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Terminale – Convexité : Les inégalités : simple

Name: Terminale – Convexité : Les inégalités : simple
Brand: Superprof
SKU: SP-RB-00113455
Rating: 5 (1 reviews)

Par Antonin

Rédigé le 9 mai 2022

2 minutes de lecture

Chapitres

1) Les inégalités : simple - le cours en Terminale
2) Prouver une inégalité avec convexité - exercice d'application

Voici un cours pratique sur la convexité réalisé par des ambassadeurs Superprof qui ont lancé leur application de e-learning, Studeo : preview exclusive pour Superprof !

Il se décompose en deux temps :

une vidéo de cours de 5 minutes pour comprendre les points clés,
un exercice d'application et sa vidéo de correction pour maîtriser la méthode.

1) Les inégalités : simple - le cours en Terminale

Vidéo Antonin - Cours :

https://youtu.be/xt4TfBw_QI8

À retenir sur ce point de cours :

Traduction de la relation courbe-sécante

- Si f est une fonction convexe sur un intervalle I alors pour tous réels $x$ et $y$ de $l$ et pour tout $t \in[0 ; 1]$ on a: $\quad f(t x+(1-t) y) \leqslant t f(x)+(1-t) f(y) .$
- Si $\mathrm{f}$ est une fonction concave sur un intervalle $l$ alors pour tous réels $x$ et $y$ de $l$ et pour tout $t \in[0 ; 1]$ on
a: $\quad f(t x+(1-t) y) \geqslant t f(x)+(1-t) f(y)$
Démonstration au programme
Version courte de la démo:
Soit deux réels $x$ et $y$ et soit $t$ un réel de $[0 ; 1]$ .
Soit $A(x ; f(x))$ et $\mathrm{B}(y ; f(y))$ .
Alors le point $M(t x+(1-t) y ; t f(x)+(1-t) f(y))$ appartient au segment $[A B]$ , sécante de $\mathscr{C}_{f}$ .
$f$ étant convexe, cette sécante est située au dessus de $\mathscr{C}_{f}$ .
$\mathrm{M}$ est donc situé au dessus du point $N(t x+(1-t) y ; f(t x+(1-t) y))$
D'où $f(t x+(1-t) y) \leqslant t f(x)+(1-t) f(y)$ .
Lien logique entre Convexité et Concavité
$f$ est convexe sur $I$ si et seulement si $-f$ est concave sur $I$ .
Exemple
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=-\mathrm{e}^{x}$ . La fonction $x \mapsto \mathrm{e}^{x}$ est convexe, donc $f: x \mapsto-\mathrm{e}^{x}$ est concave.