Les dérivées usuelles

En cours de maths, pour tout réel y et et pour tout entier naturel n, les fonctions suivantes se dérivent selon les formules ci-dessous. y une fois dérivé devient 0. Cette fonction linéaire est définie sur ℝ est son domaine de dérivabilité sera lui aussi ℝ. x dérivé devient 1, toujours défini et dérivable sur ℝ. Dans le cas d'une fonction puissance comme xn où n est supérieur ou égal à 1, la dérivée de la fonction sera nxn-1. Ces deux fonctions sont toujours définies et dérivables sur ℝ. Pour les fonctions racines, elles sont définies sur ℝ* et dérivables sur ℝ*. Pour une fonction de ce type,

    \[ \frac { 1 } { x ^ { n } } \]

la fonction dérivée sera 

    \[ - \frac { n } { x ^ { n + 1 } } \]

Pour la fonction racine carré, définie sur ℝ+, elle sera dérivable sur ℝ*. La fonctionne racine carré de x se dérive en : 

    \[ \frac { 1 } { { 2 \sqrt { x } } } \]

Les dérivées ont de nombreuses applications dans la vie de tous les jours. C'est par exemple avec elles qu'on peut calculer les vitesses et les accélérations. Elles ont aussi de nombreuses applications en probabilités en dans le bâtiment afin de prévoir l'évolution des matériaux au cours du temps.

Dériver sur un intervalle

En cours de maths seconde, on considère qu'une fonction f est dérivable sur un intervalle I à condition et uniquement si elle est dérivable sur tout réel de cet intervalle. La fonction dérivée de f est alors f'. Cette dernière associe à tout réel x une image f' (x). Si la fonction f est dérivable sur un intervalle I et si f' est également dérivable sur le même intervalle I, alors la dérivée de f', notée f'' et appelée dérivée seconde de f ou dérivée d'ordre 2 de f existe.

Opérations sur les dérivées

Si l'on considère le réel y et u et v deux fonctions quelconques dérivables sur un intervalle I, il est possible de réaliser des opérations sur ces fonctions.

  • y u se dérive en y u' ;
  • u + v se dérive en u' + v' ;
  • u v se dérive en u' v + u v' ;

La fonction 

    \[ \frac { 1 } { u } \]

se dérive en 

    \[ - \frac { u ' } { u ^ { 2 } } \]

tant que u ne s'annule pas sur l'intervalle concerné. La fonction [ frac { u } { v } ] se dérive en 

    \[ - \frac { u ' v - u v ' } { v ^ { 2 } } \]

tant que v ne s'annule pas sur l'intervalle concerné.

Dérivées partielles d’une fonction à deux variables

Soit D une partie de ℝ². Une fonction f à deux variables réelles définie sur D est un procédé qui à tout couple (x, y) appartenant à D associe un unique réel noté f((x, y)). Le réel f((x, y)) est appelé image du couple (x, y) par f. On ne peut plus parler de dérivée pour une fonction à deux variables, en effet, il faut faire référence à la variable par rapport à laquelle on souhaite dériver. La notion de dérivée partielle apparaît donc naturellement.

Dérivée d'une composée de fonctions

Soient u dérivable sur I et f dérivable sur J. Si u(I) ⊂ J alors la fonction composée f ◦ u est dérivable sur I, on a : [( f circ u ) ' = ( f ' circ u ) times u '] Trouvez des cours de maths terminale s.

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Le nombre dérivé

Définition

La fonction f est dérivable en a si et seulement si son taux d'accroissement en a admet une limite finie quand h tend vers 0 (ou quand x tend vers a dans la deuxième forme). Cette limite est appelée nombre dérivé de f en a , et est notée : [ lim _ { h rightarrow 0 } frac { f ( a + h ) - f ( a ) } { h } = lim _ { x rightarrow a } frac { f ( x ) - f ( a ) } { x - a } = f ' ( a ) ]

Le taux d’accroissement

Considérons une fonction f et un réel a appartenant au domaine de définition de f. Pour tout réel h, non nul, on appelle le taux d’accroissement ou taux de variation de f entre a et a + h. Ce taux se calcule selon la formule suivante : [ frac { f ( a + h ) - f ( a ) } { h } ] En remplaçant a + h par x, on obtient : [ frac { f ( x ) - f ( a ) } { x - a } ]

La tangente à une courbe en un point

Si une fonction f est dérivable en a, sa courbe représentative admet une tangente au point de coordonnées (a ; f(a) ). Cette tangente non verticale aura pour coefficient directeur f' (a). Voici son équation : [ y = f ' ( a ) ( x - a ) + f ( a ) ]

Utilité de la dérivation

Etudier le sens de variation d'une fonction

En cours de maths 3ème, en connaissant la dérivée d'une fonction f, on peut en déterminer son sens de variation. Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I.

