Voici un cours pratique sur la convexité réalisé par des ambassadeurs Superprof qui ont lancé leur application de e-learning, Studeo : preview exclusive pour Superprof !

Il se décompose en deux temps :

  • une vidéo de cours de 5 minutes pour comprendre les points clés,
  • un exercice d'application et sa vidéo de correction pour maîtriser la méthode.

1) Les inégalités : simple - le cours en Terminale

Vidéo Antonin - Cours :

 

https://youtu.be/xt4TfBw_QI8

 

À retenir sur ce point de cours :

Traduction de la relation courbe-sécante

- Si f est une fonction convexe sur un intervalle I alors pour tous réels x et y de l et pour tout t \in[0 ; 1] on a: \quad f(t x+(1-t) y) \leqslant t f(x)+(1-t) f(y) .
- Si \mathrm{f} est une fonction concave sur un intervalle l alors pour tous réels x et y de l et pour tout t \in[0 ; 1] on
a: \quad f(t x+(1-t) y) \geqslant t f(x)+(1-t) f(y)
Démonstration au programme
Version courte de la démo:
Soit deux réels x et y et soit t un réel de [0 ; 1].
Soit A(x ; f(x)) et \mathrm{B}(y ; f(y)).
Alors le point M(t x+(1-t) y ; t f(x)+(1-t) f(y)) appartient au segment [A B], sécante de \mathscr{C}_{f}.
f étant convexe, cette sécante est située au dessus de \mathscr{C}_{f}.
\mathrm{M} est donc situé au dessus du point N(t x+(1-t) y ; f(t x+(1-t) y))
D'où f(t x+(1-t) y) \leqslant t f(x)+(1-t) f(y).
Lien logique entre Convexité et Concavité
f est convexe sur I si et seulement si -f est concave sur I.
Exemple
Soit f la fonction définie sur \mathbb{R} par f(x)=-\mathrm{e}^{x}. La fonction x \mapsto \mathrm{e}^{x} est convexe, donc f: x \mapsto-\mathrm{e}^{x} est concave.

 

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C'est parti

2) Prouver une inégalité avec convexité - exercice d'application

Avant de voir la vidéo de correction ci-dessous, vous pouvez vous essayer à l'exercice d'application suivant :

Soit la fonction f définie sur \mathbb{R} par f(x)=x^{3}-2 x^{2}
a) Étudier la convexité de la fonction f.
b) Déterminer l'équation de la tangente à la fonction f en -1.
c) En déduire que pour tout réel x négatif, on a : x^{3}-2 x^{2} \leq 7 x+4

Vidéo Kevin - Application :

 

https://youtu.be/poWin6uibiw

 

Vous pouvez également retrouver le pdf du superprof ici :

PDF Prouver une inégalité avec convexité

Pour retrouver ces vidéos, ainsi que de nombreuses autres ressources écrites de qualité, vous pouvez télécharger l'application Studeo (ici leur website) pour iOS par ici ou Android par là !

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Antonin

Fondateur de Studeo - Activité : Cours particuliers - Professeur à Sciences Po et LSE Formation : ENS Cachan, Oxford University