Voici un cours pratique sur la convexité réalisé par des ambassadeurs Superprof qui ont lancé leur application de e-learning, Studeo : preview exclusive pour Superprof !

Il se décompose en deux temps :

  • une vidéo de cours de 5 minutes pour comprendre les points clés,
  • un exercice d'application et sa vidéo de correction pour maîtriser la méthode.

1) Les fonctions usuelles - le cours en Terminale

Vidéo Antonin - Cours :

 

https://youtu.be/7zpwNK4e6s0

 

À retenir sur ce point de cours :

La fonction x \mapsto \sqrt{x} est concave.
La fonction x \mapsto \ln x est concave.
Les fonctions x \mapsto x^{2} et x \mapsto \mathrm{e}^{x} sont convexes.
La fonction x \mapsto \frac{1}{x} est convexe sur \mathbb{R}^{*}
Règle générale pour \alpha>0(\mathrm{HP}) :
- Soit \alpha \in] 0 ; 1[
Les fonctions x \mapsto x^{\alpha} sont concaves sur \mathbb{R}^{+}
- Soit \alpha>1
Les fonctions x \mapsto x^{\alpha} sont convexes sur \mathbb{R}

 

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C'est parti

2) Prouver une inégalité avec convexité - exercice d'application

Avant de voir la vidéo de correction ci-dessous, vous pouvez vous essayer à l'exercice d'application suivant :

Soit la fonction f définie sur \mathbb{R} par f(x)=x^{3}-2 x^{2}
a) Étudier la convexité de la fonction f.
b) Déterminer l'équation de la tangente à la fonction f en -1.
c) En déduire que pour tout réel x négatif, on a : x^{3}-2 x^{2} \leq 7 x+4

Vidéo Kevin - Application :

 

https://youtu.be/poWin6uibiw

 

Vous pouvez également retrouver le pdf du superprof ici :

PDF Prouver une inégalité avec convexité

Pour retrouver ces vidéos, ainsi que de nombreuses autres ressources écrites de qualité, vous pouvez télécharger l'application Studeo (ici leur website) pour iOS par ici ou Android par là !

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Antonin

Fondateur de Studeo - Activité : Cours particuliers - Professeur à Sciences Po et LSE Formation : ENS Cachan, Oxford University