  • Si f' est positive sur I, alors est croissante sur I ;
  • si f' est négative sur I, alors est décroissante sur I ;
  • si f' est nulle sur I, alors est constante sur I.

On peut aussi en déduire la monotonie d'une fonction. Soit la fonction f dérivable sur un intervalle I.

  • si f' est positive et ne s'annule qu'en un nombre fini de réels sur I, alors f est strictement croissante sur I ;
  • si f' est négative et ne s'annule qu'en un nombre fini de réels sur I, alors f est strictement décroissante sur I.

Attention, f' peut s'annuler en un réel a sans changer de signe et sans que f n'admette un extremum local en a.

Trouver les extremums locaux d'une fonction

Considérons la fonction f dérivable sur l'intervalle I. Si f admet un extremum local en un réel a de I, alors f' (a) = 0. Si f' s'annule en changeant de signe en a , alors f (a) est un extremum local de f. On peut aussi déterminer l’existence d'une tangente horizontale au point d'abscisse a. Si f admet un extremum local en a, alors sa courbe représentative admet une tangente horizontale au point d'abscisse a.

L'une des applications les plus fréquentes que vous rencontrerez est de devoir calculer le tableau de signes d'une fonction. Vous pourrez pour cela avoir recours aux calculs de dérivées. En effet, l'étude du signe de la dérivée vous permettra également d'établir le sens de variation de la fonction d'origine.

Les primitives

La notion de primitive est intimement liée à la dérivation. Par exemple, pour une fonction f définie sur l'intervalle I, on appelle F la primitive de f dérivable sur I qui vérifie l'équation suivante : [ forall x in I , F ' ( x ) = f ( x ) ]

Propriétés

Toute fonction continue sur un intervalle I admet des primitives sur I. Si F est une primitive de f sur I, alors les primitives de f sur I sont de la forme suivante pour tout réel k : [ F ( x ) + k ] Voici un tableau récapitulatif des primitives des fonctions usuelles avec n et k réels et F fonction primitive de f sur l'intervalle I.

F (x)f (x)
kxk
(x ^ { n + 1 ) / ( n + 1 )xn
2 √x1 / √x
ln (x)1 / x
exex
- cos (x)sin (x)
sin (x)cos (x)

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Calculs sur les primitives

Soit f une fonction définie sur un intervalle I. On appelle primitive de f sur I toute fonction F définie et dérivable sur I telle que F' = f. Soit f une fonction définie sur I et F une primitive de f sur I. L’ensemble des primitives de f sur I est {F + k, k ∈ ℝ}.

Primitives par parties

Soient u et v deux fonctions définies sur un intervalle I. Si u et v sont dérivables sur I et si u' et v' sont continues sur I alors : [ int u ' v = u v - int u v ' ]

A force de vous entraîner et de faire des exercices, vous pourrez facilement retenir toutes les formules de dérivées et primitives par cœur. Vous serez alors beaucoup plus rapides pour résoudre les exercices.

Exercices

Trouver les dérivées des fonctions suivantes

  1. f (x) = 7 x²
  2. f (x) = 33 x + 9 x
  3. f (x) = 12
  4. f (x) = 4 x + 5 x²
  5. f (x) = 8 + 4 x²

Correction

  1. f' (x) = 14 x
  2. f' (x) =  42
  3. f' (x) = 0
  4. f' (x) = 4 + 10 x
  5. f' (x) = 8 x
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Clément

Freelancer et pilote, j'espère atteindre la sagesse en partageant le savoir que j'ai acquis lors de mes voyages au volant de ma berline. Curieux scientifique, ma soif de découverte n'a d'égale que la durée de demie-vie du bismuth 209.