surface.

  • E = γS où E est l’énergie de tension superficielle et γ est le coefficient de tension superficielle.

  • C’est une forme d’énergie potentielle emmagasinée par la surface. γ est donc une énergie potentielle par unité de surface.

2. Exemple de mesure de γ : méthode par arrachement

Dispositif de mesure Jeulin

  • Expérience : Un anneau circulaire métallique de masse m et de rayon r affleure à la surface d’un liquide. On descend progressivement le plateau : un film de liquide se forme entre l’anneau et le liquide. A l’arrachement de ce film, on note la valeur F de la force qui s’exerce sur le fil, mesurée au dynamomètre.

  • Interprétation par un bilan énergétique et expression du coefficient de tension superficielle

  • Exemple de résultats

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