Vecteurs colinéaires

sont colinéaires
ne sont pas colinéaires

Deux vecteurs sont colinéaires si ils ont la même direction, c'est à dire si les droites que

l'on peut mettre dessus sont parallèles.
Dans ce cas on peut obtenir un des 2 vecteurs en multipliant l'autre par un certain nombre k : si deux vecteurs
et sont colinéaires, alors
il existe un nombre k tel que . Inversement, on peut aussi dire que si
il existe un nombre k tel que alors les deux vecteurs sont colinéaires.
Dans le cas du dessin en haut à gauche, il faut prendre k = - 2.

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Colinéarité et coordonnées

On peut aussi traduire la colinéarité de deux vecteurs en utilisant leurs coordonnées :
En effet, si et , alors .
Comme , les coordonnées de et de
k sont égales, donc :

Donc donc
Conclusion : Deux vecteurs et sont colinéaires
si

Application :
La colinéarité de vecteurs peut servir à démontrer beaucoup de choses en géométrie. Par exemple si on veut montrer
que 3 points du plan sont alignés, alors on peut montrer que les vecteurs qui passent par ces points sont colinéaires.

Question :
Dans un repère orthonormé, les points A (-2 ; -1), B (6 ; 3), et C (9 ; 5) sont ils alignés ?
Pour le savoir calculons les coordonnées des vecteurs et
et regardons si ils sont colinéaires.

donc les vecteurs et
ne sont pas colinéaires donc les points A, B, et C ne sont pas alignés.

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Olivier

Professeur en lycée et classe prépa, je vous livre ici quelques conseils utiles à travers mes cours !